19.2.2.3三角形的中位线（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

2. 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线 19.2 平行四边形 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.掌握平行线等分线段定理及相关结论 2.了解三角形的中位线的概念并掌握三角形中位线定理 3.能运用三角形的中位线定理解决有关问题 二、新课导入 如图，有一块三明治，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案. 三、自主学习 已知，直线l1、l2、l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C和点A1、B1、C1，且AB=BC.求证：A1B1=B1C1. l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 E F 证明： 过点B1作EF∥ AC， 分别交直线l1、l3于点E、F. ∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形 ∴ AB=EB1， ∵ AB=BC ∴ EB1=B1F ∵ l1∥ l3 ∴ △A1B1E≌△C1B1F ∴ A1B1=B1C1 ∴ ∠A1EB1=∠C1FB1 在△A1B1E和△C1B1F中 ∵ ∠A1B1E=∠C1FB1 EB1=FB1 ∠A1EB1=∠B1FC1 (ASA) BC=B1F l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 E F 三、自主学习 l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 由此得到如下结论： 那么在其他直线上截得的线段也相等. 平行线等分线段定理推论： 经过三角形一边中点 如果一组平行线 在一条直线上 截得的线段相等， 平行线等分线段定理 与另一边平行的直线 必平分第三边. 三、自主学习 三、自主学习 问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条. 如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2：画出△ABC中的中线，说出三角形的中位线与中线的区别. 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 三、自主学习 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 2DE=BC 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 能否证明这个猜想？ 三、自主学习 证一证： 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 求证：DE∥BC，DE= BC D E F 证明： 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF、CF、DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ ， ∴ DE∥BC， ． 三、自主学习 得出结论： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 1.三角形中位线定理： 2.符号语言： D E △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE= BC． 四、合作探究 探究 三角形中位线定理的运用 问题提出1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 问题探究： 题中已知三个中点，可以联想到运用 的性质解题.由中位线的性质可知PM=PN， 中位线 再利用平行线两直线平行，同旁内角 的性质可求出∠MPN的度数. 互补 最后根据 的性质即可求出∠PMN的度数. 等腰三角形 四、合作探究 问题解决： 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∵AB=CD， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠NPD+∠BDC=180°， ∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+110°=130°， ∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，     ∵∠BDC=70° ∴∠NPD=110° 探究 三角形中位线定理的运用 四、合作探究 问题提出2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．BE的延长线与AC边相交于点D，求证：2EF=AC-AB. 问题探究： 已知AE平分∠BAC，BE⊥AE可推出AB AD，结合BE⊥AE，通过等腰三角形的 性质可得BE=DE，点F是BC的中点，三角形中位线定理可得出DC= ，通过线段等量关系可证明2EF=AC-AB. 三线合一 2EF = 探究 三角形中位线定理的运用 四、合作探究 问题解决： 证明：∵AE⊥BD ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90° ∵AE平分∠BAC ∴∠ABE=∠ADE ∵AE⊥BD ∵BF=FC ∴∠AED=∠AEB=90° ∴∠BAE=∠DAE ∴AB=AD ∴BE=DE ∴2EF=DC=AC-AD=AC-AB 探究 三角形中位线定理的运用 △ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG． 证明：连接DE，FG ∵BD，CE是△ABC的中线 ∴D，E是AB，AC的中点 ∴DE∥BC，DE= BC ∴DE∥FG，DE=FG ∴四边形DEFG是平行四边形 同理：DE∥BC，DE= BC ∴EF∥DG，EF=DG 四、合作探究 练一练 1. 如图，如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm， 那么BC= cm. A B D C E H G 8 五、当堂检测 五、当堂检测 2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1）若DE=5，则BC= ． （2）若∠B=65°，则∠ADE= °． （3）若DE+BC=12，则BC= ． 10 65 8 3.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F．求证：DE=CF. 证明：∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE∥BC ∵EF∥CD ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE=CF． 五、当堂检测 4.如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若EF=3，BC=18，求线段AB的长. 解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE= BC=9 ∴∠DFB=∠FBC，DF=DE-EF=9-3=6 ∵BF平分∠ABC ∴∠ABF=∠FBC ∴∠ABF=∠DFB ∴DB=DF=6 ∵点D为边AB的中点 ∴AB=2DB=12 五、当堂检测 六、课堂总结 三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 三角形的中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 定 义 平行线等分线段 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 定理 $