10.4一元一次不等式与一次函数（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

10.4 一元一次不等式 与一次函数 第十章 不等式与不等式组 学 习 目 标 1.理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集; (重点) 2.实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，需要综合运用数形结合与数学建模思想.(难点) 情境引入 经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？ 本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质吗？ 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式. ①一次函数的一般形式是 （），其图像是 一条直线。 ②增减性：已知一次函数（） 当时，随的增大而 减小. 当时，随的增大而 增大； 一元一次不等式与二次函数有什么关系？ 探究1：一元一次不等式与一次函数 新知探究 （1）取什么值时，？ 由图可知交点为，故 （2）取哪些值时，？ 即函数值，此时函数图象在轴上方，对应的取值范围为 函数的图象如图所示，观察图象回答下列问题： 新知探究 （4）取哪些值时，？ （3）取哪些值时，？ 即函数值，此时函数图象在轴下方，对应的取值范围为 即函数值，在图象上找到对应的点，图象在上方的部分对应。 新知探究 ①解不等式，得，即； 如果，那么：当取哪些值时，？当取哪些值时，？你是如何求解的？ ②解不等式，得，即； 利用解不等式的方法 结合并观察函数图像 ①观察函数的图象，图象在轴下方（）时； ②观察函数图象对应的值，因函数递减，时 知识归纳 新知探究 一元一次不等式与一次函数的关系 ①一元一次方程的解，对应一次函数的图像与轴的横坐标. ②一元一次不等式（或）的解集，对应一次函数的图像在轴上 方（或 下 方）时，所有 的取值范围。 这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想 新知探究 1.一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的左侧，写出对应的取值范围即可 故选：B． 解：由一次函数的图象可知， 当时， B 新知探究 探究2：两个一次函数与一元一次不等式的关系 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，画出函数图象. 设哥哥跑的时间为秒（），则： 弟弟跑的路程 ：弟弟先跑，之后每秒跑 故 ； 哥哥跑的路程 ：哥哥每秒跑 故  则函数图像如图所示： 新知探究 问题解决 （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ 解不等式得 。因此， 哥哥起跑后，弟弟跑在哥哥前面. 观察图像可知时，弟弟跑在哥哥前面 方法一：转化为不等式：，即 ； 方法二：找图像中高的部分，先求出它们的交点为 新知探究 问题解决 解不等式得 。因此，时，哥哥跑在弟弟前面. （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ 转化为不等式：，即 ； 观察图像可知时，哥哥跑在弟弟前面 方法二：找图像中 高的部分，它们的交点为 新知探究 （3）谁先跑过？谁先跑过？ ①跑过的时间： 令，则与两函数图像交点如图 两交点的横坐标分别为、 由 ，因此弟弟先到 同理，可在图像上找到对应交点的横坐标，最终观察发现哥哥先到 ②也可分别求出两人跑过对应路程的时间，再比较 知识归纳 新知探究 两个一次函数与一元一次不等式的关系 两个一次函数和（），不等式（或）的解集，对应两个函数图像中  的图像在  的图像上方（或下方）时，所有  的取值范围. 体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助. 新知探究 2.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【分析】求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案 解：∵函数和的图象相交于点， 代入求解得点， 由图可知，不等式的解集为： 探究3：实际问题中的一次函数与不等式——决策类问题 新知探究 某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。你认为学校选哪个书店购书更合算？ 设购买图书的原价总额为元，分别表示在甲、乙书店的实付款和（实付款需包含会员卡费用）： ①根据题意列一次函数 新知探究 ②确定临界值 令，解方程： 解得 ③分情况讨论 画出与的函数图像，并标明交点 此时两书店实付款均为1460元 1.由图可知，当图书原价元时， 甲书店更合算 2.当图书原价元时，一样合算 3.当图书原价时,乙书店更合算 结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于1800元选甲，高于1800元选乙，等于1800元均可 知识归纳 新知探究 决策类问题 ①明确问题，梳理条件 ②建立数学模型 ③求临界值 ④分类讨论，确定解集 ⑤总结结论，优化决策 比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比较. 典例分析 例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元。根据题意，得 ，即 ，即 典例分析 由，得，解得。 由，得，解得； 由，得，解得； 当时，选择乙旅行社费用较少。 因为参加旅游的人数为10~25人，所以， 当时，选择甲旅行社费用较少； 当时，甲、乙两家旅行社的收费相同； 新知探究 解：设每月使用流量为（），分别计算两种套餐的费用： 3.某通讯公司推出两种流量套餐： 套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费； 套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费。 设每月使用流量GB（），分别写出两种套餐的费用、与的函数关系，并求出当为何值时，选择套餐二更合算。 套餐一：月租50元含1GB，超出部分10元/GB（，必然超出1GB） 费用 = 月租 + 超出1GB的费用 ， 套餐二：月租80元含3GB，超出部分8元/GB（，超出3GB） 费用 = 月租 + 超出3GB的费用，则 新知探究 结论：当每月使用流量GB时，选择套餐二更合算. “套餐二更合算”即 代入函数式： 移项化简： 解得 巩固练习 1.如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． C 2.若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． A 巩固练习 3.如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是_________． 4.如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是________． 5．一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①；②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是_________． ①② 巩固练习 6.某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．已知全票价格为元．根据学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 解：设学生人数，甲旅行社的收费为 (元)，乙旅行社的收费为 (元) 令，即，解得：； ，即当学生人数少于4时，乙旅行社更优惠； ，即当学生人数等于4时，甲、乙旅行社一样优惠； ，即当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠. 课堂小结 一元一次不等式与一次函数 联系 实际问题 一元一次不等式（或）的解集，对应一次函数的图像在轴上 方（或 下 方）时，所有 的取值范围 ①明确问题，梳理条件 ②建立数学模型 ③求临界值 ④分类讨论，确定解集 ⑤总结结论，优化决策 感谢聆听! $