湖南省湘西州泸溪县第一中学2025—2026学年高二上学期期末模拟数学练习

2025—2026学年湘西州泸溪一中高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一、必修二、选择性必修一、选择性必修二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81，84，82，86，87，92，90，85，则该学生这8次成绩的40%分位数为（    ） A．85 B．85.5 C．86 D．86.5 2．已知幂函数的图象过第一、二象限，且在上单调递增，则下列值符合条件的是（　　） A．0 B． C．2 D．-2 3．在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： 1 2 3 4 5 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．直线l的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（    ） A． B．2 C．2 D．4 6．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，则下列关系中成立的是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知模长均为1的复数，满足，则（ ） A． B． C． D． 10．如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（   ） A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 11．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（ ） A． B．平面平面 C．点G到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则 . 13．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 14．已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则当 时， 有最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数的图象过点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 16．（本小题满分15分）由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据． 刹车时车速 15 30 40 50 60 80 刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40 (1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式； (2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算） 17．（本小题满分15分）已知，，（，），判定，，的大小关系. 18．（本小题满分17分）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 19．（本小题满分17分）已知椭圆：与直线（不平行于坐标轴）相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点. (1)证明：直线与椭圆相切； (2)①当点运动时，点随之运动，求点的轨迹方程： ②若，，不共线，求三角形面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025—2026学年湘西州泸溪一中高二数学期末模拟卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C A A C ABC BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据百分位数的求法规定，先将一组数据按照从小到大顺序排列，再用数据个数乘以对应百分数，若计算结果为小数，则取比它大的比邻序号的数据，若结果为整数，则取该序号和下一个序号对应数据的平均数. 【详解】把该同学的8次数学成绩按照从小到大顺序排列为 由可得，该学生这8次成绩的40%分位数应为第四个数，即85. 故选：A. 2．C 【分析】根据幂函数的性质逐一分析判断即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，故A不正确； 当时，的定义域为，图像不经过第二象限，故B不正确； 当时，的图象过第一、二象限，且在上单调递增，故C正确； 当时，的图象过第一、二象限，但在上单调递减，故D不正确； 故选：C. 3．D 【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型. 【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意. 故选:D． 4．B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值. 【详解】向量，且， 所以，解得， 故选：B. 5．C 【分析】由题设，应用点斜式写出直线方程，再求直线与坐标轴交点，利用两点式求线段长. 【详解】由题设，直线，整理得， 所以，直线l与坐标轴交点为， 故直线被坐标轴所截得的线段长是. 故选：C 6．A 【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出. 【详解】因为， 所以， 设，，， 则， ， 即，，， 故 . 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算. 7．A 【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得 ，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值． 【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．， 可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点， 所以直线的方程为， 由，解得或（舍去）， ∴当时，取得最大值，且， ∴， ∴， ∴， 当且仅当，且，即时等号成立． 故选A． 【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将 转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等． （2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值． 8．C 【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系． 【详解】由题意知，，， 解得． 同理可解得， 比较x和y：取， 比较x和z：取， 比较y和z：取， 综上所述：，故选C． 【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小． 9．ABC 【分析】设，，由已知复数，的模长均为1，通过变形可得，即且，即可判断选项，根据 可判断选项. 【详解】设，， 因为，所以， ， 因为复数，的模长均为1， 所以，， 所以， 即且， 所以，故选项正确； 所以，故选项正确； 因为 ， 所以，故选项错误； 又，故选项正确. 故选：. 10．BCD 【分析】根据切割法得到旋转体，再结合柱体、锥体的体积公式和表面积公式求出体积或表面积，即可判断各项的正误. 【详解】延长DA、CB交于点E，如图， 由题意得，AE=AD=2，. 对于A，以AD所在直线为轴旋转，得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积，A错误； 对于B，以CD所在直线为轴旋转，得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 所以该组合体的体积为：，B正确； 对于C，以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， 所以该旋转体表面积为：，C正确； 对于D，以BC所在直线为轴旋转，得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ，D正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】由线面垂直的判定定理证明出平面可判断A，由面面垂直的判定定理证明平面可得B正确；将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥外接球的半径，利用球体的表面积可求得结果可判断D；利用等体积法可求得点到平面的距离可判断C. 【详解】在正方形中，，，， 在三棱锥中，则，， ，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 且，又，又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 将三棱锥补成长方体， 所以，三棱锥外接球的直径为， 因此，三棱锥外接球的表面积为，故D正确； ，， ，取的中点，连接，则， ，则， 设点到平面的距离为，由，可得，解得，故C错误； 故选：ABD. 12． 【分析】利用对数的性质，及指数式与对数式的互化求出x即可计算作答. 【详解】因，则，即，解得， 所以. 故答案为： 13．. 【分析】由同角三角函数的基本关系求出直线斜率，点斜式求出直线方程即可. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知， 则， 所以， 又直线过点， 所以直线方程为， 即直线方程为. 故答案为： 14．11 【分析】利用等比数列的前项和公式可得，利用对数的运算性质及其等差数列的前项和公式可得，再利用二次函数的性质即得． 【详解】当时，不满足条件，故舍去， 当时，∵， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当时，取得最小值． 故答案为：11. 15．(1)； (2). 【分析】（1）将点的坐标代入，利用指对互化求解； （2）利用对数函数的单调性解不等式. 【详解】（1）由题意可得，，即，得，故； （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，得，故不等式的解集为. 16．(1)选择二次函数模型， (2)， 【分析】（1）选择二次函数模型，结合图象经过点，再代入两个点，求出答案； （2）在（1）的基础上，代入求值即可. 【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和， 设二次函数为， 故，解得， 可求得； （注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．） （2）当时，； 当时，有，解得（负舍）． 17．. 【分析】先将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系；接下来将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系，最后得出，，的大小关系. 【详解】∵， ， ∴. 【点睛】本题重点考查不等式与不等关系的应用，熟练掌握相关不等关系是解答此类题目的关键，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题. 18．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 19．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）通过联立直线与椭圆，结合判别式证得结论成立. （2）①根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程. ②求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）在椭圆上，所以， 由得， ，， ，， 整理得，有唯一解，所以直线与椭圆相切. （2）①，依题意可知直线与坐标轴不平行，所以， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 直线的方程为， 令，解得；令解得， 所以，， 所以点的轨迹方程为. ②，由①知，，且， ， 直线的方程为，即， 到直线的距离为， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积的最值问题的求解思路是：首先求得三角形面积的表达式，然后结合表达式的结构，考虑基本不等式、二次函数的性质、三角换元、导数等知识来求得面积的最值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $