精品解析：天津市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试题

高二年级数学学科阶段检测 一、单选题：本题共15小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程． 【详解】因为双曲线的焦距为，所以， 则，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值． 解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选C． 3. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 4. 两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则抛物线的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过等差中项等比中项计算出，代入抛物线方程得到焦点坐标. 【详解】由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b 可得解得抛物线的方程为， 故焦点坐标为. 故答案选C 【点睛】本题考查了等差中项等比中项，焦点坐标，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 6. 设数列的通项公式为，则（ ） A. 153 B. 210 C. 135 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，判断数列为等差数列，并求得数列的前3项均小于，从第4项起均大于，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前项和，求得式子值. 【详解】因为，所以数列是均小于，均大于的等差数列， 所以 .选A. 【点睛】本题考查数列中的基本量法求数列的前项和，解题的关键在于判断各项的正负. 7. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 9. 等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 10. （），若是递减数列，则实数的取值范围是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是递减数列，结合分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】依题意数列是递减数列，且，所以，解得.所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】本小题主要考查数列的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题. 11. 已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】当弦AB在双曲线右支上时，可得出的最小距离是通径，计算出通径的值与比较可判断满足条件的直线数.当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，与比较可判断满足条件的直线数. 【详解】由双曲线，可得：， 当弦AB在双曲线右支上时，通径最短，长度为， 因为，此时符合条件的直线有两条； 当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为，， 故在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线， 故选：C． 12. 已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据可得，进而根据可得，结合等比数列性质可知，也为等比数列，从而求得前项和. 【详解】设等比数列的公比为，，则得到， 故，得或1（舍去）， ，. 设，由等比数列性质可知，数列也为等比数列， 且首项为，公比为4，故. 故选：C. 13. 在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】设插入的这个数分别记为、、、，计算出这个数列的公差，计算出这个数列前项的和与所有项的和，根据这个数列的前项的和占所有项之和的可得出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】设插入的这个数分别记为、、、， 由等差数列的性质可得， 这个数列的公差为，这个数列所有项的和为， 这个数列的前项的和为， 因为这个数列的前项的和与后项的和之比为， 则，即，解得， 所有，插入数的个数是个. 故选：B. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和双曲线上的点进行计算即可. 【详解】由双曲线定义得，设点， 由抛物线定义得，解得，， 又点在双曲线上，则，即，而， 于是，整理得，即， 而，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 15. 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，） A. 2559万元 B. 2969万元 C. 3005万元 D. 3040万元 【答案】B 【解析】 【分析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求． 【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列， 则2020年投入资金万元， 年共7年投资总额为， 从2021年开始每年投入资金比上一年增加， 则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列， 故从2021年到2024年投入总资金为， 故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元． 故选： 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 16. 抛物线上一点到其焦点的距离为7，则点的横坐标为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标. 【详解】如图所示： 由抛物线的准线方程为， 设焦点为：，令点的横坐标为， 根据抛物线的定义得：，解得：， 所以点的横坐标为6. 故答案为：6. 17. 设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列以及等差数列前项和的定义求解即可. 【详解】因为为等差数列，，， 所以，即，， 即，所以，， 解得，，所以， 所以. 故答案为：. 18. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的递推关系式即可求得当时，，检验时不符合该式，即可得出结果. 【详解】由已知可得，当时，， 两式相减可得，即， 当时，，不满足上式， 所以可得. 故答案为： 19. 设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，然后利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 20. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则__________，设，数列的前项和为，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由，利用“阶对等递进数列”的定义，可知数列是以为周期的周期数列，由此可以算得； ②由①得，所以数列每个周期的和可以求得，易知数列也是以为周期的周期数列，由此可以算得前项即个周期的和. 【详解】①由题干可知，又因为数列是“阶对等递进数列”， 所以，即，同理可得 所以数列是以为周期的周期数列，即，所以； ②因为，所以， 又，所以数列也是以为周期的周期数列， 所以. 故答案为：；. 三、解答题：本题共3小题，共31分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22. 已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程为：,由，代入点，可得的值，可得双曲线标准方程； （2）联立直线与双曲线，可得，然后分二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可求的取值范围. 【小问1详解】 由双曲线的中心在原点，焦点在轴上， ，过点， 设双曲线的方程为：，由， 过点，可得，可得，即得， 故双曲线标准方程为：； 【小问2详解】 由，得 由题意得，解得. 当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点， 所以或. 23. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. 【小问2详解】 由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 24. 已知数列的前项和为，满足： （1）求证：数列为等差数列； （2）令，记数列的前项和为，求； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明: 由题设，，可得,解得, 则当时，， 所以，整理得， 则，又,故是以1为首项，4为公差的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出的表达式，然后计算，并进行化简变形即可证明. （2）先求出的通项公式，然后列出的表达式，最后根据裂项相消法求出结果. （3）根据的单调性求解不等式. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）得，所以. ， 则. 【小问3详解】 由（2）知，， 可知是单调递增数列，故当时，取得最小值, 则由不等式恒成立可得，即 那么，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科阶段检测 一、单选题：本题共15小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则抛物线的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的通项公式为，则（ ） A. 153 B. 210 C. 135 D. 120 7. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（ ） A. 3 B. C. D. 10. （），若是递减数列，则实数的取值范围是（　　 ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 12. 已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 5 D. 2 15. 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，） A. 2559万元 B. 2969万元 C. 3005万元 D. 3040万元 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 16. 抛物线上一点到其焦点的距离为7，则点的横坐标为________. 17. 设等差数列的前项和为，且，，则__________. 18. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为___________． 19. 设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 20. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则__________，设，数列的前项和为，则__________. 三、解答题：本题共3小题，共31分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22. 已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 23. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 24. 已知数列的前项和为，满足： （1）求证：数列为等差数列； （2）令，记数列的前项和为，求； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $