精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期末试题 高三数学 分值：150分 考试时间：120分钟 出题人： 校题人： 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. 0个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 圆心为，且与x轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正三棱柱中，，分别为棱，的中点，则（    ） A. 平面 B. C. 平面 D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知等比数列，，，则数列的前项和等于_________． 14. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是递增的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 17. 设函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值. 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末试题 高三数学 分值：150分 考试时间：120分钟 出题人： 校题人： 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. 0个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求得，从而可解. 【详解】因为，，所以， 则集合中的元素个数为5个. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 4. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 5. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角. 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 6. 圆心为，且与x轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出圆的半径，然后可得答案. 【详解】因为圆心为，且与x轴相切，所以此圆的半径为， 所以圆的方程为， 故选：B 7. 若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，由焦距可得c，根据关系，即可得出b，虚轴长为得解. 【详解】由双曲线方程得，焦距长，得， 根据关系，，所以，. 故选：D. 8. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 10. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D. 【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确； a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)， 联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误； ，C正确． 故答案为：ABC 11. 已知正三棱柱中，，分别为棱，的中点，则（    ） A. 平面 B. C. 平面 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质判断A，根据异面直线的判定判断B，根据面面平行的判定及性质判断C，由线面垂直的判定及性质判断D. 【详解】如图， 因为平面平面，且平面，所以平面，故A正确； 因为平面，平面，，所以DE与是异面直线，故B错误； 取中点，连接，则，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故C正确； 因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，即．故D正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 已知等比数列，，，则数列的前项和等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等比数列计算得出，，再求和计算. 【详解】由等比数列，，， 得，，所以，， 所以的前项和等于． 故答案为：63. 14. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线的距离公式即可求解. 【详解】直线即， 所以和之间的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是递增的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为 ，………3分 得： ………………5分 代入：， 得： ………………7分 （Ⅱ） ………………9分 ………11分 ………………14分 （等差、等比数列前项求和每算对一个得2分） 考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n和公式，等比数列的前n项和公式． 点评：本题主要考查通项公式的求法和数列前n项和的求法，其中求数列的前n项和用到的是分组求和法．属于基础题型． 16. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是长方体， 所以侧面，而平面，所以 又，，平面，因此平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面； （2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【三垂线定理】 由（1）知，，又E为的中点，所以，为等腰直角三角形，所以． 如图2，联结，与相交于点O，因为平面，所以． 又，所以平面． 作，垂足为H，联结，由三垂线定理可知，则为二面角平面角的补角． 设，则，由，得． 在中，，所以， 即二面角的正弦值为． [方法二]【利用平面的法向量】 设底面边长为1，高为，所以． 因为平面，所以，即， 所以，解得． 因为平面，所以，又，所以平面， 故为平面的一个法向量． 因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量， 在中，因为，故与成角， 所以二面角，的正弦值为． [方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】 设底面边长为1，高为，所以． 因为平面，所以，即， 所以，解得． 因为，所以是直角三角形，． 因为平面，所以到平面的距离相等设为． 同理，A，E到平面的距离相等，都为1，所以， 即，解得． 设点B到直线的距离为，在中，由面积相等解得． 设为二面角的平面角，， 所以二面角的正弦值为． [方法四]【等价转化后利用射影面积计算】 由（1）的结论知，又，易证，所以，所以， 即二面角的正弦值与二面角的正弦值相等． 设的中点分别为F，G，H，显然为正方体，所求问题转化为如图3所示， 在正方体中求二面角的正弦值． 设相交于点O，易证平面， 所以是在平面上的射影． 令正方体的棱长， 则，，，． 设二面角为，由，则， 所以． 即二面角的正弦值为． [方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】 如图4，分别取中点F，G，H，联结． 过G作，垂足为P，联结． 易得E，F，G，H共面且平行于面． 由（1）可得面．因为面，所以． 又因为E为中点，所以，且均为等腰三角形． 设，则，四棱柱为正方体． 在及中有． 所以与均为直角三角形且全等． 又因为，所以为二面角（即）的一个平面角． 在中，． 所以， 所以． 故二面角的正弦值为． [方法六]【最优解：空间向量法】 以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为， 所以， 所以，， 设是平面的法向量， 所以， 设是平面的法向量， 所以， 二面角的余弦值的绝对值为， 所以二面角的正弦值为. 【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理； 方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用； 方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值； 方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法； 方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想； 方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法. 17. 设函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． （2）求出的取值范围，然后由正弦函数性质得最值． 【详解】（1） ， ∴的最小正周期是 （2）时，，此时. 最大值为，此时，， 最小值为，此时，. 综上，的最小值为，最大值为. 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可. 设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可. 【小问1详解】 椭圆的离心率， 则，即， 所以，椭圆方程为. 将点代入方程得， 故所求方程为. 【小问2详解】 点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得. 设，则. . 点到的距离. 令，则则. 因为，所以当时，是所求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $