专题05 线段（数轴）上的动点探究问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

专题05 线段（数轴）上的动点探究问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题 1 题型二、线段上含动点求定值问题 5 题型三、线段上含动点求时间问题 13 题型四、线段上含动点的新定义型问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段上含动点求线段长问题 1．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 2．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． (1)若点C恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算． （1）由点D、E分别是和的中点，C点为的中点，求出，，，的长度，运用即可得出答案． （2）先求出，再利用中点关系求出即可得出的长． （3）设，由点D、E分别是和的中点，根据即可得出不论取何值（不超过），的长不变， 【详解】（1），点为的中点， ． ∵点、B分别是和的中点， ， ． 故答案为：6； （2），， ． ∵点、B分别是和的中点， ，， ； （3）设，则， ∵点、B分别是和的中点， ∴， ， 不论取何值（不超过），的长不变； 3．点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 4．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 【答案】(1)2 (2)①2033；②或 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可；②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 题型二、线段上含动点求定值问题 5．如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②是定值，其值为 (2)存在， 【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可． （1）①根据题意，求出，根据，求出，即可得到；②根据题意，可得，，再根据，即可； （2）根据题意，，设，得到，当点和点重合时，，推出，解出，即可． 【详解】（1）解：①∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是定值，理由如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 即是一个定值，其值为． （2）解：存在，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 设， ∴， 当点和点重合时，， ∴， 解得， ∴，即当点和点重合时，的长为． 6．如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 7．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____． (2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 【答案】(1) (2)或 (3)的长度不变，其值为 (4)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，即可求解； （2）根据建立关于t的方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，根据线段中点的定义得出，．再根据即可求解； （4）根据（3）可得出点在的右侧，不能为中点，分两种情况讨论，①当是的中点时，②当是的中点，根据线段,结合图形列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当运动到点时， 当点在线段上，即时， ； 当点在的延长线上时，即时， ， ∴的长度为， 故答案为：． （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或； ∴当或秒时， ； （3）解：的长度不变，其值为，证明如下： 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度是一个常数， 的长度不变，其值为； 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度不变，其值为； （4）解：点在延长线上运动时，， 由（3）可得， ∴， ∴点在的右侧，不能为中点， 分两种情况讨论， ①当是的中点时，如图所示， ∴ ∴ ∵ ∴； ②当是的中点，如图所示， ∴， ∴， ∵是线段的中点，    ∴， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了线段的中点的性质，线段和差的计算，列代数式，一元一次方程的应用；数形结合，分类讨论是解题的关键． 8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； (2)若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； (3)记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 【答案】(1)①；②或 (2)或 (3)①3；②或或． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值的应用； （1）①利用非负数的性质先求解，；结合数轴上线段中点对应的数的规律列式计算即可；②由题意可得，再分情况解方程即可； （2）由点P在移动的过程中，满足，可得，再解方程即可； （3）①设运动时间为，可得对应的数为，对应的数为，对应的数为，再计算距离即可．②由①得：对应的数为，对应的数为，，，当时，当时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，； ∴点A和点B在数轴上对应的数分别为和； 点P为线段的中点，则此时点P对应的数； ②∵点P到点A、点B的距离之和为8， ∴， 当时，， 解得：，即此时点P对应的数， 当时，， 当时，， 解得：，此时点P对应的数， 综上：或； （2）解：∵点P在移动的过程中，满足， ∴， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去， 当时，， 解得：， 综上：此时点P对应的数为或． （3）解：①点M到点N的距离不变为，理由如下： ∵点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设运动时间为， ∴对应的数为， 记线段的中点为点M，线段的中点为点N， ∴对应的数为，对应的数为， ∴ 点M到点N的距离为． ②由①得：对应的数为，对应的数为， ∴，， 当时， ∴，即， ∴或， 解得：舍去；或； 当时， ∴，即， ∴或， 解得：或； 综上：或或． 题型三、线段上含动点求时间问题 9．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 10．如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 【答案】(1)2秒 (2)3秒 (3)在线段上距离A点处 【分析】（1）由点Q在边上运动且运动时间为ts时，表示、，令其相等，即可求出t值； （2）由点Q在边上运动时，点P在边上运动时， 表示、，利用等于长方形周长的，建立关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先求解P运动到C的时间，再求解Q的运动路程，从而可得答案． 【详解】（1）解：当点Q在边上运动，运动时间为时， ，， 根据题意得：， 解得：． 答：t为时，． （2）由点Q在边上运动时， 此时，， 根据题意得：， 解得：； （3）当点P到达点C时，此时运动时间为， ∴的运动路程为：， ∵， ∴在上，与距离为． 【点睛】本题考查的是几何动点问题，一元一次方程的应用，确定相等关系，建立方程求解是关键． 11．如图，，线段在线段上，点C在点D的右边，且．动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点B匀速运动；同时线段从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动．设点C的运动时间为． (1)当点P与点A重合时， ． (2)当点P与点D相遇时，求t的值． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)取的中点E，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用线段的和与差即可得解； （2）根据“路程和”列方程求解即可； （3）根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可； （4）根据已知条件“”列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：设点A表示原点，则点P表示的数为：，点D表示的数为：， 则； （4）解：点E表示的数为：， ∴， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题与几何问题），线段的和与差，数轴上两点之间的距离，列代数式等知识点，根据题中的等量关系正确列出方程或代数式是解题的关键． 12．如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．    (1)当点P在上运动时，t为何值，能使？ (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由； (3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论； （3）根据题意可得：，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）运动时间是t（s）时，， 若，则， 解得：； （2）点Q停止运动时，用的时间为秒， 此时点P运动的路程为，， ∴点P不能追上点Q； （3）当P、Q均在射线上，它们相距1cm时， 根据题意得：， 即， 解得：或． 题型四、线段上含动点的新定义型问题 13．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 14．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 15．已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 16．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的 故选：D． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据两点间距离进行计算即可； ②利用路程除以速度即可； ③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可； ④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为4，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴点B对应的数是-2，故①错误； 由题意得： 6÷2=3（秒）， ∴点P到达点B时，t=3，故②正确； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴4÷2=2（秒）， ∴BP=2时，t=2， 当点P在点B的左侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴8÷2=4（秒）， ∴BP=2时，t=4， 综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴，， ∴， 当点P在点B的左侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ，， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确． 所以，上列结论中正确的是②④． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 当时，， ∵点在负半轴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 三、解答题 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 9．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以 (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ； (2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值； (3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可． （1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可． （2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：当点P、A在点O的同侧时， ∵， ∴ ∴； 当点P、A在点O的异侧时， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当，解得：； 当，解得：； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，数轴上两点间距离，绝对值意义，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 13．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05线段（数轴）上的动点探究问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题…1 题型二、线段上含动点求定值问题。 5 题型三、线段上含动点求时间问题13 题型四、线段上含动点的新定义型问题.17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题 1.如图，点C在射线AB上，且在点A、B之间，AB=18,AC=2BC.动点P从C出发，以每秒1个单 位长度的速度沿射线CB向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AB运动， 遇到点P时按原速返回点C停止运动.当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为 t(s). 9 B (1)AC= (2)当点P是线段BC的中点时，求PO的长， 2.探究题：如图，已知线段AB=12cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. D C E B (I)若点C恰好是AB中点，则DE= (2)若AC=4cm,求DE的长： (3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过l2cm),DE的长不变. 3.点A,B在数轴上的位置如图所示，点P是数轴上的一动点. A -2 0 6 (I)若PB=3,则点P表示的是什么数？ (2)若PB=3,且点Q是AP的中点，求线段AQ的长. (3)是否存在点P,使PA+PB的值最小？若存在，则点P在数轴上的什么位置？PA+PB的最小值是多少？ 4.如图，数轴上点A,B分别表示数a,b,其中a<0,b>0. AO B b 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=-3,b=7时，线段AB的中点表示的数是 (2)若数轴上另有一点M表示数3. ①若点M在线段AB上，且AM=2BM,求式子a+2b+2024的值； ②点P为线段AB上一动点，点Q为线段OM上一动点，当b=a+6时，线段PO的最大长度为5，求a的值， 题型二、线段上含动点求定值问题 5.如图，线段AB=I0,动点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上一点. y D C EB AD C 图1 图2 (I)如图1，当点E是线段BC的中点时， ①若AD=3,则BE= ②点C在线段AB上运动的过程中，线段DE的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值：若不是， 请说明理由 (2)如图2，当点E是线段BD的中点时，点C在运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在， 求出重合时线段AC的长度：如果不存在，请说明理由. 6.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中 点，AD=10cm,设点B的运动时间为s(0≤t≤10). A B C D (I)当t=2时，则线段AB= cm,线段CD= cm: (2)当t为何值时，AB=CD? (3)点B从点A出发的同时，点E也从点A出发，以aCm/s(0<a<2)的速度向点D运动，若当运动时间t满 足0≤t≤5时，线段EC的长度始终是一个定值，求这个定值和a的值 7.如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线4B运动，运动时间为t秒(>0)， M为AP的中点. P B (I)用含t的代数式表示PB的长度为 (2)在点p运动的过程中，当，为多少时，PB=号AM? (3)在点P运动的过程中，点N为BP的中点，证明线段MN的长度不变，并求出其值. (4)当点P在AB延长线上运动时，当M、N、B三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接 写出t值， 8.如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b,(a+2)+b-4=0.点P为数轴上一动点，其对应 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的数为x. A O B (①)①若点P为线段AB的中点，则此时点P对应的数x,=: ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数x,= (2)若点P在移动的过程中，满足BP=PO+PA,求此时点P对应的数x的值； (3)记线段PA的中点为点M,线段PB的中点为点N,若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向 左运动， ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由. ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值. 题型三、线段上含动点求时间问题 9.如图，P是线段AB上一点，AB=I8Cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向左运动， 到达点A处即停止运动. A P D B (I)若点C,D的速度分别是lcms,2cm/s ①当动点C,D运动了2S,且点D仍在线段PB上时，AC+PD= cm; ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP:PB= (2)若动点C,D的速度分别是lcm/s,3cm/s,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长 10.如图，在长方形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,动点P沿AB边从点A开始，向点B以2cm/s的速 度运动：同时，动点Q沿DA边从点D开始，向点A以lcms的速度运动；设运动时间为t. D B (I)当t为何值时，AQ=AP? (2)当t为何值时，AQ+AP等于长方形周长的4？ (3)如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q达到点A后沿AB方向继续运动，当点P到达点C时， 求点Q的位置 11.如图，AB=12,线段CD在线段AB上，点C在点D的右边，且CD=3.动点P从A出发，以每秒3 个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动；同时线段CD从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动.设点C的运动时间为($). ● A P D C B (I)当点P与点A重合时，AD=-· (2)当点P与点D相遇时，求t的值. (3)求PD的长（用含t的代数式表示）. (4)取CD的中点E,当AB=2PE时，直接写出t的值. 12.如图，∠AOB的边OA上有一动点P,从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO,射线OB运动， 速度为3cs:动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为2cms,点P、Q同时出发，设运动时间是 t(s). A M N B (I)当点P在M0上运动时，t为何值，能使OP=O0? (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q?如果能，求出t 的值；如果不能，请说出理由： (3)若P、Q两点不停止运动，当P、2均在射线OB上，t为何值时，它们相距1cm 题型四、线段上含动点的新定义型问题 13.如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段AB,AC和BC,若其中一条线段的长度是 另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. A C B 图1 A B 图2 (1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”（填“是”或 “不是”)： (2)若线段AB=18cm,点C为线段AB的“巧点”，则AC=」 (3)如图2，已知.AB=18cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发， 以lCm/s的速度沿BA向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为t秒，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”？并说明理由. 14.定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点. M B A(C) B(D) 图1 图2 (I)如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM=2AM,若AB=9cm,则AM=cm: 2 (2)如图2，已知4B=9m’点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒亏cm的速度沿射 线AB方向运动t秒. ①当1为何值时，点C是线段AD的三等分点 ②在点C,点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线BA方向运动，在运动过程中， 当点C是线段AE的三等分点时，点E也是线段AD的三等分点，请直接写此时出线段EB的长度， 15.已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线段AB的“五美点”. 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的“五美点”，则AC= 【解决问题】 (2)如图，E在射线OM上，OE=12」 OD K F E M E M (备用图) ①若点D、F均为线段OE的“五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度： ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线OM向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个 单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为1秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当 P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写 过程 16.数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的 内在联系，它是“数形结合”的基础 A B -10 图1 ① ② M 0 M M 图2 0 词 备用图 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【知识呈现】 数轴上的点A,点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是，点 A与点C之间的距离AC=_,点B与点C的中点D表示的数是_，且在图1的数轴上标出点D, (2)【定义】 一个点M(不是原点)在数轴上运动，第一次跳到M1的位置（点M1,与点M表示的数互为相反数）， 点M称为点M的一次跳跃点，紧接着从M1到M,的位置（点M2与点M1位于点P的两侧，且 PM,=PM2≠0)则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点，如图2所示. 【初步理解】 回若点y表示的数是，表示的数是4点的一次跳跃点：点训表示的数是，刘关于点p的 二次跳跃点M2表示的数是_，线段MM2的长度为_. 【深入探究】 ②若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点M,为点M关于点P的二次跳跃点.若 点M,点P表示的数分别是m,-5,当m变化时，探究MM2的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由， 【归纳总结】 ③若在数轴上点M,P分别表示有理数m,p(其中m≠0，p≠0)，点M2为点M关于点P的二次跳 跃点，直接写出线段MM2的长度 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上贵州铜仁期未)已知点M是线段AB上一点，若AM=AB,点N是直线AB上的 MN 动点，且AN-BN=MN,则AB的(） 3 B. C.1或号 D.4或2 2.(24-25七年级上江苏无锡期末)已知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点，则下列结论： ①若c是4B的中点，点D在线段CB上，DB=3则C05:②者4C+BD=CD,则C0:③若 2 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=4,且AC:BD=12,则AC=4;④若D是BC的中点，AC=6+a(a>0),则AC>BD.其中正 确的为() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②④ 3.(24-25七年级下·云南昭通期末)如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数 为4，且AB=6,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中， M,N始终为AP,BP的中点，设运动时间为(t>O)秒，则下列结论中正确的有() ①B对应的数是2：②点P到达点B时，t=3:③BP=2时，t=2;④在点P的运动过程中，线段MW的 长度不变 B N+PMA 0 4 A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 二、填空题 4.(24-25七年级上·江苏南京·阶段练习)已知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度 沿AB向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒4m的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒 (0<t<4).在整个运动过程中，请你用1的式子表示线段PQ的长=一。 P A B 5.(23-24七年级上·贵州六盘水期末)如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为-3，动点P从点O 出发，按以下规律跳动：第1次从点O跳动到OA的中点A处，第2次从点A跳动到AA的中点A处，第3 次从点A,跳动到A2A的中点A处，…，第n次从点A1跳动到AA的中点An处，按照这样的规律继续跳 动到点A4,A,A6,…,A024处，那么点A224所表示的数为一 4A3A2 A 6.(23-24七年级上·江西上饶·期中)数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该 点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”.已知，如图点A,B表示的数分别为-2,6，点 C为数轴上一动点.若A,B,C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为一 A -8-76-5-4-3-2-10123456789→ 三、解答题 7.(24-25七年级上·浙江温州期末)如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴 上一点，且AC=8.动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tt>0)秒， B 、A 014x ()直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含1的代数式表示线段CP的长度： (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN是否 发生变化？若有变化，请说明理由：若不变，请求出MN的长度： 8.(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点C从点 A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度 的速度向左匀速运动.设点C运动时间为t秒(t>0). (1)①A,B两点之间的距离为 线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系. (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. 9.(23-24七年级上·福建泉州期末)如图，O为数轴的原点，A0=5,BD=6,O为BD的中点，C为 AB的中点， A D CO B (I)求CO的长度： (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个 单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒(t>O),当t满足什么条件时，AP+2BQ有最小值，并 求出该最小值. 10.(24-25七年级上·山西临汾·期末)综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，己知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为-2和 8. A B -20 8 实践探究 (I)线段AB的长为 (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(t>0)秒， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当0<t<5时，线段PA= 线段PB= 点P表示的数为 :(用含1的代数式 表示) ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，当动点P在(2)条件下运动时，线段MN的长度是 否与点P的运动时间t有关.若有关，请求出线段MW的长度与t的关系式：若无关，请说明理由，并求出 线段MN的长度， 11.(23-24七年级上·江苏无锡·期末)在数轴上，把原点记作点O,表示数a的点记作点A.对于数轴上 任意一点P(不与点O、点A重合)，将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作 kBa,即(P,ad=PO PA,例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为P0='PA=2,所以 k(P,a)-Po_1 PA 2 (I)当点P是线段OA的中点时，点P关于点A的K值k(Pa=_: (2)若点P表示的数为p,点A表示的数为a,OA=4OP,求点P关于点A的K值k(P,a: (3)点？、点乃为数轴上两个不同的点，并且点P与B所表示的数互为相反数，点？表示的数为P,点A. 点B分别表示数a、-2,若k(B,a=k(B,-2),请直接写出a、p需满足条件： 12.(24-25七年级上湖南衡阳阶段练习)如图，已知数轴上原点为O,点A表示的数为a,点B表示的 数为b,且a、b满足(a-10+b+4=0.动点p从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速 运动，设运动时间为t(t>0)秒 B A (I)写出数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 点P表示的数是 (用含t的式子表示)： (2)设点M是AP的中点，点N是PB的中点.点P在直线AB上运动的过程中，线段MN的长度是否会发生 变化？若发生变化，请说明理由：若不变化，求出线段MW的长度 (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点O出发，以每秒3个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,Q,R同时出发；若点P,R间的距离记为PR,点P,Q间的距 离记为PQ,是否存在一个数n,使得nPR-PQ的值与t无关？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明 理由， 13.(23-24七年级上江苏泰州期末)【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点AB表示的数分别 a+b 为a,b?则4B两点之间的距离AB-Q-小：线段4B的中点表示的数为2 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识运用】 1 (1)点从、B表示的数分别为a、b'若。与5互为倒数，b与-7互为相反数.则从、B两点之间的距离 为；线段AB的中点表示的数为。 【拓展迁移】 (2)在(1)的条件下，动点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发以 每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点M是线段PQ的中点. ①点M表示的数是（用含（的代数式表示）； ②在运动过程中，点APQ中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间1： ③线段PQAM的长度随时间1的变化而变化，当点Q在点P左侧时，是否存在常数m,使mPQ+AM为 定值？若存在，求常数m及该定值：若不存在，请说明理由。 14.(24-25七年级上浙江台州期末)定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则d48c=m. 例如AB=6,AC=3,则dABc=2. 2 0 P -2 4 图1 B 图2 A 备用图 (1)如图1，O为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则do阳= (2)如图2，已知线段AB=12cm,点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为 lcm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示d4PB和d4os. 1 ②当，为何值时，d4os-dPs= 2 ③若线段pQ的中点为M’直接写出dws=3时，的值. 15.(23-24七年级上·浙江宁波·期末)定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC或BC=2AC,则称点C是线段AB的“倍距点”. MN→ B→0A B 图1 图2 (I)线段AB的中点该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=_· 10/11