精品解析：甘肃省天水市第八中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期 高一学年期末考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 11. 已知对，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 可以为一次函数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知角的终边经过点，则________. 13. ________. 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 18. 已知函数为偶函数，. （1）求实数的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，，恒成立. （1）求的值及的解析式； （2），当时，有两个零点，，求的取值范围； （3）已知，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以，，为边也能够组成三角形，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期 高一学年期末考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，再根据集合补集的定义求解. 【详解】，则， 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式将转化为与有关的形式. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义求得的值，再根据函数的单调性，即可求得不等式，解出的范围. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以题中不等式可化为， 又在上单调递减， 所以在上单调递增， 则，解得. 故选：A 7. 若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性，以及函数最值即可求得结果. 【详解】由题知，当时，函数单调递减， ，无最值， 当时，， 当时，在单调递减，， 此时无最大值， 当时，， 当时，在单调递增，， 而时，， 故若函数存在最大值，则最大值必为， 因此需满足， 综上，. 故选：D 8. 已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点所在区间以及单调递增区间得出相应不等式，即可求得的取值范围. 【详解】因为，当时， 由函数在上存在零点，所以，解得； 因为在上单调递增，故，， 解得，； 显然，所以； 当时，无解；当时，可得满足题意， 即的取值范围为. 故选：B 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对ABC选项可由基本不等式判断得出，对于D则可用二次函数的配方求得最小值. 【详解】因为函数（且）过定点，所以，，. 又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确； 由，得，当且仅当时等号成立，所以B不正确； 由基本不等式， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 由，得，所以， 当且仅当时等号成立，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由五点作图法可得，再整体换元可判断BC选项，最后再由图象的平移及诱导公式可判断D选项. 【详解】由函数，再由五点作图法得， 解得，所以A正确； 所以，令，当时，， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上不单调，故B正确； 若，则，，所以C不正确； 由图象向右平移个单位长度得函数为 ， 所以D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知对，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 可以为一次函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法令可得A正确，假设为一次函数成立，得出矛盾可判断B错误，令，可得，再由变量代换可得C正确，结合已有分析可知函数的周期为6，求出即可得D正确. 【详解】对于A，令可得，即； 又，可得，即A正确； 对于B，假设为一次函数成立，可设为， 由可得； 整理可得，即， 显然一次函数不会恒成立，因此假设不成立，即B错误； 对于C，令，可得，即； 用替换可得，所以， 也即，因此C正确； 对于D，由选项C中分析可知，即可得， 所以函数是以6为周期的周期函数， 因此 ； 令可得，由可得； 又，所以； 因此，所以，即D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求出的值，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 则， 故答案为： 13. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象与直线有两个交点，可得有两个不同的正实数解，结合对勾函数的性质及图象，分、及，求得；由与有四个交点，可得或，取交集即可得答案. 【详解】因为函数的图象与直线有两个交点， 则有两个不同的正实数解， 所以有两个不同的正实数解， 由对勾函数的性质可知当时，， 所以函数的最小值为， 所以当时，， 不满足有两个不同的正实数解； 当时，， 此时满足有两个不同的正实数解； 当时，时， 要使有两个不同的正实数解，如图所示： 只需即可，解得， 所以， 综上，当有两个不同的正实数解时； 又因为与有四个交点，即有四个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 所以，解得或， 又因为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再结合两角和的正切公式求解； （2）分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ， 又 . 【小问2详解】 ∵， ∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴ . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据x的取值范围，求得的范围，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 令，得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 所以的值域为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用换元法，结合二次函数的性质求解即可； （2）结合余弦函数的性质可知，则有对恒成立，即，对恒成立，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 设，， 则， 此时函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当时，. 所以函数的值域为； 【小问2详解】 因为.若对，都有成立， 而在上的最大值为， 故对恒成立， 易得， 因为，当且仅当，即时取等， 所以， 即实数的取值范围为. 18. 已知函数为偶函数，. （1）求实数的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，在上单调递增 （2）或. （3） 【解析】 【分析】(1)根据恒成立，求出的值；通过换元，将解析式变为判断单调性； （2）由是偶函数且在上单调递增，将转化为在上恒成立求解； （3）将不等式，转化为，再通过换元求解. 【小问1详解】 是偶函数，恒成立， 即 即，可得恒成立，. 所以， 设，则当时， 设，可知在单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增. 【小问2详解】 因为是偶函数且在上单调递增， 又时，恒成立， 所以时，有恒成立， 即在时恒成立 设，则， 解得或. 【小问3详解】 当时，，又， 即， 因为对数函数单调递增，所以， 令，则， 所以， 令，则，， 因为在上单调递增，所以，所以， 所以，所以，所以. 又在上恒成立，即恒成立， 因为，所以. 综上，. 19. 已知函数，，恒成立. （1）求的值及的解析式； （2），当时，有两个零点，，求的取值范围； （3）已知，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以，，为边也能够组成三角形，求的最大值. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）令代入计算求出，再结合三角恒等变换求出的解析式； （2）结合复合函数的单调性得出在上有两个不同的解即可； （3）借助正弦函数的性质及三角恒等变换，利用三角形三边关系分类讨论. 【小问1详解】 ， 当， , 故， ，故 代入上式子则有 此式若恒成立， 则，， 即，所以， 故. 【小问2详解】 当，在单调递增，， 令， 故有两个不同的解，且， 故， ， . 【小问3详解】 易知当时，为负数，决不能构成三角形，故， 因为的值域为，考虑到两边之和大于第三边，临界值， 即故考虑到，， 由于要求的最大值，先考虑. （i）若，取，，，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，，，此时，两边之和等于第三边，不能作为任何一个三角形的三边长，故不满足题意； （ii）当时，对任意三角形的三边，，，若，则分类讨论如下： ①当时，，同理， ，故，， 同理可证， ，，可作为某个三角形的三边长. ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增可得， 综上得，， 又由及余弦函数在上单调递减， 得 ， 同理可证其余两式，所以，，也是某个三角形的三边长. 故时，满足题意. 综上，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $