精品解析：山东省潍坊市诸城繁华中学2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试题

2025级高一上学期期末模拟测试 数学试题 2026.01 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则成立. B. 若事件两两独立，则成立. C. 若事件相互独立，则与也相互独立. D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 13. 已知事件两两互斥，若，则__________. 14. 已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? （3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 19. 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期期末模拟测试 数学试题 2026.01 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 2. 已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若函数在上是减函数，则这样函数在上单调递增；若函数在上是增函数，则 故选A.【考点定位】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数入手，结合熟知的三次函数设计问题，考查了综合解决问题的能力 【详解】请在此输入详解！ 3. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定：“任意”改“存在”，并否定原结论，即可得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为：. 故选：C. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可. 【详解】设，则，解得，故， 则的定义域为，故A错误； 的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】，， 且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题意的种数，最后运用古典概型公式求解即可. 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为. 故选：． 8. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则成立. B. 若事件两两独立，则成立. C. 若事件相互独立，则与也相互独立. D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：先分析的范围，然后将平方再开方并结合基本不等式可求解出最大值；B：先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值；C：将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值，D：将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ， 当且仅当，即时等号，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先先把用对数式表示出来，对于ACD直接运用对数的运算公式计算即可，对于B借助选项A的结论以及基本不等式即可， 【详解】设，则，，，且， 由，A正确； 由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即， 当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得， 与，矛盾，所以，B正确； ， 所以，， 所以，所以，C正确，D错误． 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________． 【答案】21 【解析】 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【详解】因为， 所以分位数是第4、5个数据的平均数， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知事件两两互斥，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围. 【详解】的对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以，得， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令（）， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，所以，得， 综上，， 即a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分和两种情况讨论，根据题意得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【小问1详解】 解不等式，即， 解得，得. 对于函数，有， 解得，则. ，则； 【小问2详解】 当时，，得到，符合题意； 当时，或， 解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设令，则，根据二次函数的性质即可求值域； （2）由题设结合(1)在上恒成立，当时易知不等式恒成立， 当时，令则只需，结合基本不等式即可求参数范围. 【小问1详解】 由题设，若，∴， 则对称轴为且开口向下，∴上单调递减，即， ∴的值域为； 【小问2详解】 由（1）知：在上恒成立，∴当时，， 即对任意都成立，当，即时， 恒成立， ∴， 当且仅当等号成立，∴仅需，即即可. ∴实数的取值范围. 18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? （3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【答案】（1） （2）该市区高中生阅读量达标 （3） 【解析】 【分析】（1）求各组频率，结合频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求平均数和中位数，结合题意分析判断即可； （3）根据分层抽样求各组人数，利用列表法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. 【小问2详解】 周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. 【小问3详解】 在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. 19. 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 【答案】（1）， （2） （3）是上的有界变差函数，的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数性质得，，根据题意列方程组求解即可； （2）利用的奇偶性和单调性可得，解不等式即可； （3）由函数解析式得在上单调递增，结合有界变差函数的定义判断即可. 【小问1详解】 因为，由二次函数性质知，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， ， ，解得，； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 因为，所以为偶函数， 函数的图象如图， 不等式等价于， 即或，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 是上的有界变差函数,理由如下， 由（2）知函数在上单调递增， 所以，， 则对任意划分， 有 所以， 整理得：， 所以存在常数，使得恒成立， 所以是上的有界变差函数，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了根据最值求参数，根据函数的单调性解不等式，函数的新定义，意在考查学生的计算能力，数形结合能力，知识迁移能力，其中正确理解新定义，运用新定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $