精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

兴仁市2025－2026学年度第一学期教学质量监测试题 九年级数学 时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置． 2.答题时，选择题使用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题使用0.5mm黑色字迹的笔在答题卡规定区域内作答，在试卷上作答无效． 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 斐波那契螺旋线 C. 赵爽弦图 D. 伯努利双纽线 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（ ） A. 中点 B. 端点 C. 三等分点 D. 四等分点 5. 若二次函数，则它的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. “兴旺之地，仁义之乡”，兴仁市旅游资源丰富，鲤鱼坝是“全国特色民族村寨”、东湖公园适合步行、放马坪素有“高原塞外”之称、马金河景区被称为“城北后花园”．小红打算周末从这四个景点中随机选择一个景点去度周末，则她刚好选到“放马坪”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（ ）． A 11 B. 12 C. 13 D. 14 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程的解是__． 14. 黔西南州适宜气候吸引了大量游客，某商家为游客提供特色小吃，随机抽取了100名游客进行口味偏好调查，其中喜欢酸辣口味的有75人，若从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为_____． 15. 将点绕原点旋转后得到点，则点的坐标是_____． 16. 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． （1）在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； （2）作关于轴对称的，并写出的坐标． 19. 黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出千克． （1）当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？ （2）设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？ 20. 已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 21. 已知二次函数的图象经过点和， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 22. 黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． （1）求未获奖的概率； （2）若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； （3）某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 23. 如图，是 高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 24. 在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____； （2）如图2是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数“虫洞距离”相等，求的值． 25. 由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点的直线，，于点． 问题探究： （1）如图（1），直接写出的数量关系_____；（提示：过点作于点，与交于点） （2）当绕旋转到如图（2）位置时，、、满足什么样数量关系，请说明理由； （3）当绕旋转到如图（3）位置时，，，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴仁市2025－2026学年度第一学期教学质量监测试题 九年级数学 时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置． 2.答题时，选择题使用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题使用0.5mm黑色字迹的笔在答题卡规定区域内作答，在试卷上作答无效． 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】解：对于A：方程含未知数x和y，不符合题意； 对于B：只含x，最高次数为2，且为整式，满足所有条件，符合题意； 对于C：含分式，不是整式方程，不符合题意； 对于D：最高次数为1，不符合题意； 故选：B． 2. 在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 斐波那契螺旋线 C. 赵爽弦图 D. 伯努利双纽线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（ ） A. 中点 B. 端点 C. 三等分点 D. 四等分点 【答案】A 【解析】 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 5. 若二次函数，则它的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，其顶点是． 直接根据顶点式作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 6. 如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 7. “兴旺之地，仁义之乡”，兴仁市旅游资源丰富，鲤鱼坝是“全国特色民族村寨”、东湖公园适合步行、放马坪素有“高原塞外”之称、马金河景区被称为“城北后花园”．小红打算周末从这四个景点中随机选择一个景点去度周末，则她刚好选到“放马坪”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查基本概率计算，直接利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵总景点数为4，且选择是随机的， ∴选到“放马坪”的概率为， 故选：A ． 【点睛】 8. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，比较各点到对称轴的距离，距离越大函数值越小，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 9. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 10. 如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 11. 为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（ ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个． 故选：D． 二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 14. 黔西南州适宜的气候吸引了大量游客，某商家为游客提供特色小吃，随机抽取了100名游客进行口味偏好调查，其中喜欢酸辣口味的有75人，若从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单的概率公式计算即可．本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据简单的概率公式，得从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为， 故答案为：． 15. 将点绕原点旋转后得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标，掌握好点坐标的变化规律是关键． 一个点关于原点对称后，其横纵坐标都会变为相反数． 【详解】解：∵点绕原点旋转后得到点， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1） 或 ；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程及实数的混合运算是关键． （1）通过移项和提取公因式，将方程变形为，即可解得答案； （2）分别进行负指数、零指数运算、二次根式的化简及化简绝对值，再计算实数的加减即可． 【详解】解：（1）移项，得， 提取公因式，得， 或， 或； （2） ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． （1）在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； （2）作关于轴对称的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析，点、、坐标分别为，， （2）见解析，的坐标为 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原点旋转和关于轴对称的坐标变化规律： （1）绕原点旋转：点的对应点为； （2）关于轴对称：点的对应点为． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 点、、的坐标分别为，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，的坐标为． 19. 黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出千克． （1）当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？ （2）设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？ 【答案】（1）160元 （2）当定价为14元时，每天的总利润最大，最大值是180元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用， （1）利用每千克的利润乘以每天的销售量求解即可； （2）由题意列y关于x的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：元， 答：每天的利润是160元． 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴当时，y的最大值为180元， 答：该电商平台定价为14元时，每天的总利润y的值最大，最大值是180元． 20. 已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1） （2）菱形的面积是3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【小问1详解】 解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； 【小问2详解】 解：当时，， 此时菱形的面积为． 21. 已知二次函数的图象经过点和， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 【答案】（1），直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）将，代入二次函数求解即可； （2）先求出，进而求出直线解析式为，过E作轴交x轴于C，交直线于F，设，则，求出解析式，可知当时，有最大值，求出的面积，可知当最大时，的面积最大，即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数，得： ，解得：， 二次函数的解析式为， ∴对称轴为：直线； 【小问2详解】 解：当时，， 即， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 即直线解析式为， 如图，过E作轴交x轴于C，交直线于F， 设，则， ∴， 可知当时，有最大值， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 此时． 22. 黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． （1）求未获奖的概率； （2）若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； （3）某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】（1）0.4 （2）20 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； 【小问2详解】 解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； 【小问3详解】 解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 23. 如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 【答案】（1）与相切．理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 24. 在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____； （2）如图2是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求的值． 【答案】（1） （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，二次函数的图象与性质，能够读懂题中的“虫洞距离”的概念是解题关键． （1）先利用正比例函数求出两点坐标，然后求出，进而可求解； （2）①根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：当时， ∵正比例函数，且轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点， ∵，， ∴，， ∴， 当时，取到最小值为， ∴正比例函数当时的“虫洞距离”为2， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵和， ∴，， ∴ ， 当时，的最小值为， ∴函数的“虫洞距离”为； ②当时，，，，， ∵， ∴当时，取到最小值为， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，，，， ，且对称轴为直线， 时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，， ∵两个函数的“虫洞距离”相等， ∴， 解得：或． ∴或． 25. 由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点的直线，，于点． 问题探究： （1）如图（1），直接写出的数量关系_____；（提示：过点作于点，与交于点） （2）当绕旋转到如图（2）位置时，、、满足什么样的数量关系，请说明理由； （3）当绕旋转到如图（3）位置时，，，求和的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3），． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，与交于点，证明，则等腰直角三角形，根据勾股定理得，根据，即可得出结论； （2）过点作于点，与交于点，交于点，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得； （3）过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，证明，则为等腰直角三角形，进而推出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理和所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【小问1详解】 解：证明：如图，过点作于点，与交于点， ∵， ∴， ∵四边形内角和为，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：猜想：；理由如下： 过点作于点，与交于点，交于点， ∵， ∴． ∵， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点， ∵，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质、勾股定理等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $