19.3.3正方形（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

19.3　矩形、菱形、正方形 3.正方形 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 1.探索并证明正方形的性质和判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点) 2.会运用正方形的性质和判定条件进行有关的论证和计算. (难点) 一、学习目标 二、新课导入 新知引入 平行 四边形 菱形 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 平行 四边形 一个角是直角 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 邻边相等 二、新课导入 新知引入 问题1:菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 正方形 二、新课导入 新知引入 问题2:矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 矩 形 〃 〃 正方形 三、自主学习 知识点一：正方形的定义 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形. 三、自主学习 知识点二：正方形的性质 性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角. 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=BC（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD. 三、自主学习 知识点二：正方形的性质 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. A B C D O 三、自主学习 归纳总结 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四条边相等，四个角都是直角. 2.正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 问题提出：如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 探究一：利用正方形的性质进行证明 四、合作探究 问题探究：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. A D C B O 问题解决：∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 总结： 正方形的性质： 性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 四、合作探究 1.如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC，试判断△EFG的形状，并说明理由. 练一练 四、合作探究 解：△EFG是等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠B=90° ∵AE=FB=GC， ∴AF=BG， ∴△AEF≌△BFG(SAS) ∴∠AEF=∠BFG，EF=FG， ∵∠AEF＋∠AFE=90°， ∴∠BFG＋∠AFE = 90°， ∴∠EFG=90° ∴△EFG的等腰直角三角形. 问题提出：点E是正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数. 探究二：利用正方形的性质进行计算 四、合作探究 问题探究：∵E是正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形， ∴∠ADC=90°，∠EDC=60°，AD=CD=ED， ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=30°， 问题解决：∠EAD=∠AED= . 练一练 四、合作探究 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°，∠DCB=∠DCE=90°， ∵AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB是△ACE的外角， 2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，求∠AFC的度数. ∵∠AFC是△CFE的外角， ∴∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5° ∴∠E= ， 提示：根据正方形的性质和三角形的外角和定理先求∠E，再求∠AFC. 二、新课导入 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 或对角线互相垂直 二、新课导入 正方形 菱形 猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 或对角线相等 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 三、自主学习 知识点：正方形的判定 A B C D O 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴AD=AB=BC=CD， ∴四边形ABCD是正方形. 结论：对角线互相垂直的矩形是正方形. 三、自主学习 知识点：正方形的判定 A B C D O 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB. ∵AC=DB， ∴AO=BO=CO=DO， ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 结论：对角线相等的菱形是正方形. 三、自主学习 归纳总结 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一个角是直角 问题提出：在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗？为什么？ 探究：正方形的判定 四、合作探究 问题探究：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 问题解决：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 四、合作探究 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF） =180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 探究：正方形的判定 总结： 正方形的判定： 四、合作探究 定义法:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.  矩形法:一组邻边相等的矩形(或对角线互相垂直的矩形)是正方形. 菱形法:一个角是直角的菱形(或对角线相等的菱形)是正方形. 1.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD， （1）判断四边形OCED是什么特殊四边形，证明你的结论. 练一练 四、合作探究 分析：先证得四边形OCED是平行四边形，再结合矩形的性质得OC=OD，由此可得四边形OCED是菱形. 解：（1）四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形OCED是菱形. （2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由. 练一练 四、合作探究 分析：由正方形的性质和判定作答此题. （2）当AB=AD时，四边形OCED是正方形. 理由：∵AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，即OC⊥OD， ∴菱形ABCD是正方形. A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 五、当堂检测 分析：A、对角线互相平分是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质，D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质. 五、当堂检测 解：∵四边形ABCD是正方形， 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 . ∴AO=BO= AC=1cm，∠AOB=90°， 由勾股定理得，AB= cm， ∴S正方形ABCD= =2 cm². 2 cm² 温馨提示：正方形是特殊的菱形，已知正方形的对角线求面积，可利用菱形的面积公式即对角线乘积的一半计算. 五、当堂检测 3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（1）求证：BE=CF； 分析：由角平分线的性质可得BE=EF，再根据正方形的性质发现EF=CF，由此BE=CF. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1cm. ∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC, ∴BE=EF，∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ECF=45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF=FC. ∴BE=FC； 五、当堂检测 分析：由（1）得BE=CF=AC-AF，根据勾股定理求得对角线AC的长即可计算BE的长. （2）求BE的长． 解：由（1）得BE=FE，又AE=AE ∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）， ∴AB=AF=1cm， 在Rt△ABC中， ∴BE=CF=AC-AF= C 4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠DAB=∠BCD C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 五、当堂检测 分析：∵AO=BO=CO=DO， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 五、当堂检测 解：∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形. 5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) 温馨提示：邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 五、当堂检测 6.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分∠ABC , P是BD上一点,过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. （1）求证：∠ADB=∠CDB; 分析：根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌CBD，从而得到∠ADB=∠CDB. 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB=CB，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SAS）. ∴∠ADB=∠CDB； C A B D P M N 五、当堂检测 分析：若∠ADC=90°，则四边形MPND是矩形，再根据一组邻边相等可证明矩形MPND是正方形. （2）若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形. （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADC=90°, ∴四边形MPND是矩形. ∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°， 在Rt△PMD中，∠MPD=∠MDP=45°， ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形. C A B D P M N 六、课堂总结 正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形. 正方形的性质 性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 六、课堂总结 正方形的判定 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.  一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. $