精品解析：四川省成都某中学2025—2026学年高一上学期期末模拟（二）数学试题

成都市航天中学校高2025级高一上期期末模拟（二） 班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 下列各角中，与角终边相同的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是. 故选：A. 2. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可； 【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确； 对于B，，不是奇函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，在区间上是减函数；故D错误； 故选：A. 3. 已知函数，则（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，代入求解即可 【详解】令，得. 故选：C. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 5. 已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则，且， 综上所述，解得， 故选：B． 6. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. 24 B. 16 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得，利用可求得，再由，可得，进而即得. 【详解】由可得：， 由可得：， 所以，可得， 所以， 即是一个周期为的周期函数， 则， 又由可得：， 由可得：，即， 所以， 故选：C. 7. 把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（ ）（参考数据：） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出开盖冷却分钟后的水温，加盖继续冷却分钟后的水温为，将代入，计算求解即可. 【详解】，初始温度℃，空气的温度是℃， 开盖状态下水杯中水的冷却系数为，加盖状态下水杯中水的冷却系数为， ，最终温度℃， 开盖冷却分钟后，水温为， 加盖继续冷却分钟后，水温为， 将代入得到， 即，即， 两边取自然对数，得， 即，将代入得， 解得. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知等式构造新函数，结合新函数的单调性和对称性、基本不等式进行求解即可. 【详解】构造新函数， 因为， 所以函数的图象关于点对称， ， 设是任意两个实数，且， ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以函数是实数集上的增函数， ， 因为函数是实数集上的增函数，且函数的图象关于点对称， 所以， ， 因为，是两个正实数 所以， 即，当且仅当时等号成立，即， 即当时， 有最小值， 故选：C 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项. 【详解】对于A，因，则，则，故A错误； 对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误； 对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确； 对于D，由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由可得②， 联立①②，解得，故.故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为的周期函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为___________. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则由题意可得，解得或， 故答案为：1或 13. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以时，. 故答案为： 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合从而得解. 【详解】令， 解得或， 如图画出函数的大致图象， 当时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点， 则或，解得或， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数关系即可得到答案； （2）根据二倍角的正切公式和正弦公式化简代入即可. 【详解】（1） . （2） . 17. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）当时，判断和的大小关系. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性构造方程组，解方程组可得函数解析式； （2）直接用作差比较法比较大小，并结合基本不等式及指数函数性质判断可得大小关系. 【小问1详解】 由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，联立，解得； 【小问2详解】 因为， 由，当且仅当时取等号，且 所以，即． 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2）5. 【解析】 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【小问1详解】 ∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 已知函数. （1）若使函数在上为减函数，求的取值范围； （2）当时，求y＝的值域； （3）若关于的方程在上仅有一解,求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数，二次函数的性质得到，从而可求的取值范围； （2）当时，，利用三角函数的有界性，结合二次函数与对数函数的性质可得函数的值域； （3）若关于的方程在上有且只有一解，等价于的图象有一个交点，结合对勾函数的性质可求的取值范围. 【详解】（1）函数在上为减函数， 又在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得， （2）当时，， ∴， ，， ， 所以， 所以 ∴函数的值域为； （3）因为， 所以原方可化为，， 即，， 即与，在的图象有一个交点， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以或， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市航天中学校高2025级高一上期期末模拟（二） 班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 下列各角中，与角终边相同的角是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（　　） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. 24 B. 16 C. 0 D. 7. 把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（ ）（参考数据：） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 8. 已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为的周期函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为___________. 13. 已知函数为奇函数，则______. 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）化简； （2）若，求的值. 17. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）当时，判断和的大小关系. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 已知函数. （1）若使函数在上为减函数，求的取值范围； （2）当时，求y＝的值域； （3）若关于的方程在上仅有一解,求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $