福建省泉州市晋江市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测试题13

晋江一中2025年秋季高二数学13 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 2．记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（    ） A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 4．已知过原点的平面的一个法向量是，点是平面外的一点，则点到平面的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 6．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 7．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值 10．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 11．如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．三棱锥中，点P到平面的距离为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数.这个两位数是奇数的概率 13．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 14．已知函数的图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到，则曲线C：的离心率为 . 四、解答题 15．某校高一年级20名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间为. (1)求图中的值： (2)根据频率分布直方图，估计这200名学生数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从数学成绩在内的学生中用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人分析学习情况，求抽到数学成绩在内各1人的概率. 16．在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．已知双曲线过点，且右焦点为. (1)求双曲线的方程： (2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值. 18．如图，四棱台的底面为菱形，的中点为． (1)证明：平面； (2)若，，点在底面上的射影恰是的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 19．在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《晋江一中2025年秋季高二数学校本作业13》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B D C A CD BCD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 2．B 【分析】本题可根据得出，然后根据得出，最后两式联立，通过计算即可得出结果. 【详解】设公差为， 因为，所以， 因为，所以， 联立，解得，， 故选：B. 3．A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种： ①3个球全是黄球； ②2个黄球和1个蓝球； ③1个黄球2个蓝球； ④3个球全是蓝球． 对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②， ∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 4．C 【分析】求出向量的坐标，利用点到平面距离的公式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为平面的一个法向量是， 所以点到平面的距离是， 故选：C. 5．B 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 6．D 【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案. 【详解】将直线的方程变形得， 由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，    所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且， 设，，则， 四边形OMPN的面积为， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，四边形OMPN面积的最大值为， 故选：D 7．C 【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设， 代入椭圆方程，又，所以， 所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线， 由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，因，所以，即， 所以，所以， 因为双曲线离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：C. 8．A 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 9．CD 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10．BCD 【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由基本不等式推论即可求得，可判断C的正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值. 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对. 对于D，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 11．AC 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，C，用空间向量求解；对于B，可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于D，设球心，由求解球心坐标即可． 【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，， 设， 则， ，则， 设面的一个法向量为， 则，， 令，得，，， 对于A：P到平面的距离为，故A正确； 对于B：连接，，四边形为平行四边形， ，又面，面， 面，同理可证面， 又，面面， 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误； 对于C：设直线与面所成角为， 则， ，，， 直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确； 对于D：当点P为中点时， 设三棱锥的外接球球心， ， ，解得， 外接球半径R满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故D错误． 故选：AC. 12．/0.6 【分析】求出样本空间，求出“这个两位数是奇数”的样本点，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】这个试验的样本空间可记为， 共包含20个样本点. 设“这个两位数是奇数”为事件， 则，共包含12个样本点， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】由题意可设，，，再结合与的关系求解即可. 【详解】由题意，可设，，， 则，， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】先判断曲线的图象是对勾函数的图象，然后确定曲线的两条渐近线为轴和直线，然后求出曲线焦点所在直线与渐近线夹角，进而求出离心率. 【详解】∵，∴，所以曲线C的图像是对勾函数的图像， 当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线， 曲线焦点所在直线与渐近线夹角为，∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图小矩形面积之和为1，进而求解； （2）利用频率分布直方图计算平均数即可求解； （3）应用分层抽样的等比例性质求中各抽取的学生人数，再利用列举法及古典概型的概率求法求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 解得； （2）平均分约为. （3）应从数学成绩在内的学生中抽取人， 记为. 从数学成绩在内的学生中抽取人，记为. 从这7人中随机抽取2人的样本空间 成绩在内各1人的情况有, 所以抽到数学成绩在内各1人的概率. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）在等比数列中，，且， 所以，，即，则， 因为2是与的等比中项，所以，， 因为数列是递减数列，则，则，所以，，， 所以，， 所以，； （2）因为， 当时，，. 当时，， . 综上所述，. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义可求参数，再结合，从而可求双曲线标准方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，把向量问题转化为坐标问题，从而可化简求解为定值. 【详解】（1）依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知， 双曲线的实轴长， 因此， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 由过点的直线与双曲线的右支交于两点， 则直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得， 设，则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以为定值． 18．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用平面的夹角公式得解. 【详解】（1）连接， 因为， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）设点在底面上的射影为，取中点，连接， 因为，所以， 由的中点为，则， 又分别为的中点，所以， 故，又平面，平面， 所以， 故以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为在正三角形中，，在中，， 则， 所以, 设平面与平面的法向量分别为， 由，取，则可得， 由，取，可得， 设平面与平面所成角为， 则. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【详解】（1）设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. （2）因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《晋江一中2025年秋季高二数学13》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B D C A 题号 9 10 11 12 12 14 答案 CD BCD AC 7．C【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设， 代入椭圆方程，又，所以，所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离，所以，因为， 所以，因，所以，即，所以，所以， 因为双曲线离心率，所以，所以双曲线的离心率的取值范围为. 8．A【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或.所以，所以.圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零.由，得.所以，即. 整理得：，解得.综上的取值范围为. 10．BCD【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直，当，，显然，两直线垂直，综上两直线互相垂直，则；B中：，当且仅当时等号成立，B对；C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对.对于D，在中，，设，，，所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 11．AC【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，，设，则，，则，设面的一个法向量为，则，，令，得，，，对于A：P到平面的距离为，故A正确；对于B：连接，，四边形为平行四边形，，又面，面，面，同理可证面，又，面面，过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误；对于C：设直线与面所成角为，则，，，，直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确；对于D：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心，，，解得， 外接球半径R满足：，三棱锥的外接球表面积为，故D错误．故选：AC. 14．【详解】∵，∴，所以曲线C的图像是对勾函数的图像， 当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线， 曲线焦点所在直线与渐近线夹角为，∴， ∴，∴， ∴.故答案为：. 15．(1)(2)(3)【详解】（1）由频率分布直方图得， 解得；（2）平均分约为. （3）应从数学成绩在内的学生中抽取人， 记为. 从数学成绩在内的学生中抽取人，记为.从这7人中随机抽取2人的样本空间成绩在内各1人的情况有,所以抽到数学成绩在内各1人的概率. 16．(1)(2) 【详解】（1）在等比数列中，，且， 所以，，即，则，因为2是与的等比中项，所以，， 因为数列是递减数列，则，则，所以，，，所以，， 所以，； （2）因为，当时，，. 当时，， . 综上所述，. 17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，双曲线的实轴长，因此， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，由过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，由，消去并整理得，设，则， 而点，则，因为，则有，即，同理，所以为定值． 18．(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接，因为，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面. （2）设点在底面上的射影为，取中点，连接， 因为，所以，由的中点为，则，又分别为的中点，所以，故，又平面，平面，所以， 故以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，因为在正三角形中，，在中，，则， 所以,设平面与平面的法向量分别为，由，取，则可得，由，取，可得，设平面与平面所成角为，则. 19．(1)(2)(3) 【详解】（1）设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. （2）因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ，又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $