第二十八章 锐角三角函数 易错知识点单选专项练-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若点B为OE的中点，则cosE的值为（　　）    A． B． C． D． 2．的值等于（    ） A． B． C．1 D． 3．将的三边分别扩大倍，得到，则（ ） A．sinA=sinA' B．sinA>sinA' C．sinA<sinA' D．不能确定 4．的值等于（    ）． A． B．1 C． D． 5．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么sin∠AEB的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为（  ）       A．海里 B．6海里 C．海里 D．3海里 7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（   ）    A． B． C． D． 8．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 9．在中，，若，则 的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 12．在中，为锐角，满足，则等于（　　） A． B． C． D． 13．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距为（    ）米． A． B． C． D． 14．在中，，，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 15．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长(　　) A．2 km B．(2＋)km C．(4－2) km D．(4－) km 16．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，为了测量某建筑物高度，小明采用了如下的方法：先从与某建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，先沿斜坡行走260米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，其中点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度，根据小明的测量数据，计算得出建筑物的高度约为（）（计算结果精确到0.1米，参考数据：） A．157.1米 B．152.4米 C．252.4米 D．257.1米 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是(   ) A． B． C． D．3 20．在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（    ） A． B． C． D．3 21．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（    ）． A． B． C． D． 22．如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（    ） ①当时，是等边三角形． ②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个． ③当时，． ④当时，． ⑤当时，． A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B D C C B C B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A A C C C B D A A D 题号 21 22 答案 C A 1．B 首先证明OE＝2OA，由∠EAO＝90°，推出sin∠E＝＝，可得∠E＝30°即可解决问题； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵BE＝OB， ∴OE＝2OA， ∵OA⊥AE， ∴∠EAO＝90°， ∴sin∠E＝＝， ∴∠E＝30°， ∴cos∠E＝． 故选：B． 此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知矩形的性质及三角函数的定义. 2．B 根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 解：． 故选：． 此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容． 3．A 根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案． Rt△ABC的三边分别扩大2倍，得到Rt△A′B′C′，对边与斜边的比值不变， 故A正确； 故选A． 锐角三角函数的定义． 4．B 根据cos60°=，即可求得答案． 解：=2×=1 故选：1 本题考查了特殊角的三角函数的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．D 解：在中， 在中， 故选:D 6．C 如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可． 如图，作BH⊥AC于H． 在Rt△ABH中，∵AB＝20海里，∠BAH＝30， ∴∠ABH＝60，BH＝AB＝10（海里）， 在Rt△BCH中， ∵∠CBH＝∠C＝45，BH＝10（海里）， ∴BH＝CH＝10海里， ∴CB=＝（海里）． 故选C． 本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．C 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，构造直角，根据的直角三角形的性质求出的值即可；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 解：   如图，． 在直角中，，，， ． 即这名滑雪运动员的高度下降了． 故选：． 8．B 考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    9．C 本题考查三角函数定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据三角函数的定义得，从而求得，进一步求得，再根据特殊角的三角函数值求解即可． 解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．B 根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值． 解：如图，取网格点D，连接， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：B． 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 11．A 此题考查了相似三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是得到． 首先根据相似三角形的性质得到，然后利用角的余弦值求解即可． ∵ ∴ ∴ 故选A． 12．A 根据非负数的性质可得，再由特殊角锐角三角函数值，可得，然后三角形内角和定理，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 本题主要考查了非负数的性质，特殊角锐角三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 13．C 过点作的垂线交于，是直角三角形和的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，， ，， 在中，， ， 故选：C． 本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 14．C 题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解． 解：当为直角三角形时，存在两种情况： ①当为斜边，． ，， ． ； ②当为斜边，． 由勾股定理得：． ； 综上所述，的值等于或， 故选C． 本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论． 15．C 根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，设AB=x，则DE=2-x，EC=（2-x），再根据DE+EC=CD列出方程2-x+（2-x）=2，求解即可． 解：在CD上取一点E，使BD=DE， 可得：∠EBD=∠BED =45°， ∵从A测得船C在北偏东45°的方向， ∴AD=DC=2， ∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向， ∴∠BCE=∠CBE=22.5°， ∴BE=EC． 设AB=x，则DE=BD=AD-AB=2-x， ∴EC=BE=BD=（2-x）， ∵DE+EC=CD， ∴2-x+（2-x）=2， 解得x=4-2，即AB=4-2． 故选C． 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，设AB=x，得到EC=BE=BD=（2-x）是解题关键． 16．B 根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 解：由，可设，则，根据得． 所以． 故选：B． 本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 17．D 作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F，则四边形DHBF是矩形，即可求得DH，然后运用三角函数解三角形求出EF、CF，最后再求AB即可． 解：如图：作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F，则四边形DHBF是矩形． 在Rt△ADH中， ∵AD=260，DH:AH=1:2.4， ∴DH=100（m）， ∵四边形DHBF是矩形 ∴BF=DH=100（m）， 在Rt△EFB中， ∴51.02 在Rt△EFC中，FC=EF·tan72°=50.02×3.08=157.1（m）， ∴BC=BF+CF=257.1（m）． 故选：D． 本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定及性质等知识点，正确添加辅助线，构造直角三角形成为解答本题的关键． 18．A 本题考查了锐角三角函数，勾股定理及其逆定理，构造直角三角形是解答本题的关键．取格点D，使，连结，先根据勾股定理计算，，的长， 再证明，最后根据三角函数的定义，即得答案． 如图，取格点D，使，连结， 则，，， ． 故选A． 19．A 一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． ∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=， ∴cosA===， ∴∠A+∠B=90°， ∴sinB=cosA=. 故选A. 本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键. 20．D 如图，过P作PA⊥x轴于A，根据，得到OA=1，PA=3，由∠POA=，利用角的正切值等于对边比邻边求出答案． 如图，过P作PA⊥x轴于A， ∵， ∴OA=1，PA=3， 在Rt△OPA中，∠POA=, ∴tan=tan∠POA==3， 故选：D． ． 此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离，锐角三角函数值的计算，正确掌握正切值计算公式是解题的关键． 21．C 本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C． 22．A 由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图， ①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s， ∴AH=AB=6cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6cm． ∵当t=6s时，S=cm2， ∴×AB×BC=． ∴BC=． ∵当6≤t≤9时，S=且保持不变， ∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒， ∴HC=3cm，即点H为CD的中点． ∴BH=． ∴AB=AH=BH=6， ∴△ABM为等边三角形． ∴∠HAB=60°． ∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s， ∴AM=AN， ∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形． 故①正确； ②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图： 当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个． ∴②不正确； ③过点M作ME⊥AB于点E，如图， 由题意：AM=AN=t， 由①知：∠HAB=60°． 在Rt△AME中， ∵sin∠MAE=， ∴ME=AM•sin60°=t， ∴S=AN×ME=． ∴③正确； ④当t=9+时，CM=，如图， 由①知：BC=， ∴MB=BC-CM=． ∵AB=6， ∴tan∠MAB=， ∴∠MAB=30°． ∵∠HAB=60°， ∴∠DAH=90°-60°=30°． ∴∠DAH=∠BAM． ∵∠D=∠B=90°， ∴△ADH∽△ABM． ∴④正确； ⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图， 此时MB=9+-t， ∴S=． ∴⑤不正确； 综上，结论正确的有：①③④． 故选：A． 本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $