江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年新高一上学期选拔性考试数学试题

新高一选拔性考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，则的化简结果是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将绕点旋转至位置，且为的中点，在反比例函数上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点.设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡相应的位置上） 7. 若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________. 8. 不等式组的解集为__________. 9. 如图，在中，已知，于点，且，，则的长为__________. 10. 若且，则的取值范围为__________. 11. 某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000，原有水量分别为1200，300，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100，当其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.若每分钟向甲注水，且甲比乙提前3注满，则的值为___________. 12. 如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 三、解答题（本大题共90分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 13. 设，，是三个互不相等的非零实数，且满足，.求代数式的值. 14. 当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 15. 已知：如图，在中，，为边上一点，且.求证：. 16. 如图，在等腰中，，，分别为，上的高，记.我们可以从下面的两个视角探求的面积. 视角1：； 视角2：. 由此我们可以得到恒等式. 请根据该恒等式完成下面的问题： （1）已知为锐角，且，求的值； （2）求的值； （3）我们把上面得到恒等式的方法叫做“等积法”，我们常常用“等积法”来证明一些数学结论.如图，是锐角三角形，，，的对边分别为，，，请尝试用“等积法”证明：. 17. 随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. （1）如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； （2）画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 18. 如图1，锐角内接于，为的中点，连接并延长交于点，连接，，过作的垂线交于点，点在上，连接，，若平分且. （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）如图2，当点恰好在上，且时，求的长. 19. 已知函数. （1）当时，设表示的最小值，求的最大值； （2）若该函数的图象与轴交于，两点，且.证明：或； （3）若该函数图象的顶点为，与轴交于点，点为该函数图象上一点，点为轴正半轴上一点，线段与线段交于点.当，时，求点的横坐标. 20. 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接. （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，.若，直接写出的最小值. 新高一选拔性考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡相应的位置上） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】12 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共90分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 【13题答案】 【答案】20 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 证明：作，，垂足分别为， 因为，，， 则，可得， 又因为，则，所以. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 过点作，垂足为， 在中，， 在中，， 所以，即， 同理可得，, 故. AI    【17题答案】 【答案】（1） （2）不能， 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 由二次函数的两点式可知， 所以， 因为，所以， 假设都不大于等于0且小于等于2， 当，则，此时，不符题意； 当，则，此时，不符合题意； 所以假设不成立，则中至少有一个大于等于0且小于等于2， 即或； （3） 【20题答案】 【答案】（1） 证明：因为为等边三角形，所以. 因为将绕点顺时针旋转60°得到线段，所以. 所以，所以，即. 在和中，由于. 所以，所以. （2） 证明：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为，所以，所以垂直平分，所以. 又因为，所以， 所以，所以在的垂直平分线上. 因为，所以在的垂直平分线上. 所以垂直平分，所以，所以. 又因为，所以是等边三角形， 所以，所以. 所以. 又因为. 所以，所以，所以. 所以，所以，所以. 所以四边形是平行四边形，所以.     （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $