精品解析：黑龙江省大庆市林甸县第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

林甸一中2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 主意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 2. 在空间四边形PABC中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 10 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 4. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程结合离心率列方程求参数值. 【详解】由双曲线，得， 所以， 则，解得. 故选：B 5. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即， 所以，整理得，解得或（舍去）. 故选：C. 6. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为. 故选：A 7. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点，满足， 于是点到该直线的距离， 解得，可得的取值范围是. 故选：C 8. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 11. 设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于两点，P为椭圆上一点（异于），则（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 可能为直角 D. 若直线与直线的斜率存在，则乘积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用椭圆的性质及定义判断A，利用弦长公式可得，结合计算判断B，当时，计算判断C，利用斜率公式结合点差法判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设左焦点为，连接， 对于A，由题意得两点关于原点对称，则， 由椭圆性质得，则四边形是平行四边形， 可得，则，故A正确， 对于B，设的周长为，由题意得， 设，联立方程组， 可得，由韦达定理得， 由弦长公式得 ， 因为，所以，可得， 得到，即， 则，故， 即，则，故B错误， 对于C，令，则直线方程变为， 联立方程组，解得或， 则，令， 可得，，得到， 此时为直角，故C正确， 对于D，由题意得直线与直线的斜率存在， 因为两点关于原点对称，所以设， 设，则，， 可得， 而，均在椭圆上，得到， 两式作差可得，化简得， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且斜率为2的直线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意得直线方程为， 化简得，即. 故答案为： 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算性质计算即可. 【详解】解：由已知得数列是各项均为正数的等比数列， 则， 所以． 故答案为：15. 14. 如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算用已知向量表示，再根据向量数量积运算得解. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由点，得线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 【答案】（1），当取得最小值时，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； 【小问2详解】 由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，的体积为，． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，又平面， 所以平面，所以两两垂直， 故以点为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，所以，因为，所以点为的中点， 则， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以 又，， 又平面，所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出平面，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求出线面夹角的正弦值，进而求出正切值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以 18. 已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线AB的方程是，两点的坐标分别为，，联立方程，利用韦达定理和抛物线定义，求出，即可得到抛物线方程； （2）根据题意设直线MN的方程是，设，，联立方程，利用韦达定理和数量积运算，求解直线方程. 【小问1详解】 由题意可知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，， 与联立，消去y，得，所以， 由抛物线定义得， 所以，从而抛物线方程是； 【小问2详解】 由题意可知，直线MN的斜率存在且不为0，，设直线MN的方程是，设， 联立方程得，化简得， 由，解得， 则 所以， 所以 ， 所以， 解得，即，满足， 所以直线l的方程为. 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 因为，所以， 所以，， 两式相减得， 所以， 由，得，所以， 令，所以， 所以数列是递增数列， 又，， 所以不存在正整数，使得， 即不存在正整数，使得成立． 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算即可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得； （2）结合（1）中所得后分组求和，并利用等差数列与等比数列求和公式计算即可得； （3）借助错位相减法计算可得，再令，结合数列增减性计算可得该方程不存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以； 当时，， 所以，所以， 又，所以，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林甸一中2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 主意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 在空间四边形PABC中，（ ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 10 D. 3 4. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 5. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 11. 设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于两点，P为椭圆上一点（异于），则（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 可能为直角 D. 若直线与直线的斜率存在，则乘积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且斜率为2的直线方程为_____. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 14. 如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，的体积为，． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $