2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·南京）

2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（南京专用） （共27小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第I卷 （选择题 共12分） 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 2．下列说法错误的是（    ） A．两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 B．矩形的对角线平分一组对角 C．顺次连接矩形各边的中点所得四边形是菱形 D．有一角是直角的菱形是正方形 3．某餐厅所有员工的工资如下表所示，则该餐厅所有员工的工资的众数、中位数分别是（    ） 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 3 1 4 工资（元） 12000 8800 6000 2800 A．2800，6000 B．2800，8800 C．7400，2800 D．8800，2800 4．已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 5．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 6．如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若，则的值为 ． 8．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写：90分，若把读，听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为 分． 9．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 10．如图，、在上，点在劣弧弧上，，则的度数为 ． 11．在半径为2的圆中，某扇形的面积占整个圆的20％，则这个扇形的圆心角是 ；其面积 ． 12．如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为 ． 13．如图，在中，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 秒，以为顶点的三角形与相似． 14．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ． 16．如图，在中，，，点在射线上运动，连接，将沿翻折得到，交射线于，如果是直角三角形，则的长为 ；    三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）计算： （2）解方程 18．（7分）如图，为⊙O的直径，弦于，为延长线上一点，交⊙O于点，连接，，，，． （1）求证：平分． （2）若，，⊙O的半径为5，求的长． 19．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．搅匀后从中摸出一个球，请求出不是白球的概率． 20．（8分）质检员从某商店抽样调查了只鸡蛋，数据如图所示． (1)被抽取的样本的极差和平均数分别是多少？ (2)被抽取的这组数据的中位数，众数分别是多少？ (3)被抽取的这组数据的方差，标准差分别是多少？ 21．（8分）阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB． 22．（8分）如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 23．（8分）如图，已知矩形，连结． (1)用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 24．（8分）用配方法求下列二次函数的最大值或最小值． (1)． (2) 25．（8分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式．并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 26．（9分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD． （1）如图1，若n＝1，则DE　 　DF；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）连接EF． ①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）； ②如图3，EFBC，且，求出n的值． 27．（9分）如图，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结 (1)求证： (2)当，且时． ①如图，若三点共线，求四边形的周长． ②如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（南京专用） （共27小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第I卷 （选择题 共12分） 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 【答案】A 【详解】解：A、钝角三角形的高可以在三角形外部，原说法错误，符合题意； B、三角形的三条中线一定在三角形的内部，原说法正确，不符合题意； C、三角形的三条高不一定相交，原说法正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线必定交于一点，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2．下列说法错误的是（    ） A．两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 B．矩形的对角线平分一组对角 C．顺次连接矩形各边的中点所得四边形是菱形 D．有一角是直角的菱形是正方形 【答案】B 【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，故该选项正确，不符合题意； B、矩形的对角线不平分一组对角，故该选项错误，符合题意； C、顺次连接矩形各边的中点所得四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D、有一角是直角的菱形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选：B 3．某餐厅所有员工的工资如下表所示，则该餐厅所有员工的工资的众数、中位数分别是（    ） 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 3 1 4 工资（元） 12000 8800 6000 2800 A．2800，6000 B．2800，8800 C．7400，2800 D．8800，2800 【答案】A 【分析】根据众数，中位数的定义以及表格数据分析即可判断，中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：根据表格数据可知，2800出现次数最多，众数为2800， 将数据重新排列，2800，2800，2800，2800，6000，8800，8800，8800，12000 第5个数据为6000，则中位数为6000 故选A 4．已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是关键． 通过计算点A到点B、点C的距离及点A到直线的距离，与半径比较即可判断． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， 在中，， ∵ 的半径为3， ∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误； ∵，且， ∴ 圆心A到直线的距离等于半径， ∴ 直线与相切，故C正确，D错误． 故选：C． 5．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价元，每月获得最大利润为，得到，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：设降价元，每月获得最大利润为，则 ， ， 抛物线开口向下，即当时，有最大值， 该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元， 故选：D． 6．如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 【答案】C 【分析】分别作点E关于，的对称点P，Q．连接，，，，，，根据轴对称的性质，得出，，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，过点A作交于点M，再根据三线合一的性质，得出，再根据余弦的定义，得出，进而得出，过点A作于点H，再根据正弦的定义，得出，根据三角形的三边关系，即可得出周长的最小值为的长度． 【详解】解：分别作点E关于，的对称点P，Q．连接，，，，，，    则，，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 过点A作交于点M， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 过点A作于点H， 在中， ， ∴的周长为：． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设参法”求解更简便． 根据比例设，，然后代入式子进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∴ 故答案为：． 8．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小聪参加选拔的各项成绩如下：读：92分，听：80分，写：90分，若把读，听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小聪的个人总分为 分． 【答案】88 【分析】利用加权平均数按照比例求得小莹的个人总分即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， 答：小聪的个人总分为88分； 故答案为：88． 9．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设 ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 10．如图，、在上，点在劣弧弧上，，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 11．在半径为2的圆中，某扇形的面积占整个圆的20％，则这个扇形的圆心角是 ；其面积 ． 【答案】 【分析】利用乘以即可得圆心角的度数；再利用圆的面积乘以即可得． 【详解】这个扇形的圆心角的度数为， 这个扇形的面积为， 故答案为：，． 12．如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似的性质可得，则有，得到，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：27． 13．如图，在中，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 秒，以为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．首先根据题意表示出和的长度，根据题意分两种情况讨论，当时，根据列方程求解即可，当时，根据列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则， 当时， ∴，即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：； 综上所述，或． 故答案为：或． 14．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，的两根为、，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；首先把代入一元二次方程中得到进行降幂，可以得到，然后运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③⑤⑧ 【分析】根据函数的图象和性质即可求解. 【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确； ②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故正确； ③x＝1时，函数有最大值，则am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），故m（am+b）﹣b＜a（m≠1），故正确； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴3a+c＞0，故错误； ⑤若点B的坐标为（4，0），则A的坐标为（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞4时，y＜0， ∴当x＜﹣2或x＞6时，y＜0，故正确； ⑥△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故错误； ⑦函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故错误； ⑧抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0）， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故⑧正确； 故答案为①②③⑤⑧. 16．如图，在中，，，点在射线上运动，连接，将沿翻折得到，交射线于，如果是直角三角形，则的长为 ；    【答案】或 【分析】依题意分，，两种情况讨论根据30度直角三角形性质即可求解． 【详解】解：当时，如图所示，过点作于点，    在中，， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠性质可知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 当时，如图所示，过点作于点，    在中，， ∴， ∴、、三点共线， 由前可知：，， 由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）计算： （2）解方程 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了二次根式的加减计算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得． 18．（7分）如图，为⊙O的直径，弦于，为延长线上一点，交⊙O于点，连接，，，，． （1）求证：平分． （2）若，，⊙O的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，根据垂径定理求出CH=DH，求出BC=BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD=∠CDB，求出∠EFB=∠DFB即可； （2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD=BE=5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆， ∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB， ∵CD⊥OA， ∴CH=DH， ∴BC=BD， ∴∠BCD=∠CDB， ∴∠EFB=∠DFB， ∴BF平分∠DFE； （2）解：∵在△DFB和△EFB中， ， ∴△DFB≌△EFB（SAS）， ∴BD=BE， ∵BE=8， ∴BD=8， ∵AB为⊙O直径，CD⊥AB， ∴∠ADB=∠DHB=90°， ∵∠DBH=∠ABD， ∴△DHB∽△ADB， ∴， 设AH=x， ∵⊙O的半径为5，BD=8， ∴AB=10，BH=10-x， ∴， 解得：x=， 即AH的长是． 19．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．搅匀后从中摸出一个球，请求出不是白球的概率． 【答案】． 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：袋子中装有2个白球和1个红球，共有3个球， 摸出不是白球的概率为． 20．（8分）质检员从某商店抽样调查了只鸡蛋，数据如图所示． (1)被抽取的样本的极差和平均数分别是多少？ (2)被抽取的这组数据的中位数，众数分别是多少？ (3)被抽取的这组数据的方差，标准差分别是多少？ 【答案】(1)， (2)70， 70 (3)， 【分析】（1）根据极差与平均数的定义分别计算即可解答； （2）根据中位数与众数的定义分别计算即可解答； （3）根据方差与标准差的定义分别计算即可解答． 【详解】（1）解：极差为（克， 平均数为（克； （2）解：数据排序后为：69，69，70，70，70，70，71，71，71，72， 故中位数为：70克，众数为70克； （3）解：方差为：（克． 标准差为（克． 21．（8分）阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB． 【答案】假山的高度AB为8米 【分析】依据△GEF∽△GCD，可得，进而得出BD＝9米．再根据△FAB∽△FCD，可得，进而得出假山的高度AB为8米． 【详解】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG， ∴EF∥CD， ∴△GEF∽△GCD， ∴，即 解得BD＝9． ∵CD⊥DG，AB⊥DG， ∴AB∥CD， ∴△FAB∽△FCD， ∴，即， 解得AB＝8， ∴假山的高度AB为8米． 22．（8分）如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的正切值： （1）证明，列出比例式进行计算即可； （2）根据相似三角形的性质，求出的值，根据，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵，， ∴． 23．（8分）如图，已知矩形，连结． (1)用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）本题要求用无刻度直尺和圆规在矩形的边、上作出点、，使四边形是菱形．关键在于利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以可通过作的垂直平分线来确定点、的位置． （2）首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再根据菱形的性质设未知数，通过在直角三角形中运用勾股定理建立方程求出菱形的边长，最后利用菱形面积的两种不同表示方法建立等式求出的长． 【详解】（1）解：连接．分别以、为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径需相等），两弧分别相交于两点，过这两点作直线，该直线与、分别交于点、，则四边形是菱形． 证明：由作图可得所作直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：在矩形中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴设，则． 在中，， ∴， 解得． ∵菱形的面积， ∴， 解得． 24．（8分）用配方法求下列二次函数的最大值或最小值． (1)． (2) 【答案】(1)最小值 (2)最大值 【分析】本题考查了利用配方法求二次函数的最值，明确如何配方及二次函数的相关性质是解题的关键． （1）先将二次函数配方，写成顶点式，然后根据二次项系数为正值，则函数有最小值，可得答案； （2）先将二次函数配方，写成顶点式，然后根据二次项系数为负值，则函数有最大值，可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵二次项系数为， ∴当时，取最小值； （2）解： ， ∵二次项系数为， ∴当时，取最大值 4 ． 25．（8分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式．并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出函数关系式． （1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围； （2）把函数解析式化为顶点式，再由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则米， ， ∵墙长15米， ， ， ， ∴自变量的取值范围是； （2）解：， ， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ∴当时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米． 26．（9分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD． （1）如图1，若n＝1，则DE　 　DF；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）连接EF． ①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）； ②如图3，EFBC，且，求出n的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）连接，证明即可求得； （2）过点作，可得四边形是矩形，可得，由是等腰直角三角形，可得，证明，根据即可求得 （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，设，则，设，则，根据相似比列方程求得的长，进而求得的长，根据即可求得比值． 【详解】（1）如图，连接， 是等腰直角三角形 ， ， ， 在与中 故答案为：= （2）过点作， 四边形是矩形 是等腰直角三角形 折叠 ， （3）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 是等腰三角形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ， 设，则 ，， 设，则 解得 当时， 当时， 或 27．（9分）如图，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结 (1)求证： (2)当，且时． ①如图，若三点共线，求四边形的周长． ②如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ． 【详解】（1）解，且点与关于对称， ∴． ∴． （2）解：①三点共线，且点与关于对称， ． ， ． 为等腰直角三角形． ． ， ． 四边形是平行四边形． ． ． ②过点作的平行线，交分别于点，．则四边形为平行四边形， ∴, ∴， ∵, ∴ ∵，, ∴, ∵ ∴为中点， ∵,， ∴ ∴． 设，则． 在中，， 解得． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $