第十章 几何图形初步（单元自测·提升卷）数学新教材人教版五四制六年级下册

2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第十章 几何图形初步·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B C C B B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．两点确定一条直线 13．面动成体 14．7或8或9 15． 16．4或6或8 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得；..........3分 （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余．..........6分 18． 【详解】（1）解：射线如图， ..........1分 （2）解：线段和如图， ..........3分 （3）解：直线，连接和如图， ..........4分 （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1．..........6分 19． 【详解】（1）解：由题意可得： 解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴．..........2分 （2）解：如图， 这个几何体最多由个小立方块搭成， ∴把左边第一列第二层减少2个小正方体可得这个几何体最少由个小立方块搭成．..........4分 （3）解：如图，当时， ∴左视图如下： ..........6分 20． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 是AC的中点，是AB的中点， ∴ ，， ∴ ， 答：线段DE的长为．..........3分 （2）解：∵ OE为的平分线，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，． ∵ 周角为，即， ∴ ． 答：的度数为．..........6分 21． 【详解】解：（1）由题意得；..........2分 （2）由表格中的数据可得．..........5分 （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12．..........8分 22． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴；..........2分 （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为；..........4分 （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关；..........6分 （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或．..........8分 23． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④；..........2分 （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16；..........4分 ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000；..........6分 （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小．..........8分 24． 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是；..........2分 （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或；..........7分 （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点．..........12分 25． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，；..........4分 ②；..........6分 （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴；..........9分 （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ③如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，的大小为，，．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第十章 几何图形初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：、可以抽象为圆柱，故本选项不符合题意； 、可以抽象为圆锥，故本选项不符合题意； 、可以抽象为棱柱，故本选项符合题意； 、可以抽象为棱锥，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 3．下列说法正确的个数有（   ） ①射线与射线表示同一条射线；②互余且相等的两个角都是；③若，，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了射线的表示，余角的定义，等角的补角相等，角度的换算；利用射线的定义，度分秒的换算及余角和补角的定义判定即可． 【详解】解：①射线与射线表示不同的射线，端点不同，故该选项不正确，不符合题意； ②互余且相等的两个角都是．故该选项正确，符合题意； ③若，，则．故该选项正确，符合题意； ④．，故该选项不正确，不符合题意； 所以说法正确的个数是个， 故选：B． 4．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为． 根据余角的概念得到，进而根据比大计算即可． 【详解】解：因为和互余， 所以． 又比大， 所以， 代入得， 解得， 所以． 故选：B． 5．圆柱形容器中装了部分的水，按如图放置，容器中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体，根据圆柱体的截面形状，判断即可． 【详解】解：容器中水面的形状相当于用一个平面斜着截这个圆柱体所得到的截面的形状，故为椭圆， 故选：B． 6．如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 7．极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 8．如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，弄清展开图折叠成正方体后各面的关系是解题的关键． 根据正方体的展开图知识，折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，据此解答即可． 【详解】解：折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，即B选项符合题意． 故选B． 9．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，结合线段之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，为的中点， ∴， ∴，故②错误； ∴；故①正确； ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 10．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线，一元一次方程的应用等知识，根据角的运算，角平分线，一元一次方程的应用逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， ∴，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， ∴整个运动过程中，存在的情况，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， 当时，，， 则， 解得， ∴当时，两射线的旋转时间为或秒，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，， ∴，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角， 根据补角的定义，两个角之和为180°解答即可． 【详解】解：因为， 所以补角为． 故答案为：119°15′． 12．一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线．根据两点确定一条直线求解． 【详解】解：一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 13．将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明 ． 【答案】面动成体 【分析】本题考查几何中点、线、面、体之间的基本关系，具体涉及面通过旋转形成体的概念． 根据面动成体的意义进行说明即可． 【详解】解：硬币是一个圆形面，当它在桌面上快速转动时，绕其直径旋转，由于视觉暂留效应，形成一个球体的视觉形象，这验证了几何中的“面动成体”原理，即一个平面图形通过旋转可以生成一个立体图形， 故答案为：面动成体． 14．如图，这是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从正面看和从上面看到的形状图，则搭成该几何体所需的小正方体的个数可能是 ． 【答案】7或8或9 【分析】本题考查了根据从不同方向看到的形状还原几何体；在从上面看到的形状图中填上该位置所需小正方体的个数，即可得到所需的小正方体的个数． 【详解】解：在从上面看到的形状图中填上该位置所需小正方体的个数如图所示，所需的小正方体的个数可能是7或8或9． 15．如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了角的计算；熟练掌握折叠重合的性质是解决问题的关键．由折叠重合可得，即可得出结果． 【分析】解：由折叠重合得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：。 16．在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 【答案】4或6或8 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，线段的和与差，有理数的加法计算，分图1，图2和图3三种情况，求出的长，再求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵原来线段的长度为16，且剪断后的三条线段的长度之比为， ∴剪断后的三条线段的长度分别为8，4，4， 如图1所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图2所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图3所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点所表示的数是4或6或8， 故答案为：4或6或8． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的性质，余角的定义是解题的关键． （）根据补角的性质，可得，根据解方程，可得答案； （）根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得； （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余． 18．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 【详解】（1）解：射线如图， （2）解：线段和如图， （3）解：直线，连接和如图， （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 19．用同样的小立方块搭一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成； (3)当时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)， (2) (3)画图见解析 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． （1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，这个几何体最多由个小立方块搭成，再进一步即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为2，3，1，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴． （2）解：如图， 这个几何体最多由个小立方块搭成， ∴把左边第一列第二层减少2个小正方体可得这个几何体最少由个小立方块搭成． （3）解：如图，当时， ∴左视图如下： 20．（1）如图，C 是线段 上的一点, ，D 、E 分别是线段 、 的中点，求线段 的长．                         （2）如图, 丄 丄 为 的平分线， ， 求 的度数． 【答案】（1）线段DE的长为；（2）的度数为 【分析】本题考查了线段的中点性质与线段长度计算、垂直的性质（垂直的角为）与角平分线定义及角的和差运算，解题的关键是利用中点、角平分线的定义转化线段或角的数量关系，再通过和差关系求解目标线段长度或角度． （1）先由和求，进而得的长；再根据中点定义求（中点）和（中点）的长；最后用得的长； （2）先由角平分线定义得；再根据垂直性质得；最后利用周角为，通过求． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 是AC的中点，是AB的中点， ∴ ，， ∴ ， 答：线段DE的长为． （2）解：∵ OE为的平分线，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，． ∵ 周角为，即， ∴ ． 答：的度数为． 21．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 22．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 23．【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 24．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 25．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【答案】（1）①，；②；（2）证明见解析；（3）的大小为，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，在绕着点旋转一周过程中，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； ②； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ③如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，的大小为，，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第十章 几何图形初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A．B． C． D． 2．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 3．下列说法正确的个数有（   ） ①射线与射线表示同一条射线；②互余且相等的两个角都是；③若，，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．圆柱形容器中装了部分的水，按如图放置，容器中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 6．如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 8．如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 10．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则的补角的度数为 ． 12．一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是 ． 13．将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明 ． 14．如图，这是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从正面看和从上面看到的形状图，则搭成该几何体所需的小正方体的个数可能是 ． 15．如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 16．在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 18．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 19．用同样的小立方块搭一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成； (3)当时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 20．（1）如图，C 是线段 上的一点, ，D 、E 分别是线段 、 的中点，求线段 的长．                         （2）如图, 丄 丄 为 的平分线， ， 求 的度数． 21．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 22．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 23．【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 24．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 25．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测 第十章 几何图形初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A．B． C． D． 2．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 3．下列说法正确的个数有（   ） ①射线与射线表示同一条射线；②互余且相等的两个角都是；③若，，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．圆柱形容器中装了部分的水，按如图放置，容器中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 6．如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 8．如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 10．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则的补角的度数为 ． 12．一根木条需要两个钉子才能固定不动，其运用的数学原理是 ． 13．将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明 ． 14．如图，这是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从正面看和从上面看到的形状图，则搭成该几何体所需的小正方体的个数可能是 ． 15．如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 16．在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 18．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 19．用同样的小立方块搭一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成； (3)当时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 20．（1）如图，C 是线段 上的一点, ，D 、E 分别是线段 、 的中点，求线段 的长．                         （2）如图, 丄 丄 为 的平分线， ， 求 的度数． 21．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 22．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 23．【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 24．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 25．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $