专题06 与角有关的旋转问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

专题06 与角有关的旋转问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题 1 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 9 题型三、旋转中求角的运动时间问题 14 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、旋转中求的角定值问题 1．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分． (1)若，求的度数； (2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，可得，再结合角平分线的含义可得答案； （2）先求解，证明，结合，进一步可得结论； （3）先求解，结合，可得，求解，结合（2）的结论可得答案. 【详解】（1）解：，，， ， 又， ， 又平分， ； （2）解：， ， 又平分， ． 又， ， ． （3）解：， ， ∵， ， ． 由（2）知：， ； 2．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴∠， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时，即，解得． 如图3，当在内部与重合时，即， 当时，即，解得， 故答案为：或． 3．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 4．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）90；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个均可得分）； （2）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 5．如图，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20° (2)，见解析 【分析】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． （1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设，则，再利用，然后整理可得结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 设，则， ， ， ， ． 6．【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 7．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 8．【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则_______________；若，则_______________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①根据互余关系得出，根据得出，继而得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： 同理可得： ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 题型三、旋转中求角的运动时间问题 9．如图，若是平角，，将直角三角板的直角顶点与点O重合，与重合．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒． (1)当平分时，计算与t的值 (2)在三角板旋转的同时，以每秒的速度顺时针旋转，当平分时，求t的值． 【答案】(1)，秒 (2)秒 【分析】本题考查了角的平分线的计算、角的和差，找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再根据路程=速度时间即可得出答案； （2）先根据路程=速度时间结合角的和差表示出，再根据角平分线的定义得出，然后表示出，最后根据建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）当平分时， ， ， 每秒速度旋转，旋转所需要时间（秒） （秒）； （2）依题意可得，， 平分， ， ，， ， （秒） 答：当平分时秒． 10．如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线． (1)当时， ． (2)如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数． (3)当，且时，求旋转时间的值？ 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）当时，，，根据计算即可． （2）设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，，根据角的平分线，得，即，列出方程解答即可． （3）设运动秒时，根据题意，得，，根据，且，分点Q在左侧和右侧两种情况，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为， ∴当时，，， ∴． 故答案为：． （2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，， ∵恰好分别为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：设运动秒时， 当点Q在右侧时， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点Q在左侧时，如图， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵， ∴， 根据题意，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，，且． 【点睛】本题考查了角的平分线，角的和差计算，平角的定义，一元一次方程的应用，分类思想的应用，熟练掌握角的平分线，一元一次方程的应用是解题的关键． 11．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【答案】(1)135；120；75 (2)①或；②4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间． ①当时，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分，，及四种情况考虑，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，； ； ． 故答案为：105，120，75； （2）解：（秒），（秒），（秒），（秒）． ①当时，，， ∴， 即或， 解得：或． 答：t的值为3或； ②当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴， 即或， 解得：或； 当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴，舍去． 综上所述，t的值为4或． 故答案为：4或． 12．已知如图1，点O是直线上的一点，，． (1)求的度数； (2)若绕着点O顺时针旋转（与重合即停止），如图2，分别平分，则在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，说明理由； (3)若的边从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒和每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时两边都停止旋转），分别平分平分．设旋转时间为t秒． 求：①当旋转时间 时，；②当旋转时间 时，． 【答案】(1) (2)不变， (3)①10或14；② 【分析】本题主要考查了角平分线的相关计算、角度的计算、一元一次方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图形，利用角的和差即可得解； （2）由角平分线可得，，再利用角的和差及整体思维求解即可； （3）①将和分别用含t的式子表示出来，进而分类讨论，建立方程求解即可； ②利用角平分线的定义分别表示出和，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，且， ； （2）的大小不变， 理由如下： 分别平分， ，， ， ； （3）①由题可知， 当在左侧时， ，即， 解得， 当在右侧时， ，即， 解得， 综上，当或14时，， 故答案为：10或14； ②平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 故答案为： 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 13．如果+2=180°我们称是的“倍补角”．例如若，则是的“倍补角”，请注意：此时不是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，且，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中可以表示余角的式子有（写出所有正确结论的序号）； (2)如图1，已知，若在直线的上方存在射线，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图2，已知，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（），当是的“倍补角”时，求此时t的值． 【答案】(1)①②③； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义，角的计算，利用一元一次方程解决几何动点问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先由“倍补角”可得，，进而推出，再利用余角的定义直接求解即可； （2）分类讨论：在中以及在中，画出图形，依据“倍补角”和互余的性质求解即可； （3）分别表示出和，进而根据“倍补角”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 是的“倍补角”， ， ， ，故①符合题意， ，故②符合题意， ③，故③符合题意， ，故④不符合题意， ∴表示余角的式子有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：当在中时，如图： 设， ∵且， ∴， ∵， 解得：， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在中时，如图： ∵， ∴与小于， ∵，故不存在（舍去）， 综上，； （3）解：如图： ∵平分平分， ∴， ， ∵，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图1，射线在同一个平面内，则图中共有三个角，，其中每个角都是小于的角．设． (1)若时，则称线为的“倍比线”． ①若射线为的“倍比线”，且，则___________．； ②如图2，若，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方回旋转，旋转一周至时停止，设旋转的时间为，当时，射线是的“倍比线”； ③在②的条件下，如图3，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转．射线同时旋转，当旋转一周至时，射线同时停止运动，设旋转的时间为，求当为何值时，射线是的“倍比线”； (2)如图4，在同一个平面内，，射线在内部或边上．将射线关于的所有可能的的最小值记为，当在平面内运动时，的最大值为___________． 【答案】(1)①；②6或16；③或；射线是的“倍比线” (2) 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用； （1）①根据题意设时，，根据新定义，列出方程，解方程，即可求解； ②分四种情况，分别讨论，根据射线是的“倍比线”，列出方程，解方程，即可求解； ③由②可得当在的外部时，射线是的“倍比线”；分别画出图形，结合定义，可列出方程，解方程，即可求解； （2）旋转，根据图形求得中的值，分别求得最小值，进而取所有情形中的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵射线为的“倍比线”， 且， 则， 设时，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； ②当在内部时，，， ，即：此时不存在射线是的“倍比线”； 当在与的反向延长线构成角内部时，，，则， 若射线是的“倍比线”，则， 解得：； 当在的反向延长线与的反向延长线构成角内部时，， 则，即：此时不存在射线是的“倍比线”； 当在的反向延长线与构成角内部时，， 若射线是的“倍比线”，则， 解得：； 综上：当或时，射线是的“倍比线”； 故答案为：6或16； ③点旋转一周用时，此时点旋转， 即当旋转一周至时，旋转至的反向延长线， 由②可得当在的外部时，射线是的“倍比线”； 当相遇时， 解得： 如图所示，当时，在的内部 ∵，，射线是的“倍比线”； ∴ ∵ ∴ 解得： 当旋转到的延长线上时， 当，如图所示， ∵，，射线是的“倍比线”； ∴ ∵ ∴，此方程无解 当第二次相遇时， 解得： ∴当时，在的外部， ∵，，射线是的“倍比线”； ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述：或；射线是的“倍比线”； （2）解：如图所示，当在的内部时 当在内部时，，射线关于的所有可能的的最小值为，即 当和重合时，射线在的边上时，，此时 将逆时针旋转 如图所示，当时， 当射线在的边上时，， 当射线在的内部时，设，则 当，在上方， 当，在下方且在的反向延长线的上方， 当时，在下方且在的反向延长线的下方， 当射线在的边上时，， ∴ 将继续逆时针旋转 如图所示，此时，则 当射线在的边上时，， 当射线在的内部时，设，则 当射线在的边上时， ∴ 综上所述，的最大值为 故答案为：． 15．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的值为或或 【分析】本题主要考查角的新定义运算，一元一次方程的运用，理解“绝配角”的定义，几何中角的数量关系的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据“绝配角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）当时，当时，当时，分类讨论，结合，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知， ∴，则， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“绝配角”， ∴， ∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分， ∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴，， 整理得，， 解得，； ②当转够，即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得，； ③当时，若时，，射线旋转超过，，超过， 转了，转了，如图所示， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，； 综上所述，的值为或或． 16．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”． (1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”． 【答案】(1)是 (2)为或或． (3)当为或时，是的“和谐线”． 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，新定义概念的含义； （1）由角平分线的定义可得，从而可得答案； （2）由射线是的“和谐线”，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步解答即可； （3）求解旋转时间为，当重合时，可得：，当时，在的外部不符合题意；当时，如图，时，如图，当时，即，如图，当时，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵射线是的平分线， ∴， ∴射线是的“和谐线”； （2）解：∵射线是的“和谐线”，， 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ∴； 综上：为或或． （3）解：由题意可得：旋转时间为， 当重合时， 则， 解得：， 当时，在的外部不符合题意； 当时，如图，时， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时，即， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当为或时，是的“和谐线”． 17．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)； (2)①20秒或25秒；②或或或30． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据题意，； （2）①根据题意将用t表示，在射线转动过程中，与重合前，进而可得，与重合后继续转动，则，令，建立方程即可求得t； ②分四种情况讨论：一是是的伴随线，二是是的伴随线，三是是的伴随线，四是是的伴随线，进而用含t的代数式表示出，根据伴随线的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 18．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒； (3)或或或或 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，实际问题与一元一次方程：几何问题(一元一次方程的应用)，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角的关系，列式，解得，即可作答． （2）根据奇妙线的定义要进行分类讨论：或，然后列式计算，即可作答． （3）先得出停止旋转时所需时间为秒，然后逐个情况作图，运用数形结合思想以及根据几何图形中角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得； （2）解： ∵当射线与射线重合时停止旋转，，且绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴停止旋转时所需时间：（秒）， ∵射线是的奇妙线， ∴当时，则 解得， 则（秒）， ∴当时，则 解得， ∴， 则（秒）， 当是的角平分线，则， ∴（秒）， 综上：t的值为秒或秒或6秒； （3）解：∵射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转． ∴停止旋转时所需时间：（秒）， 即射线旋转就停止了， ∵射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴当射线都在的内部时，， 故， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 则， 解得（秒）； 当与重合时，（秒）， ∴， 此时在直线上， ∴当射线都在的外部时， ， ∴， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的外部时，且时 ∴， 解得（秒）， 或当时， ∴， 解得（秒）， ∵射线不在的内部，故舍去； 当时，即 ∴， 解得∴（秒）， 当时， 则， 即， 解得 ∴（秒）， ∵秒，运动停止，不存在， 综上：当射线是的奇妙线时，则t的值为或或或或． 一、单选题 1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由； 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 二、填空题 6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至时，的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角度，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，则：， ∴， ∴； 故答案为：45． 7．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关系解决此题． 【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形： ①当射线旋转到的外部时，． ∴射线旋转的角度为． ②当射线旋转到内部时，． ∴， ∴射线旋转的角度为， 综上：射线旋转的角度为或． 故答案为：或． 8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 9．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 11．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 13．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 15．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 16．【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． (1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； (2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； (3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识． （1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵中是的“量尺金线”，且， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵平分， ∴ ∴射线是的“量尺金线”； （3）当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 综上可知，的度数为． 17．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 18．【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06与角有关的旋转问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题…1 题型二、旋转中探究角的数量关系问题…。 9 题型三、旋转中求角的运动时间问题… .14 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 21 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题 1.已知：如图，直线AB和CD相交于点O(∠AOC为锐角)，点M在直线AB上方，∠BOM=90°，ON平 分∠AOD. 备用图 (1)若∠C0M=52°，求∠D0N的度数： (②试说明：∠DON-)∠COM的度数是一个定值，并求出这个定值的度数： ③若∠B0C-号<C0M,试球∠D0N的度数。 2.如图1，先画出直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠A0B)的顶点与60°角 (∠COD)的顶点重合，且边OA,OC都在直线EF上. 1/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 D E OC F 备用图 (1)LB0D=度： (2)如图2，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB第一次落 在射线OF上时停止。 ①当OB平分LEOD时，求旋转角a的度数； ②如图3，当OB运动到LCOD内部时，∠BOD+∠AOC是定值，求这个定值； ③当∠B0C=2∠A0D时，直接写出旋转角α的度数为_ 3.已知∠A0B=90°. B B M C A D 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，若射线ON,OM分别为∠AOC,∠BOC的角平分线，则LMON=-· (②)如图2，射线0C从OA出发绕点0以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转，射线0D从OA出发绕点0以每 秒10°的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为t,且OM平分∠BOC. ①当0<1<4.5时，若ON分∠A0C为1：3两个部分，求满足∠DON=;∠MON时，t的值. ②如图3，若OP平分LA0D,当0<t<6且1≠4.5时，试判断2LM0P-∠C0D是否为定值.若是，请求出该 定值；若不是，请说明理由， 2/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M 则LA0C+LB0C=90°， N 图1 :射线ON,OM分别为∠AOC,∠BOC的角平分线， ZCON=ZAOC.MOC-BOC 2 ∠M0N=∠W0c+2c0N-40c+∠B0G=45, 故答案为：45°. 4.【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如30°，45,60°，90°. ①小明利用三角尺作出了一个120°的角： ②小乐利用三角尺作出了一个15°的角： 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出_度的角（写出一种即可） 【提出问题】 (2)如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，∠A0B=∠DC0=90°， ∠A=45°，∠D0C=30°，在∠B0D,∠A0C(0°<LB0D≤180°，0°<LA0C≤180°)内作射线OP, 00,且∠P0B=3LD0P,∠QOA=3∠QOC,则∠PO9=J度： 【学以致用】 (3)如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中∠AOB=Q,∠COD=阝，他把这 两个三角形的顶点O及边OD,OB重合在一起，三角形AOB固定，将三角形COD绕点O顺时针旋转，当 边0C与OA重合时，停止运动.在此过程中，在∠BOD,∠AOC内作射线OP,OQ,使∠B0D=3LP0D ,∠AOC=3∠QOC.这时，小明说“LP0Q的度数是一个定值，并且可以用，阝表示出来”；小乐说 “LP0Q的度数是一个随机值，无法用，B表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由. B P B 图1 图2 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 5.如图，点0在直线AB上，∠C0D=60°，∠A0E=2LD0E. B (1)若∠B0D=60°，求∠C0E的度数： (②)试猜想∠BOD和LCOE的数量关系，并说明理由. 6.【问题发现】 D 图① 图② 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； (1)①∠AOD与∠BOC的数量关系是 ②∠AOC与∠BOD的数量关系是 【问题探究】 (2)若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处： ①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由， ②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由. 7.如图1，点0是直线AB上一点，将一个直角三角形板LMON=90)如图1放置，使其中一条直角边 ON在直线AB上，射线OC在LBOM内部. N B 图1 图2 图3 (1)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转，当∠BON=∠CON时，请判断OM是否平分∠AOC,并说明理由： (2)若LB0C=40°，将三角板绕点0逆时针旋转，每秒旋转1°. ①多少秒时∠A0M=∠COM? ②如图3，当ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系， 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 并说明理由 8.【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起. ①若∠DCE=40°，则∠ACB= ；若∠ACB=1209,则LDCE= ②猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由. 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系？请说 明理由. 【拓展延伸】 (3)如图3，已知∠A0C,作∠AOB=,∠COD=B(,B都是锐角，且a>B),若0C在∠A0B的内部， 请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系， D B A 图1 图2 图3 B ②0D在∠BOC内部，如图： A ③0D在∠AOC内部，如图：∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD=a-B; ④0D在OA下方，如图： 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、旋转中求角的运动时间问题 9.如图，若∠AOB是平角，∠AOC=30°，将直角三角板MON的直角顶点与点O重合，ON与OA重合.将 三角板绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒. N B A (1)当ON平分∠AOC时，计算∠AON与t的值 (2)在三角板M0V旋转的同时，OC以每秒4°的速度顺时针旋转，当0C平分∠M0B时，求t的值. 10.如图1，直线AB和直线CD相交于O,且∠BOD=,点M,N分别是射线OA、OB上一点，射线 OM绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，射线ON绕点0以30°/s的速度顺时针旋转，旋转时间为t(0≤t≤6)， 其中O0为∠MON的角平分线. B O D 图1 图2 备用图 (1)当t=3s时，∠M0N=- (2)如图2，当t为多少秒时，ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线？并求出此时a的度数. (3)当a=120°，且∠D0Q=20°时，求旋转时间t的值？ 11.如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板 ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转.当0D第一次与射线0M重合时三角板ODC停止转动，设旋转 时间为t秒. 60 30个 37 459 MB DN 0 图1 图2 (1)当t=2秒时，∠B0C= °，∠A0D= °，∠A0C= 0 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板0AB以每秒20°的速度绕点0顺时针旋转，当OA第一次与射线 ON重合时三角板OAB立即停止转动， ①射线D1和所线0D重合前，当∠40D-了<B0C时，求出相应的：的位： ②整个旋转过程中，当满足LAOD-LBOC=5°时，直接写出相应的t的值 12.已知如图1，点O是直线AB上的一点，∠A0D=90°，2∠A0C=∠C0D. B O B 0 图1 图2 (1)求∠COD的度数； (2)若LCOD绕着点O顺时针旋转(OD与OB重合即停止)，如图2，OE,OF分别平分LA0C,LBOD,则 在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出LEOF的大小；若改变，说明理由； (3)若∠C0D的边0C,0D从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒10°和每秒5°的速度顺时针旋转（当 其中一边与OB重合时两边都停止旋转)，OE,OF分别平分LAOC,LB0D,OM平分∠E0C.设旋转时间 为t秒 求：①当旋转时间t=时，∠C0D=10°；②当旋转时间t=_时，∠C0M=∠B0F. 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 13.如果∠a+2∠B=180°我们称La是∠B的“倍补角”.例如若∠a=20°，∠β=80°，则∠a是∠B的“倍补 角”，请注意：此时∠β不是∠a的“倍补角”. (1)若∠a是∠B的“倍补角”，且∠a<2∠B,给出下列四个式子：①90°-∠a;②2∠B-90°；③2∠β-∠a ;④∠B+∠a.其中可以表示LQ余角的式子有（写出所有正确结论的序号）： (2)如图1，已知LA0B=150°，若在直线OB的上方存在射线0D、OC，,使得∠AOC是∠B0C的“倍补角”， 且∠COD与∠BOD互余，求∠AOD的大小； 0 B 图1 (3)如图2，已知LA0B=30°，射线0C从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线0D绕点O从 OB出发以每秒5°的速度顺时针旋转，0M平分∠B0C,ON平分LA0D,运动时间为t秒(0<1≤66) 5), 当∠AOB是∠MON的“倍补角”时，求此时t的值， 7/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B 图2 备用图 14.如图1，射线0M,0N,0P在同一个平面内，则图中共有三个角∠M0N,∠M0P,∠N0P,其中每个 角都是小于180°的角.设∠MOP+∠N0P=m∠M0N. M 】 M 图1 图2 图3 (I)若m=2时，则称线OP为MON的“倍比线”。 ①若射线OP为∠MON的“倍比线”，且LMON=60°，∠M0P>∠NOP,则∠NOP= ②如图2，若∠M0N=80°，射线OP从OM出发，绕点O以每秒20°的速度逆时针方回旋转，旋转一周至 OM时停止，设旋转的时间为t(s,当t=s时，射线OP是∠MON的“倍比线”； ③在②的条件下，如图3，射线0Q从ON出发，绕点0以每秒40°的速度顺时针方向旋转.射线OP,OQ同 时旋转，当OQ旋转一周至OW时，射线OP,OQ同时停止运动，设旋转的时间为t(s),求当t为何值时，射 线OP是∠MOQ的倍比线”； (2)如图4，在同一个平面内，∠M0N=40°，∠A0B=100°，射线OP在∠A0B内部或边上.将射线OP关于 ∠MON的所有可能的m的最小值记为mmim,当∠AOB在平面内运动时，mmm的最大值为 B 0 M 图4 15.若∠A+2LB=90°，我们则称∠B是∠A的绝配角”.例如：若∠1=10°，∠2=40°，则∠2是∠1的“绝 配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”. A B -B 图1 图2 图3 备用图 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，已知LA0B=75°，在∠AOB内存在一条射线0C,使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时 ∠AOC= °；（直接填写答案） (2)如图2，己知∠A0B=75°，若平面内存在射线0C、OD(0D在直线OB的上方)，使得∠AOC是 ∠B0C的“绝配角”，∠B0C+∠B0D=180°，求∠A0D大小； (3)如图3，若∠A0B=10°，射线0C从OA出发绕点0以每秒20°的速度逆时针旋转，射线0D绕点0从OB 出发以每秒12°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,运动时间为t秒(0<t≤20).若 ∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值 16.如图1，射线OP在∠MON的内部，图中共有3个角：∠MON,∠MOP和∠N0P,若其中有一个角的 度数是另一个角度数的两倍，则称射线OP是∠MON的“和谐线” E CB 图1 图2 (I)若射线OP是∠MON的平分线，那么射线OP ∠M0N的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线OP是∠MON的“和谐线”，当∠MON=a时，则LMOP=·(用含a的代数式表示出所有可 能的结果) (3)如图2，O为直线EF上一点，点C在射线OE上，现将一直角三角尺的60°角的顶点放置在点O处（即 ∠AOB=60°)，其中边OB在射线OE上，另一边OA在直线EF的上方.若图2中的射线OC绕点O从OE位 置开始，以每秒12°的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺A0B也绕着点O以每秒3°的速度沿顺时针 方向旋转，当OC与OF重合时都停止旋转，设旋转的时间为t秒.问：当t为何值时，OA是∠B0C的“和 谐线”. 17.射线0C是∠40B内部的一条射线，若∠C01=∠B0C,则我们际射线0C是射线01的件随线。例 如，如图1，∠40B=60°，∠A0C=∠C0D=∠B0D=20,则∠A0C=}∠B0C,称射线0C是射线OA的伴 2 随线：同时，由于∠BOD=∠AOD,称射线OD是射线OB的伴随线。 图1 图2 图3 备用图 (1)如图2，∠A0B=120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠A0M=-: (2)如图3，若LA0B=180°，射线0C与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线0D与 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线0D与射线OA重合时，运动停止， ①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由： ②当t的值为多少时，射线OC,OD,OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 18.如图1，射线0C在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB,∠AOC和∠C0B,若其中有一个角的 度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线. B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0B=60°，∠C0B=2∠A0C,求∠A0C. (②)如图2，若LA0B=120°，射线0M从射线OB位置开始，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当射线 OM与射线OA重合时停止旋转.设旋转的时间为t秒，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，求t的值 (3)如图3，若LA0B=90°，射线OE,OF分别从OB,OA位置同时出发，射线OE绕点O以每秒12°的速度逆 时针旋转，射线OF绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转，当射线OE旋转360°与射线OB重合时两条射线都 停止旋转.设旋转的时间为t秒，当射线OE是∠AOF的奇妙线时，求t的值 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形， 且被等分成了8份，三角形0AB是水车的支架，∠A0B=60°.水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆 心0旋转.在图②中，若0C平分∠A0B,则∠BOD的度数为() 图① 图② A.5 B.15° C.20° D.无法确定 2.题月：“一块含30°角的直角三角板ABC和一块含45°角的直角三角板BDE拼成如图1所示的图案后，三 角板BDE固定不动，将三角板ABC绕顶点B旋转一周，如图2.当LCBE=∠ABD时（注：∠CBE,∠ABD 均指图中不超过180°的角)，求旋转角α的度数.”对于其答案，甲答：a=105°，乙答：α=285°，则 正确的是() 10/17