江苏省南京市励志高级中学2025-2026学年高一创新班上学期开学调研数学试卷

不服就干，生死看淡！小小数学，轻松拿下！ 南京市励志高级中学创新班开学调研 数学试卷 （时间:120分钟 满分:150分） 命题人:蒋恒峰 审题人:毛辛有 第I卷（选择题） 一、单选题题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．设函数，其中所有正确结论的编号是（    ） ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减； ④把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象． A．①④ B．②④ C．①② D．①②③ 5．若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 6．已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（   ）. A． B． C． D． 7．已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ） A． B． C． D． 8.已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论： ①存在点，使得与的面积相等； ②存在点，使得与的面积相等； ③面积的最大值为，此时； ④矩形面积的最大值为，此时． 其中，所有正确结论的序号为（    ）． A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中最小值不小于6的是（    ） A． B． C． D． 11．若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题,每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12.（1）已知实数满足，则的取值范围是 ． （2）已知，，求x的最大值是 ． 13．（1）设，那么的最小值是 . （2）已知，且.求的最小值是 . 14．（1）已知正实数，且满足，则的最小值是 . （2）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为 千米． 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（1）． （2）已知，求 的值. （3）求函数的值域. 16．已知函数满足． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． （3）设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 17．已知函数，． (1)若，，求的值； (2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围． 18．对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 19．（1），，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . （2）设定义在区间上的函数的图像为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量.定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数. (1)求证：三点共线； (2)设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $