专题03 角的有关计算问题（6大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03角的有关计算问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、三角板中角度计算问题… 题型二、与方位角有关的计算题… 5 题型三、钟面角… .8 题型四、角平分线的有关计算 .12 题型五、角n等分线的有关计算.。 17 题型六、余角与补角的有关计算…18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1.将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知a=3210',则B= a 2.一副三角板如图摆放，己知LCAB=90°，LDAE=60°，若LCAD=3LBAE,则∠BAD=° 3.(25-26七年级上江西上饶阶段练习)如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点0处. 凤1 图2 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)∠A0D ∠B0C;（填“><=”) (2)若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知∠B0C与∠AOC的度数比为m:n,当amb"与a*b2m-是同类项时，求∠BOD的度数. 4.(25-26七年级上河北石家庄期中)如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起. D (备用图) (1)∠ACE∠BCD(填“>”、“<”或=”)； (2)当∠DCE=15°时，求∠ACB的度数： (3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由： (4)将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，当直线CD平分∠BCE时，∠ECD的度数为 (注：不写 过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果) 题型二、与方位角有关的计算题 5.(24-25七年级上·福建厦门阶段练习)如图，点A,B,0分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑 成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点.经测量∠AOB=66°，郑成功水操台遗址在日光岩的北 偏东28°方向，则郑成功纪念馆在日光岩的一· A 郑成功 B 纪念馆 北 郑成功 水操台遗址 日光岩 6.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时在它北偏东30°、西北（即北 偏西45°)方向上又分别发现了客轮B和海岛C. F北 西 东 G 609 南 (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB,OC(不写作法)： 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②若有一艘渔船D,且LA0D是它补角的 ,则渔船D在货轮O的 (写出方位角) 7.如图①，货轮停靠在0点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上.货轮B在码头0 的西北方向上. 北 D 北 M A IM 西p K45° 西 东 NI 南 南 图① 图② (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线： (2)如图②，两艘货轮从码头0出发，货轮C向东偏北15°的0C的方向行驶，货轮D向北偏西15°的0D方 向航行，求LCOD的度数， 8.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到月标的方向线所成的角 (一般指锐角).如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，射线OA平分∠B0C, 射线OE是射线OB的反向延长线. 北15 B 401/ 西W-- 南 (1)求射线0C的方向角； (2)求LC0E的度数： (3)若射线OD平分∠C0E,试判断∠AOD是否为直角？并说明理由， 题型三、钟面角 9.(25-26七年级上·河南濮阳·期中)如图，当时钟指向上午9：30时，时针与分针的夹角的度数 是 6 10.(25-26七年级上全国·课后作业)（1)时钟4：50，时针与分针所夹的角是 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是」 112 10 11.如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针(O为两针的交点即旋转中心).下午3 点时，OA与OB成直角， 12 B 3 A (1)时针1小时转过的角度为_°，分针1分钟转过的角度为_°： (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？ 12.(25-26七年级上·湖南衡阳·开学考试)生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光.同学们都见过机械 手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识。 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段AD交 于点B、C,O为表盘圆心 1 D 图① 图② 12 6 6 B E C(N) D A B D 9 图③ 图④ (I)若BC为4cm,CD:AB=3:2,B是AC中点，求手表全长AD的长度 (2)表盘上的点B对应数字12”，点C对应数字6”，OE为时针，ON为分针，8：30时表盘指针状态如图③ 所示，分针ON与0C重合. ①求∠EON的度数： ②作射线OM,使∠E0M=25°，求此时∠BOM的度数. 题型四、角平分线的有关计算 13.(24-25七年级上广东东莞期末)如图，∠A0B内部有顺次的四条射线，OE,0C,0D,0F,其 4/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中OE平分∠AOC,OF平分LD0B. E 0 B (1)若∠A0B=160°，∠C0D=40°，求LE0F的度数； (2)若LAOB=u,∠COD=B(a>B),求LE0F的度数. 14.(24-25七年级上·安徽安庆·期末)如图①，O是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C. 图① 图② 图③ (1)若∠A0C=30°时，则∠D0E的度数为 (2)将图①中的∠C0D绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间 的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变.直接写出∠AOC和LDOE的度数 之间的关系 15.(22-23七年级上·广东珠海·期末)如图①，OC是∠A0E内部的一条射线，OB、0D分别平分∠A0C ZEOC. 0 ① ② (1)若∠A0E=140°，LC0D=30°，求∠B0C=- (2)∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果0C是∠A0E外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC,∠E0C,那么(2)中 ∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由 16.(24-25七年级下·湖南郴州开学考试)如图1,0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使 ∠B0C=50°，现将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边0D与射线OB重合，如图2. 5/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C B 图1 图2 图3 (1)LE0C= (2)如图3，将三角板D0OE绕点O逆时针旋转一定角度，当0C是LB0E的平分线时；求∠BOD的度数： 3)将三角板D0E绕点0逆时针旋转，设旋转角度a(0°<a<90),是否有某个时刻满足LC0D=∠A0E? 如果有，求∠BOD的度数，说明理由. 题型五、角n等分线的有关计算 17.在∠AOB的内部作射线OC,射线OC把∠AOB分成两个角，分别为∠AOC和∠BOC,若 A0C5A0B或∠B0C三乙A0B,则称射线0C为LA0B的三等分线，若L40B=60°，射线0C为 ∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数为() A.20° B.40° C.20°或40 D.20°或30° 18.定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把∠AOB分成1：2的两部分，射线0C叫做 ∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设 ∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为() 子或3或号*.子或成9r >。吃之→之 D.3x或？x或9x 2 题型六、余角与补角的有关计算 19.(25-26七年级上全国课后作业)(1)一个角的余角比它的补角的多12°，求这个角的度数. 3 (2)已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数. 20.(24-25七年级上·甘肃武威期中)如图∠AOB=180°，∠FOD=∠C0E=90° B (1)请写出∠EOF与∠COD的数量关系，并说明理由； (2)写出LA0F的补角和余角： (3)如果∠A0F=34°，0C平分∠B0D,求LC0B度数. 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.已知，直线AB,CD相交于点O,∠1=50°，∠DOE=90°，0F是∠B0E的平分线 B A- 图1 图2 备用图 (1)如图1所示，求∠2的度数： (2)如图2所示，作∠C0F的平分线0G,求LC0G的度数： (3)在(2)的条件下，请你过点O作射线OH,使得∠G0H为∠1的余角的2倍，求∠F0H的度数. 22.(24-25七年级上吉林期末)已知点B、O、C在同一条直线上，∠A0B=a(0°<a<60). D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0D=90°，LC0D=70°，则a= (2)如图2，若∠B0D=90°，∠B0E=40°，OA平分∠D0E,求a. (3)如图3，若∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，请在图3中画出符合条件的射线OE加以计 算后，直接写出∠DOE的度数（用含a的式子表示） B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上贵州贵阳阶段练习)钟面上的时间为下午2：30，此时时针与分针的夹角的度数是() A.1509 B.105° C.162 D.165° 2.(24-25九年级下·广东佛山阶段练习)如图，两个直角三角形如图所示摆放，∠C=∠DFE=90°，点F在 AC上.若∠1=25°，则∠2的度数为() 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.60° B.65 C.55o D.45° 3.(24-25七年级上浙江杭州期末)已知LA0B=110°，0C平分∠A0B,过点0作射线0D,使得 ∠C0D=30°，则∠A0D度数是(). A.90° B.85°或25 C.90°或20° D.90°或30° 4.(25-26七年级上·全国·期末)湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店.如图，若把湘绣手工店记作 点A,在A处观察体验工坊（记作点B)时，点B在点A的北偏西4018'方向上，在A处观察奶茶店（记作 点C)时，∠BAC=90°，则奶茶店在湘绣手工店的() 北 B 东 A.南偏东49°42'方向上 B.北偏东49°42'方向上 C.东偏北49°42'方向上 D.北偏东4018'方向上 5.(24-25八年级下.全国期中)把一副直角三角尺如图摆放，∠C=∠DFE=90°，∠CAB=60°， ∠FDE=45°，斜边AB、DE在直线I上，ABC保持不动，△DEF在直线1上平移，当以点A、E、F三点 为顶点的三角形是直角三角形时，则∠CAF的度数是() A.159 B.25° C.15°或30 D.25°或30° 二、填空题 6.(2425七年级上四川泸州期末)如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若∠BCD=∠ACE,则 5 ∠ACD的度数为 B 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上福建福州开学考试)ABC是边长为6cm的等边三角形，△A'B'C'是ABC绕C点逆 时针旋转后得到的（如图).那么，这个三角形旋转了度.点位于C点西偏北度的方向， 距离C点6cm. 北 B C B 8.(24-25七年级上江苏苏州期末)如图，点O为量角器中心，射线0C与射线0D经过的刻度分别为70° 和135°，从点O引一条射线OP,使∠C0P=∠B0D,则∠DOP的度数为 D 0 B 9.(2024七年级上全国.专题练习)已知∠A0B是直角，在∠A0B的内部有一条射线0C,满足 ∠AOC=】∠C0B,在∠A0B所在平面上另有一条射线OD,满足∠BOD=!∠4OC,则∠COD的度数 3 为 10.(23-24七年级上江西抚州期中)定义：从∠A0B的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把 ∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分 线，射线O0是∠M0P的三等分线，设∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为 三、解答题 11.(24-25七年级上浙江期末)(1)已知4a=5232',∠邛=1718，求∠+∠p,∠a-∠B的值. (2)如果∠a的补角是∠a的余角的3倍，求∠a的度数. 12.(24-25七年级下·广东汕头·开学考试)如图，已知点O为直线AB上一点，∠B0C=110, ∠C0D=90°，OM平分∠AOC. D (1)求∠A0D的度数： (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数， 13.(24-25七年级下，甘肃白银·开学考试)如图，点0在直线AB上，∠COD=90°（0C和0D在直线AB上 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方) D 0 (I)写出∠AOC的补角和LDOE的余角： (2)若0C平分∠AOE,∠DOE=55°，求∠A0D的度数. 14.(24-25七年级下湖北黄冈开学考试)如图1，点A,0,C在同一条直线上，∠A0B=126°，射线 OD在直线AC的上方绕点O旋转，记LCOD=a,OM平分∠AOD. M B D C 图1 备用图1 备用图2 (1)若∠A0D与∠BOD互补，则角a等于多少度？ (2)若∠B0D=90°，则∠M0B为多少度？ 15.(24-25七年级上全国期末)己知O为直线AB上的一点，∠C0E=90°，AB⊥MN. 北 M 东 图① 图② 图③ (I)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠C0N=17°，则射线OE的方向 是-；若将射线0C、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线0F恰好平分LC0M.若 ∠E0F=20°，求LA0F的度数： (2)若将射线0C、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线0F仍然平分LC0M,∠CON与LAOF之 间存在怎样的数量关系？请说明理由 15.(24-25七年级上吉林通化期末)已知点B、O、C在同一条直线上，∠A0B=a(0°<a<60). D B 0 E 图1 图2 图3 10/11 专题03 角的有关计算问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1 题型二、与方位角有关的计算题 5 题型三、钟面角 8 题型四、角平分线的有关计算 12 题型五、角n等分线的有关计算 17 题型六、余角与补角的有关计算 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角板中角度计算问题 1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角的和差，平角的定义， 根据三角板的性质得，再根据平角的定义结合度分秒之间的关系计算即可. 【详解】解：根据三角板可知， ∵，且， ∴. 故答案为：. 2．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出，，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江西上饶·阶段练习）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 【答案】(1)= (2)，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查角的和差关系，同类项的定义，掌握利用角的和差关系进行几何问题中的角的计算是解题的关键． （1）由，再同时加上也相等，即可证明； ②由，即可证明； （2）由，即可证明； （3）先根据同类项的定义求出，然后根据份数之间的关系求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴，即． 故答案为：=； （2）∵，， ∴， 即． （3）∵与是同类项， ∴， 解得， ∵与的度数比为，， ∴， ∴． 故的度数是． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 题型二、与方位角有关的计算题 5．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点，，分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，则郑成功纪念馆在日光岩的 ． 【答案】北偏西方向 【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．根据角度之间的和差关系，计算的度数，即可解答． 【详解】解：因为郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向， 所以． 又因为， 所以． 所以郑成功纪念馆在日光岩的北偏西方向． 故答案为：北偏西方向． 6．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【答案】(1)画图见解析 (2)南偏东或北偏东 【分析】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，再画图可得答案； （2）根据补角的含义，可得的度数，根据角的和差，可得方向角． 【详解】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 7．如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．    (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线； (2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可；（2）根据角的和差关系可得：． 【详解】（1）如图所示，射线的方向就是西北方向，即货轮所在的方向．    （2）依题意可得，，， ∴ 【点睛】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键． 8．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，射线平分，射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，试判断是否为直角？并说明理由． 【答案】(1)北偏东 (2) (3)是直角，理由见解析 【分析】本题考查的是方向角的表示、角的和差计算及角平分线的有关计算， （1）根据方位角求出，再根据角平分线定义求出，即可求出结论； （2）先求出，即可求出结论； （3）先求出，再计算出，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ∵射线平分， ， ， ∴射线的方向角为北偏东； （2）解：∵射线是射线的反向延长线， ， ， ； （3）解：是直角，理由如下： ∵射线平分，， ， 是直角． 题型三、钟面角 9．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了钟面角，解题关键是明确时钟相应时刻时针与分针的位置．根据钟表的一周，分成个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分针的格数解答即可． 【详解】解：，则上午时，时针与分针的夹角的度数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 11．如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】(1)，6 (2)经过 或分钟，时针与分针成角 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）根据时针12小时转过一周，分针分钟转过一周，据此进行解答即可； （2）分两种情况：分针在时针上方和分针在时针下方，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·开学考试）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1)14 (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过的角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 题型四、角平分线的有关计算 13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到是解决本题的关键． （1）根据平分，平分，得出，，再根据代入求值即可． （2）根据（1）中思路求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算． （1）由的度数可以求得的度数，由平分，可以求得的度数，又由可以求得的度数； （2）根据直角和角平分线的定义可得，再利用平角的定义和角的和差即可求得； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：； 理由：∵是直角，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 理由：∵平分，是直角， ∴， ∴， ∴； 15．（22-23七年级上·广东珠海·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 16．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)__________； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，的度数或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分线的定义即可得到，计算得到结果； （3）分类讨论，当时，或当时，得到旋转的角度，再结合角的和差关系进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：设旋转的角度， ， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：有某个时刻满足，理由如下： 依题意，旋转的角度， 当时，点在的右侧， 当时，点在的左侧， ∴或， ∵， ∴，或 解得或， ∴的度数或． 题型五、角n等分线的有关计算 17.在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 18.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型六、余角与补角的有关计算 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题重点考查余角和补角以及一元一次方程的实际应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． （2）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． 【详解】解：（1）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． （2）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． 20．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 21．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 22．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）钟面上的时间为下午，此时时针与分针的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定时针和分针在下午2:30时的位置，分别计算它们与12点位置的夹角，再求两者的夹角．本题主要考查了钟面角的计算，熟练掌握时针和分针的转动速度是解题的关键． 【详解】解：∵分针60分钟转一圈，即， ∴分针每分钟转， ∴分针转过的角度为； ∵时针每小时转，每分钟转， ∴时针转过的角度为； ∴时针与分针的夹角为 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，两个直角三角形如图所示摆放，，点在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据平角的定义可得，代入已知角的度数计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点在上 ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 5．（24-25八年级下·全国·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 【详解】解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为量角器中心，射线与射线经过的刻度分别为和，从点O引一条射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，分情况讨论的方法是解答本题的关键．先求得，，再分射线在内部和射线在内部两种情况讨论，利用角的和与差求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当射线在内部时，； 当射线在内部时，； 故答案为：或． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·浙江·期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用补角和余角的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ． （2）由题意得， ∴， ， ． 12．（24-25七年级下·广东汕头·开学考试）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系． （1）根据平角定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据角的和差关系求出即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 14．（24-25七年级下·湖北黄冈·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的和差关系、平角定义、补角定义以及角平分线定义，熟练掌握这些角的相关定义和关系是解题的关键． （1）利用平角定义可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后根据补角的定义进行计算，即可解答； （2）利用角的和差关系可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 16．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】(1)和 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． （1）根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． （2）设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． （3）利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $