精品解析：四川省南充市2025-2026学年上学期九年级数学期末试题

南充市2025—2026学年度上期教学质量监测 九年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 代数式的值（ ） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 可能为零 D. 不能确定取值范围 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 2. 抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（ ） A. 频率大于 B. 频率趋近 C. 频率小于 D. 频率等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据概率的统计定义，对于质地均匀的硬币，正面向上的概率为，随着抛掷次数增多，频率会趋近于概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴正面向上的概率为，根据大量重复试验中频率的稳定性，当抛掷次数逐渐增多时，频率逐渐接近概率， ∴频率趋近于， 故选：． 3. 如图，将实线正六边形绕着点逆时针旋转到虚线位置，旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，熟练掌握正多边形和旋转的性质是解题的关键． 由正六边形的每个内角为，即，则，即可判断出旋转角为． 详解】解：如图，正六边形绕点逆时针旋转到， ∴正六边形的内角， ∴， ∴， ∴正六边形绕点逆时针旋转到的旋转角为． 故选：A． 4. 对于抛物线，下列结论不正确的是（ ） A. 对称轴是轴 B. 与轴没有交点 C. 有最小值 D. 当时，随增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意，抛物线的对称轴为y轴，有最小值，且在时单调递增；但与x轴有两个交点，故B选项错误． 【详解】∵ 抛物线，， ∴ 对称轴，即y轴，A正确，不符合题意； 令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意； ∵，对称轴，且时，， 抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意； ∵，对称轴， ∴ 当时，y随x增大而增大， 故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，是的直径，点，在上，且在两侧，则为（ ） A. 钝角 B. 锐角 C. 直角 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，圆周角定理得到，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴； 故选C． 6. 布袋中装有大小、质感完全相同的红、黄小球各一个，从中随机摸出一个，记下颜色放回，摇动后再摸一个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到黄球的有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率为：， 故选：A． 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 根据旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得到，即，进而可求的度数． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点恰在边上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，与相切于，，与交于，延长与交于．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握圆与三角形的综合知识是关键． 连接，可得平分，则，可得，从而，设交于点，由可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 若点，均在抛物线上，则当，，时，代数式的值（ ） A. 等于1 B. 大于1 C. 小于1 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据点，均在抛物线上，得到，点，关于对称轴对称，则，，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵点，均在抛物线上， ∴，点，关于对称轴对称， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 若分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式求值．根据分式值为零的条件是分子为零且分母不为零列式计算求解即可． 【详解】解：由题意，分子且分母． 解方程，得或． 又∵，即， ∴． 故答案为：． 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义．根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第101次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为：． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程，根据二次函数对称轴求出的值，然后解方程即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 14. 如图，在中，，，是边上的中线，以为圆心，为半径作弧，与交于．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，三角形内角和定理．根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：． 15. 若关于的方程与只有一个公共实数根，则方程的两根之和减去两根之积，结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，设公共实数根为，则满足方程和，则，，得：，化简得，所以或，然后分或两种情况分析，最后由根与系数的关系进行计算即可，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设公共实数根为，则满足方程和， ∴，， 得：， 化简得： ， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，两方程均为，有两个公共根，不符合题意， 故， ∴方程，即为， 根据根与系数的关系，两根之和为，两根之积为， ∴两根之和减去两根之积， 故答案为：． 16. 如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有______．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．证明是等腰直角三角形，推出，可证明点，，三点一定共线；证明，推出，再证明，得到；根据直角三角形斜边中线的性质证明四边形是菱形，推出垂直平分；证明四边形是正方形，求得，利用勾股定理即可证明． 【详解】解：连接，， ∵将线段绕点顺时针旋转到， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵中，，， ∴， ∴点在上， ∴点，，三点一定共线，故①说法不正确； 连接， ∵线段绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②说法正确； 连接，，， ∵，分别是，的中点，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分，故③说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，则， ∵， ∴④，故④说法正确； 综上，②③④正确， 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. （1）解方程：； （2）为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？ 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． （）通过因式分解法解一元二次方程； （）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可求解． 【详解】解：（） 或， ∴，； （）∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴时，关于的方程有两个相等的实数根． 18. 已知二次函数图像的对称轴为，并经过，两点．求这个函数的最小值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出二次函数的解析式为，然后化为二次函数的顶点式，最后由二次函数的性质即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设这个函数解析式为， ∵二次函数图像的对称轴为，并经过，两点， ∴， 解得：， ∴这个函数解析式为， 由， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为． 19. 如图，是的直径，半径与弦平行，于．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定与性质，过作于，由垂径定理得到，，再证明，得到，则． 【详解】解：过作于， ∴，， ∵半径与弦平行，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 为响应中小学生每天体育锻炼的号召，某中学启动了“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．全校初中年级共有个班，学校统计了这些班级开学以来体育运动时间达标率（精确到），具体数据如下表． 运动时间达标率 至 小于 班数（个） （1）若从这个班级中任意抽取个班，则抽到运动时间达标率为的班的概率是______． （2）若抽到运动时间达标率在至的班的概率为，则______． （3）某班选出了名男生和名女生作为体操标兵，班主任计划从这名同学中随机抽取两名进行经验分享．求抽到性别不同组合的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据概率公式求解即可； （）根据题意得到，进而求解即可； （）画树状图展示所有种等可能的结果，然后找出抽到性别不同的结果数，然后根据概率公式计算求解即可． 【小问1详解】 解：抽到运动时间达标率为的班的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵抽到运动时间达标率在至的班的概率为， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，抽到性别不同的组合的情况有种， ∴抽到性别不同组合的概率为． 21. 已知为实数，关于的一元二次方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 【答案】（1）方程总有两个实数根； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式． （）根据根的判别式即可判断； （）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合方程有一个根大于且小于可得出，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解： ∴ ， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解： ， 解得，， ∵方程有一个根大于且小于，且， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 22. 如图，正方形中，是边延长线上一点，连接． （1）画出绕点顺时针旋转的图形，点，的对应点分别为，．（不写画法） （2）若，所在直线交于，完善图形，试求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，圆内接四边形和圆周角定理． （1）根据题意画出图形即可； （2）证明，得到四边形是圆内接四边形，利用圆周角定理求解即可． 【小问1详解】 解：所作图形，如图所示， ； 【小问2详解】 解：连接，， 由旋转的性质知，，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴，即的度数为． 23. 某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每件产品的售价应定为元； （2）当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的应用． （1）根据题意求出每天的利润为元，根据利润为2000元列方程求解，根据“拓展市场”取合适的值作答即可； （2）根据题意求出x的取值范围，设每天的销售利润为y，由（1）知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵每件售价为元， ∴售价上涨元，每天的销量减少件，每件利润为元， 则每天的销量为件， 则每天的利润为元， ∵每天的利润为2000元， ∴， 即 解得：， ∵拓展市场， ∴， 即每件产品的售价应定为元； 【小问2详解】 解：∵要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元 ∴且， 解得：且， 即， 设每天的销售利润为y， 由（1）知 ， 可知对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴当时，每天的销售利润最大，最大利润元， 即当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 24. 如图，，分别是半圆的直径和割线，弦平分，与交于，于，． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理． （1）利用等角的余角相等求得，再求得，据此即可证明是半圆的切线； （2）设半圆的半径为，证明，得到，求得，利用勾股定理列式计算求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵弦平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是半圆的切线； 【小问2详解】 解：设半圆的半径为， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴的长为4． 25. 点在经过，，的抛物线上，且满足． （1）求抛物线的解析式． （2）求点的坐标． （3）如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 【答案】（1） （2） （3）当四边形面积最大时，点Q的坐标为 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，，得出，连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，证明，求出，从而得出，得出，再求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标即可； （3）求出直线的解析式为，得出，证明，根据，得出与间距离一定，根据为定值，得出的面积一定，说明当面积最大时，四边形的面积最大，过点T作轴，交于点N，设点T的坐标为，则点N的坐标为，得出，说明当时，的面积最大，即四边形的面积最大，求出点T的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，联立，求出点Q坐标即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标，， ∴， 连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 根据解析（2）可知：直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴与间距离一定， ∵为定值， ∴的面积一定， ∵， ∴当面积最大时，四边形的面积最大， 过点T作轴，交于点N，如图所示： 设点T的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大， 此时点T的坐标为：， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴当四边形面积最大时，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市2025—2026学年度上期教学质量监测 九年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 代数式的值（ ） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 可能为零 D. 不能确定取值范围 2. 抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（ ） A. 频率大于 B. 频率趋近 C. 频率小于 D. 频率等于 3. 如图，将实线正六边形绕着点逆时针旋转到虚线位置，旋转角（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列结论不正确的是（ ） A. 对称轴是轴 B. 与轴没有交点 C. 有最小值 D. 当时，随增大而增大 5. 如图，是的直径，点，在上，且在两侧，则为（ ） A. 钝角 B. 锐角 C. 直角 D. 不能确定 6. 布袋中装有大小、质感完全相同的红、黄小球各一个，从中随机摸出一个，记下颜色放回，摇动后再摸一个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与相切于，，与交于，延长与交于．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 若点，均在抛物线上，则当，，时，代数式的值（ ） A. 等于1 B. 大于1 C. 小于1 D. 不能确定 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 若分式的值为零，则的值为______． 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是______． 14. 如图，在中，，，是边上的中线，以为圆心，为半径作弧，与交于．若，则的长为______． 15. 若关于的方程与只有一个公共实数根，则方程的两根之和减去两根之积，结果为______． 16. 如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17 （1）解方程：； （2）为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？ 18. 已知二次函数图像的对称轴为，并经过，两点．求这个函数的最小值． 19. 如图，是直径，半径与弦平行，于．求证：． 20. 为响应中小学生每天体育锻炼的号召，某中学启动了“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．全校初中年级共有个班，学校统计了这些班级开学以来体育运动时间达标率（精确到），具体数据如下表． 运动时间达标率 至 小于 班数（个） （1）若从这个班级中任意抽取个班，则抽到运动时间达标率为的班的概率是______． （2）若抽到运动时间达标率在至的班的概率为，则______． （3）某班选出了名男生和名女生作为体操标兵，班主任计划从这名同学中随机抽取两名进行经验分享．求抽到性别不同组合的概率． 21. 已知为实数，关于的一元二次方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 22. 如图，正方形中，是边延长线上一点，连接． （1）画出绕点顺时针旋转图形，点，的对应点分别为，．（不写画法） （2）若，所在直线交于，完善图形，试求的度数． 23. 某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． （1）当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ （2）若要求每天销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 24. 如图，，分别是半圆的直径和割线，弦平分，与交于，于，． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求的长． 25. 点在经过，，的抛物线上，且满足． （1）求抛物线的解析式． （2）求点的坐标． （3）如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $