专题03 整式中的规律探究问题（2大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03整式中的规律探究问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、数字类规律探究问题 题型二、图形类规律探究问题… ..6 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、数字类规律探究问题 1.观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：-1， 357 4’9’16',第8个数是；则 第n个数是一 2。若x是不等于1的有理数，我们把十称为x的差例数。如：2的差倒数是十2，一1的差倒数为 1-x 11 一))，现已知x=一1，x2是x的差倒数，x是x2的差倒数，x4是的差倒数，···，依次类推， X2025= 3.观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，-3,5，-7,9，-11,13，-15， 第二行：0，-4,4，-8,8，-12,12，-16， 第三行：2，-6,10，-14,18，-22,26，-30， (1)第一行第9个数为 ,第二行第9个数为 ,第三行第9个数为 (2)取每行中第10个数，求三个数之和： (3)若每行都取第n个数，是否存在这样的n,使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由， 4.观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题.请你擦亮 眼睛，开动脑筋，解答下列问题 城察*式女片日背女4兮子表品按W险期 ①写出第6个等式是 ,第n个等式是 111 1 ②计算： 1×2+2×3+3×4+…+2023×20241 ,上+++++的值 (②思考运用以上方法计算：4+12+24406084 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.观察图，解答下列问题 oooooo oO 000000 000000 o0000O (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈， 第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，那么第9层有 个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法 比如：前两层的圆圈个数和为1+3)或22，由此得，1+3=22. 同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32， 由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42. 由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52. 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是 (用n的代数式表示)： (3)计算：1+3+5+7+.+199= (4)计算：201+203+205+.+299. 题型二、图形类规律探究问题 6.摆一摆，找规律 ① ③ ④ (1)请画出第⑥个图形； (2)摆第7个图形需要用 根小棒； (3)摆第n个图形需要用 根小棒 7.如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个C和4个H,分子式是CH4;第2个结构 式中有2个C和6个H,分子式是CH6;第3个结构式中有3个C和8个H,分子式是C,Hg…按照此规 律，回答下列问题 HHH H一( H HH HH H 第1个 第2个 第3个 (1)第5个结构式的分子式是 (2)第n个结构式的分子式是 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)试通过计算说明分子式是C22H4o5o的物质构成符合上述构成规律吗？ 8.如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要3根木棒，第2个图案 需要5根木棒，第3个图案需要7根木棒，第4个图案需要9根木棒，…依据此规律，继续拼接图案。 第1图案 第2图案 第3图案 第4图案 (1)第5个图案需要木棒根，第个图案需要木棒-（用含n的式子表示）根. (2)若要摆出第25个图案，则所需木棒的根数是多少？ 9.如图所示，是用图形“O”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”. O O O o O○O ○ oo oOO OOOO oo o0 o0oo o000 oo 0O○ o0. ○○○○○ oo oo OO ○○ ○ oo o0 0000 000 (1) (2) (3) (4) (5) (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“O”的个数为个，“。”的个数为个： (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“O"的个数是图形“●”的个数的4倍？ 10.有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点， 形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图(1)，将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中 的菱形纸片重复上述操作，得到如图(2)所示的图形… =1 53 5=7 图(1) 图(2) 图(3) 设图(n)中的“沙漏形"的个数为，(n为正整数).观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：f=-,fn=-(用含n的式子表示)： (2)当n的值为多少时，fn-fm-的值开始大于2025. 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.226七年缓上全玉期)观察下列一组数：日，子各名·它是接定规徐排列的，惠 么这一组数的第10个数是() 19 19 B.20 c 21 A.- 20 D. 22 2.(2526七年级上全偶期中)a是不为2的有理数，我们把22。称为4的哈利数，如3的哈利数"是 2 2 2一3-2，-2的“哈利数是2--22，已知a,=3,4是a,的哈利数，4是0的哈利数，0，是a的 “哈利数”，.，依此类推，则a2025=() A.3 B.-2 c为 D. 3.(19-20八年级上·重庆阶段练习)如图是由一些长度相等的小木棍组成的图形，图(1)(2)(3)需要的 小木棍数量分别为3根、7根、15根，按照这种方式摆下去，第(7)个图形需要的木棍数量为() 丫- (1)(2) (3) A.127根 B.131根 C.255根 D.259根 4.(25-26七年级上·吉林长春·期末)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角 形数”，而把1,5,12,22.这样的数称为五边形数（如图所示），古希腊人也常用小石子在沙滩上摆成各 种形状来研究数，则第6个五边形数是() 12 22 A.35 B.50 C.51 D.56 5.(18-19七年级上浙江舟山期末)将一列有理数-1,2，-3,4，-5,6，，如图所示有序排列，根 据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数()， -2019应排在A、B、C、D、E中的()位置.其中两个填空依次为() 4/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -9 C 8 10 B D 11→…→A E 峰1 峰2 峰n A.-29,C B.-29,D C.30,C D.30,D 二、填空题 6.(24-25七年级上宁夏银川期中)有规律的一组数列：-4,8，-16,32，-64，一， 7252浙八年级上全国单元试一自骏规#排的式。名品8则结个成了是（功 正整数) 8.(25-26七年级上·重庆綦江·开学考试)用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案.按照这样的方法摆 第9幅图案需要」 _个等边三角形，摆第n幅图案需要_个等边三角形 风 7 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 923-24七年级上严割州阶段练习已知等式：2+号2×3,3+3=3x3 84+ 42x4 4 3 8 15 15’., 10+9=10'×4(a,b均为正整数)，则a+b= b b 10.(24-25七年级上·福建泉州开学考试)在计算一些特殊的异分母分数相加时，聪聪没有通分，而是利用 数形结合的思想，把加法转化为减法来计算，请你也试一试. (1 2 1 (2) 2 1 2 48 18 1,1,1,11 ()请根据上面的方法继续计算：2十4十8+6十32— 三、解答题 11.(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)观察下列三行数： 第一行：-1,2，-3,4，-5，： 第二行：1,4,9,16,25，； 第三行：0,3,8,15,24， 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)第三行第8个数是 (②)取每行的第10个数，请计算出这三个数的和是多少？ 12.(24-25七年级上天津阶段练习)一组数字的排列规律如图所示，探究下列问题： -1 4→-58→-9 A→B ↓↑↓↑↓↑↓↑ 2→-3 6→-710→.. C→D (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)在A,B,C,D四处，哪些位置上的数是负数？ (3)第2024个数是正数还是负数？它排在对应于A,B,C,D中的哪个位置？ 13.(2025河北邯郸·二模)将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵(“数阵”第一个数字可以任选)， 随机用一个“工”字形框圈出相应数字 45 16 7181920 2122232425 图1 图2 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a,b,c,d,e,,g 表示.若d=25,求a+b+c+e+f+g的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数 字a,b,c,d,e,f,g,则a+b+c+e+f+g=kd,其中k为常数.请你验证该猜想的正确性，并求出常 数k的值. 14.(24-25七年级上山东枣庄·阶段练习)如图，在边长都为☑的正方形中分别排列着一些大小相等的圆. 第1个正方形 第2个正方形 第3个正方形 (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是 ，第n个正方形中圆的个数是： (②)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与 圆的个数的关系：（结果保留） ②若a=10,请求出第2024个正方形中阴影部分的面积.（结果保留刀） 15.(21-22七年级上·浙江台州期中)把正整数1,2,3,4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下 分别称为第1行、第2行、，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数 分别记为A,B,C,D,设A=x· 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12345678 910111213141516 D 1718192021222324 2526272829303132 图1 图2 (1)在图1中，2021排在第_行第列： (②)A-B+C-D的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变， ①设此时图1中排在第m行第n列的数(m,n都是正整数)为w,请用含m,n的代数式表示w; ②此时A+B-C-D的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 16.(24-25七年级上·河南信阳期中)如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这 样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实 心圆圈相间排列， ● (①)把表格补充完整. 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为 (用含x的代 数式表示) (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 圆环串中圆环的个数 1 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 17.(2025七年级上·四川专题练习)阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： +2+3++100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3++m三)n+,其中m是正整数。 在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n(n+1)=? 观察下面三个特殊的等式 1×2=1×2×3-0×1x2) 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x3=2×3x4-1×2x3) 3 0x43x4x5-2x3x4 1 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=二×3×4×5=20 3 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算1×2+2×3+…+98×99=- (2)计算11×12+12×13+13×14+…+40×41的值： (3)将算式类比到如下形式，猜想1×2×3+2×3×4+…+nn+1(n+2)=一 18.(24-25七年级上福建泉州期中)某天，小明突发奇想，打算研究形如： 1++L+ …+ m m2 mm" (其中 m,n都是正整数，且m≥2，n≥1)的式子的计算结果，能否有一种比较直观的方法来解决这个问题. 探究问题：为解决上面的数学问题，小明请教了老师，老师对小明说了两句话： 一、从特殊到一般；二、灵活运用数形结合的思想方法”。 小明突然灵机一动，想了如下办法：通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙 地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 23 23 22 22 22 ■ 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 2n2 111 根据第n次分割图，所有阴影富分的面积之和为2+2+2+…+ 1 ， 最后空白部分的面积是之，从而小 111 1 1 明得到了等式：2+京+++212 ,1,11 1 探究二：计算行十京+习+…+ 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 2 2 2 3 3 3 … 2 2 3 32 33 32 2 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割33n 2 根据第n次分割图。所有阴影部分的面积之和为号+子+子++子，最后空白部分的面积是，从面小明 222 得气了等式：号号子子1小 2 3 111111 两边同除以2，得十京+习+… +3”22×30· 111,，1 探究三：计算4十家+不++ 4” (I)仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果. 第次分割，所有阴影部分的面积之和为_一；最后的空白部分的面积是_；根据第n次分割图可得等式_；两 边同除以，得 第n次分割 (2)解决问题：猪想上++1+ m= 3拓应用：计算1±了1±++7 552+ 5n 9/9 专题03 整式中的规律探究问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数字类规律探究问题 1 题型二、图形类规律探究问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数字类规律探究问题 1．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 2．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据差倒数的定义找出该组数列的前4个数，由，从而得出数据变化规律，根据规律可得出的值． 【详解】解：根据差倒数的定义可得出：， ， ， ， ， 由此发现该组数每3个一循环． ， ． 故答案为：4． 3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17，16，34 (2) (3)存在，13，见解析 【分析】（1）第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；根据题意，得，，，于是得到第n个数为，解答即可． （2）根据题意，得第n个数是，，，，，于是得到第n个数为，解答即可． （3）根据前面的规律，列式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 当n为偶数时，， 解得，不符合题意； 当n为奇数时，， 解得，符合题意； 故存在，且n为13． 4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）①观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是1，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两个分数的差，分子都是1，分母是两个连续正整数，根据规律写出第6个等式和第n个等式即可； ②利用发现的规律进行计算即可； （2）先提出，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴第6个等式是：； 第n个等式是：； 故答案为：，； ②原式 ； （2）解：原式 ． 5．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）利用已知数据得出答案即可； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可； （4）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 题型二、图形类规律探究问题 6．摆一摆，找规律 (1)请画出第⑥个图形； (2)摆第7个图形需要用______根小棒； (3)摆第个图形需要用______根小棒． 【答案】(1)图形见解析 (2)15 (3) 【分析】本题考查了数与形结合的规律，图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况，据此解答即可． （1）根据图意接着画出2个三角形组成平行四边形； （2）根据每增加2根小棒，就增加一个三角形，即可得出n个三角形所需火柴棍的根数为，进而即可求出当时，小棒的根数； （3）整理得出n个图形需要小棒的根数． 【详解】（1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形； （2）观察图形可知： 1个三角形所需火柴棍的根数为3， 2个三角形所需火柴棍的根数为， 3个三角形所需火柴棍的根数为， 4个三角形所需火柴棍的根数为， … n个三角形所需火柴棍的根数为， 当时，， 故摆第7个图形需要15根小棒． （3）由（2）可知： n个三角形所需火柴棍的根数为， 故摆第个图形需要用根小棒． 7．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． (1)第5个结构式的分子式是______． (2)第个结构式的分子式是______． (3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 【答案】(1) (2) (3)不符合，计算见解析 【分析】本题主要考查了跨学科情境下的列代数式相关知识，根据题意得到正确的规律是解题是关键． （1）根据规律可知第4个结构式中有4个和8个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． （2）根据规律可知第个结构式的分子式有个和个． （3）根据（2）中的规律第2025个结构式的分子式有2025个和4052个． 【详解】（1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． 故答案为：． （2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为． 故答案为：． （3）解：不符合． 因为第个结构式的分子式，令，则， 所以分子式的物质构成不符合上述构成规律． 8．如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案． (1)第个图案需要木棒 根，第个图案需要木棒 （用含n的式子表示）根． (2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？ 【答案】(1)11； (2)51 【分析】本题考查了根据图形变化找规律，仔细观察图形的变化，找到规律是解题关键．第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，据此解答． 【详解】（1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒； 故答案为：11； （2）解：当时，， ∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是． 9．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 【答案】(1)，； (2)第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、用代数式表示图形的规律，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； …， 由此可知， 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 故答案为：，； （2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为； 由题意得，解得（舍），， 答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 10．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第10个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第10个数． 【详解】解：根据给出的分数的规律可得， 第n个数为， ∴第10个数是， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 3．（19-20八年级上·重庆·阶段练习）如图是由一些长度相等的小木棍组成的图形，图（1）（2）（3）需要的小木棍数量分别为3根、7根、15根，按照这种方式摆下去，第（7）个图形需要的木棍数量为（   　　） A．127根 B．131根 C．255根 D．259根 【答案】C 【分析】此题考查图形的变化规律，从简单入手，找出图形蕴含的规律，利用规律解决问题． 由图（1）中木棍数，图（2）中木棍数，图（3）中木棍数，得出图（4）中木棍数，图（7）中木棍数为． 【详解】∵图（1）中木棍数， 图（2）中木棍数， 图（3）中木棍数， ∴图（4）中木棍数， 图（5）中木棍数， 图（6）中木棍数为， 图（7）中木棍数为 故选C． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1，5，12，22…这样的数称为五边形数（如图所示），古希腊人也常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，则第6个五边形数是（    ） A．35 B．50 C．51 D．56 【答案】C 【分析】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键．计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，根据此规律依次进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， ∴第5个五边形数是， ∴第6个五边形数是． 故选：C． 5．（18-19七年级上·浙江舟山·期末）将一列有理数，2，，4，，6，……，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数（   ），应排在A、B、C、D、E中的（   ）位置．其中两个填空依次为（　　） A．，C B．，D C．30，C D．30，D 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化类．根据图形中的数据，可以发现数据的变化特点，从而可以得到，“峰6”中C的位置对应的有理数和应排在A、B、C、D、E中的哪个位置． 【详解】解：由图可知， 图中的奇数是负数，偶数是正数， 则到峰6时的数字个数为：， 即“峰6”中A到E对应的数字为：，28，，30，， 故“峰6”中C的位置是有理数， ∵，， ∴应排在A、B、C、D、E中C的位置， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）有规律的一组数列：，8，，，， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．观察数字的变化发现规律即可得解． 【详解】解：观察一组数：，8，，，，…… 发现规律：第n个数是， ∴第6个数是， ∴第7个数是． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：则第个式子是（为正整数） ． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式表示数字变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键． 根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【详解】解：观察分子的规律为， 观察分母的规律为， 根据奇数位的数为负数，偶数位的数为正数，得规律为， 综上，第个式子是， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆綦江·开学考试）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案．按照这样的方法摆第9幅图案需要 个等边三角形，摆第n幅图案需要 个等边三角形． 【答案】 28 / 【分析】本题考查图形变化规律探索，根据已知图形找出三角形数量变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第1幅图案需要等边三角形个数为：， 第2幅图案需要等边三角形个数为：， 第3幅图案需要等边三角形个数为：， 第4幅图案需要等边三角形个数为：， …… 以此类推，第9幅图案需要等边三角形个数为：， 第n幅图案需要等边三角形个数为：， 故答案为：28，． 9．（23-24七年级上·广东潮州·阶段练习）已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律探索的能力，找出规律是解决本题的关键． 根据已知等式归纳出一般规律，并代入特定值求解即可． 【详解】解：观察已知等式： ，当时，的分母为； ，当时，的分母为； ，当时，的分母为；； ∴分母为， 等式可表示为：， 代入， ∴，， ∴． 故答案为：109． 10．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）在计算一些特殊的异分母分数相加时，聪聪没有通分，而是利用数形结合的思想，把加法转化为减法来计算，请你也试一试．   (1) =                                (2) =            (3)请根据上面的方法继续计算： 【答案】 【分析】本题考查了异分母分数加法的简便计算及数形结合思想的应用，解题的关键是发现算式中分数和为1减去最后一个分数的规律，将加法运算转化为减法运算简化计算． （1）观察到的和等于1减去最后一个分数，据此计算结果； （2）同理，的和等于1减去最后一个分数，进而得出结果； （3）延续前两问规律，的和等于1减去最后一个分数，计算得解． 【详解】（1）解：观察可知，可转化为减去最后一个分数；   即．   故答案为：，． （2）解：同理，可转化为减去最后一个分数；   即．   故答案为：，． （3）解：根据上述规律，．   故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列三行数： 第一行：，，，，，； 第二行：，，，，，； 第三行：，，，，，． (1)第三行第个数是___________； (2)取每行的第个数，请计算出这三个数的和是多少？ 【答案】(1)； (2)这三个数的和为． 【分析】本题考查了数字的规律变化，有理数运算，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （）根据题意可得第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为；从而把代入即可求解； （）根据（）中规律，然后通过有理数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：∵第一行：，，，，，；第二行：，，，，，；第三行：，，，，，； ∴第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为； ∴当时，即第三行第个数为， 故答案为：； （2）解：由（）得第一行第个数为；第二行第个数为；第三行第个数为； 当时，第一行第个数为：；第二行第个数为：；第三行第个数为：， ∴这三个数的和为． 12．（24-25七年级上·天津·阶段练习）一组数字的排列规律如图所示，探究下列问题： (1)在处的数是正数还是负数？ (2)在，，，四处，哪些位置上的数是负数？ (3)第2024个数是正数还是负数？它排在对应于，，，中的哪个位置？ 【答案】(1)处的数是正数 (2)和位置上的数是负数 (3)第2024个数是正数，排在对应的位置 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）由图可得，向上箭头的上方对应的数，故处的数与的符号相同，由此即可得解； （2）由图可得，向上箭头的下方和向下箭头的上方对应的数均是负数，由此即可得解； （3）由图可得，每个数进行一循环，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可得，向上箭头的上方对应的数， 故处的数与的符号相同， ∴处的数是正数； （2）解：由图可得，向上箭头的下方和向下箭头的上方对应的数均是负数， 故和位置上的数是负数； （3）解：由图可得，每个数进行一循环， ∵， ∴第2024个数是正数，排在对应的位置． 13．（2025·河北邯郸·二模）将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，见解析，常数的值为6 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 14．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)25，； (2)①第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：，正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②将代入①中求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形内圆的个数是1， 第2个图形内圆的个数是4， 第3个图形内圆的个数是9， 第4个图形内圆的个数是16， … 第n个正方形中圆的个数为个； 故答案为：25，； （2）①第1个图中的阴影部分面积为 =， 第2个图中的阴影部分面积为， 第3个图中的阴影部分面积为 所以第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：， 正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值； ②由①可知每个图形中阴影部分的面积相等，则当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 15．（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3） 解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 16．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】(1)37,46，55 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有163个，空心圆圈有81个． 【分析】本题考查了规律探究问题以及代数式的列写与求值，涉及根据圆环个数与总圆圈数的变化关系补全表格、推导含字母的代数式，以及代入具体数值计算总数和特定圆圈数量． 解题的关键是先找出圆环个数与总圆圈数的变化规律（每增加1个圆环，实心与空心圆圈总个数增加9个），再依据规律列写总个数的代数式，最后结合“偶数个圆环时实心圆圈比空心圆圈多1个”的特殊关系，求解具体数量． （1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 … （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个个． 17．（2025七年级上·四川·专题练习）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 【答案】(1)323400 (2)22520 (3) 【分析】本题考查的是探索规律的题目，解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）将变为，整理即可得解； （3）根据题目中算式得出一般规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 故答案为：． 18．（24-25七年级上·福建泉州·期中）某天，小明突发奇想，打算研究形如：（其中m，n都是正整数，且，）的式子的计算结果，能否有一种比较直观的方法来解决这个问题． 探究问题：为解决上面的数学问题，小明请教了老师，老师对小明说了两句话： 一、从特殊到一般；二、灵活运用数形结合的思想方法”． 小明突然灵机一动，想了如下办法：通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：． 探究二：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：， 两边同除以2，得． 探究三：计算． (1)仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果． 第n次分割，所有阴影部分的面积之和为 ；最后的空白部分的面积是 ；根据第n次分割图可得等式 ；两边同除以 ，得 ； (2)解决问题：猜想 ； (3)拓广应用：计算． 【答案】(1)图见解析；1；；1；3； (2) (3) 【分析】本题主要考查了规律探索，理解题意，数形结合，从特殊到一般，是解题的关键． （1）模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论； （2）仿照例题，利用规律解决问题即可； （3）将原式变形为，然后利用规律解决问题即可． 【详解】（1）解：探究三：第n次分割图，如图所示： 所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第n次分割图可得等式； 两边同除以3，得； （2）解：计算． 根据第n次分割图可得等式，， 所以． （3）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $