北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学练习

2025—2026学年度第一学期高二年级数学学科期末练习 出题人高二数学备课组，审题人高二数学备课组，审核人金永涛，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 1.下列直线中，倾斜角为锐角的是() A.x-y+1=0 B.y=-2x+1 C.y=1 D.x=2 2.已知向量a=(-1,1,2),b=(x,2,y),且a∥b,则x+y=（) A.-2 B.-1 D.2 2 2 3.在等差数列{an}中，a4+a+a6=15，则a2+ag=（） A.5 B.10 C.12 D.15 4.已知向量m，n分别是直线1的方向向量和平面α的法向量，若cos<m,>= 则 直线l与平面a所成的角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 5.已知直线√3x+y-1=0与直线2√5x+my+3=0平行，则它们之间的距离是（) 5 A.1 B. C.3 D.4 6.设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知直线l:x-y-1=0，动直线L2:(化+)x++k=0(亿k∈R),则下列结论错误的是 () A.存在k,使得1，的倾斜角为90° B对任意的k,1与L,都有公共点 C.对任意的k,1与，都不重合 D对任意的k,1与l2都不垂直 8.“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短 木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团 队或者一个人的影响程度某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存 在的情况下，也能盛较多的水根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶， 其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一 个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MW为该椭圆水面 1 的长轴则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为() 图① 图② A.2π B.3元 C.4π D.6元 9.已知圆C:x2+y2=4,直线：y=c+m,当k变化时，1截得圆C弦长的最小值为 2,则常数m=（) A.±2 B.±√2 C.5 D.±3 a+6=1(a>b>0),双曲线N:号2 10.己知椭圆M:号+上 =1(m>0,n>0).设椭圆M的 7m2 两个焦点分别为E，F,椭圆M的离心率为e,双曲线N的离心率为e2,记双曲线W 的一条渐近线与椭圆M一个交点为P,若PR⊥P3,且IE,=2PR,则三的值为 e, ) 4. V3-1 B.V5-1 C.2 4D.5+1 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若数列{an}满足：a,=1,a+1=2an(n∈N),则a= 一；前8项的和 Ss= ,(用数字作答) 12.已知抛物线C:少=2x的焦点为F,4(xo)是C上一点，4F=,则 X0= B已知双面线c:-广=1的-个焦点为(20，则双曲线C的新近线方程 为 2 14若命题“曲线号-上=1a#0)上存在四个点A,C,R,S满足四边形POS是正方 4 a 形”为真命题，则实数a的一个取值为 D 15.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂 直.点P在正方形ABCD及其内部运动，点Q在矩形ABEF P 及其内部运动.设AB=4,AF=2,给出下列四个结论： ①存在点P,2,使P2=6; ②存在点P,Q,使CQ∥EP; ③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个； ④若PA L PE,则四面体PAOE体积的最大值为 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16.设等差数列{a,}的公差不为0，a2=1,且a2，a,a6成等比数列. (I)求{an}的通项公式； (Ⅱ)设数列{an}的前n项和为S,,求使Sn>35成立的n的最小值， 17.如图，在正四棱柱ABCD-AB,C,D,中， A D B AA=2AB=2BC=2,M是棱CC,上任意一点， (I)求证：AM⊥BD; (T)若M是棱CC,的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦 值. 18.已知抛物线C:y=2x2和直线1：y=c+1,0为坐标原点. (I)求证：1与C必有两交点； (Ⅻ)设1与C交于A,B两点，且直线OA和0B斜率之和为1，求k的值. 3 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形， AD∥BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1. (I)若点F为PD上一点且PF=二PD, 3 证明：CF∥平面PAB; (II)求二面角B-PD-A的大小； (I)在线段PD上是否存在一点M,使得CM⊥PA? 若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由. 20已知精圆c芳+茶=1u>b>0y经过点L马， 短轴长是2√5. (I)求椭圆C的标准方程及离心率； (Ⅱ)设椭圆C的左、右两个顶点分别为4，A,T为直线：x=4上的动点，且T不在 x轴上，直线TA与C的另一个交点为M,直线TA与C的另一个交点为N,F为椭圆 C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值. 21.对于空间向量m=(a,b,c),定义lm=nmax{a,ll,lc},其中max{x,y,z}表示x,y,z 这三个数的最大值. ①写出a，写出b例（用含x的式子表示）； ②当0≤x≤4，写出a-b的最小值及此时x的值； (I)设a=(:,y,),b=(x2,2,22),求证：‖a+bl≤‖a‖+‖bl (II)在空间直角坐标系O-xyz中，A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6),点P是以0 为球心，1为半径的球面上的动点，点2是△ABC内部的动点，直接写出P的最小值 及相应的点P的坐标. 又