专题02 函数中的几何存在性问题（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题02 函数中的几何存在性问题（专项训练） 目 录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 等腰三角形存在性 三角形存在性(2种) 直角三角形存在性 函数中的几何存在性问题 平行四边形存在性 矩形存在性 四边形存在性(3种) 菱形存在性 考点 考点一：等腰三角形存在性问题 1.(2025·安徽一模)如图，二次函数y=-x2+bx+C的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴的负半轴交 于点B,与x轴的另一个交点为C,且△A0B的面积为6. D c (1)求b,c: (2)若点M为二次函数y=一x2+bx+C的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标. 2.(2025宁夏银川·三模)小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状， 并提出以下三个问题，请你解答： 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点 C(0,3),求抛物线的解析式； (②)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A,C,P构成△ACP,试求△ACP面积 的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝MN(MN足够长)，钢珠Q可以沿着铁丝MN在x轴上方上下滑动， 点Q,AC构成△QAC,是否存在某一时刻，使△QAC为等腰三角形.若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 3.(2025·宁夏银川三模)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=ax2+bx+2(ā≠0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. O M B 图1 图2 (①)求该抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在直线BC上方的抛物线时，连接PCPB,点M是x轴上一动点，连接PM、CM.当 △PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值； (3)如图2，点N是线段OB上一个动点，过点N作QNLx轴，垂足为N,交BC于点Q,试探究点N在运动 过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点 Q的坐标；若不存在.请说明理由 4.(2025江苏扬州三模)己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 备用图 (1)b= ,C= (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接P0交BC于点D,求器的最大值. (3)点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直 接写出N的坐标. 5.(2025宁夏银I川二模)已知抛物线y=x2+号x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点（点B在 点A右侧)，与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与B,C重合），过点M作y轴的平行线，交直线 BC于点N; ①设点M的横坐标为m,用含m的式子表示出MN的长，并求出MN的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作MD⊥MN,交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，直接写出点 M的横坐标m的值. 解|题技巧 (1)设出动点的坐标，一般只设动点的横坐标，纵坐标用横坐标表示： (2)利用两点距离公式表达出三角形各边的长度； (3)分类讨论让三角形的边两两相等； (4)也可以用几何法来解： 考点二：直角三角形存在性问题 6.(2025安徽模拟预测)抛物线的对称轴为直线x=-1,与x轴交于点B,且经过A(1,0),C(0,3)两点. ①)求直线BC和抛物线的解析式； 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标： (3)设P为抛物线的对称轴x=一1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 7.(2025·安徽二模)己知抛物线G1y=x2-2ax+a2-4与y轴交于点C (1)求证：抛物线G1与x轴有两个交点 (2)设抛物线G1与x轴交于点A(m,0),B(n,0),且点A在点B的左侧，点N的坐标为(0，-4). ①若AN≥5，求n-m十a的取值范围 ②抛物线G2与G1关于点A中心对称，G2与x轴的另一个交点为点B,问是否存在a,使△BNB为直角三角形？ 若存在，请求出所有可能的a的值；若不存在，请说明理由 8.(24-25九年级上江西南昌·期中)如图，抛物线y=x2+bx十c与x轴交于A,B两点（点A在点B左边)， 与y轴交于点C.直线y=X-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值； (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A,连接AC,AF,当△FAC是直角三角形时，直接 写出点F的坐标， 9.(2025江苏徐州模拟预测)如图(1)，抛物线y=ax2+bx十c与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于 C,顶点D(1,4). 图1) 图(2) (I)写出抛物线的解析式，点B,点C的坐标； (2)连接AD,在AD上方的抛物线上是否存在点P使△APD面积最大，若存在，求△APD面积的最大值，若 不存在请说明理由： (3)直线y=t交抛物线于点E,F(点E在点F的右边)，交直线BC于点G,若FG=3GE,求t的值； 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)如图(2)，点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m,当△MBC是直角三角形时，m的值为· 10.(2025宁夏石嘴山模拟预测)如图，抛物线y=X2+bx十c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, C(0,-3)且0A=专0C (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式； (②若点M是线段OC上的一动点，连接AM,求AM十号CM的最小值. (③)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存 在请说明理由. 解题技巧 (1)设出动点的坐标，一般只设动点的横坐标，纵坐标用横坐标表示： (2)利用两点距离公式表达出三角形各边的长度； (3)分类讨论，利用勾股定理列出方程进行求解； (4)也可以用几何法，画出直角三角形，根据边角关系求出动点的坐标，通常构建一线三垂直模型来求 解： 考点三：平行四边形存在性问题 11.(2025·安微合肥二模)如图，点A(-1,0)、B(3,0)、C(2,m)在抛物线y=2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长度最大时点P的坐标. (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由. 12.(2025·湖南模拟预测)在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战.一次，他们在陈 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线y=一x2+bx+C来描述.抛物线与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标为(0,4) 图(1) 备用图(1) 备用图(2) (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式： (2)如图(1)，若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置.当点P到 直线BC的距离最大时，求△PBC的面积. (3)备用图(2)，若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未 知的旅程中遇到的新伙伴.是否存在以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒 站点M的坐标；若不存在，请说明理由， 13.(2020江苏连云港一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧)，点A 的坐标为（一1,0），与y轴交于点C(0,3),作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作PMx轴，交抛物线 于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m (1)求抛物线的解析式： (2)求直线BC的解析式； (3)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值： (4)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (⑤)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值. 14.(2025安徽合肥一模)如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 0B=0C=30A. 6/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求抛物线的对称轴： (2)点P(m,n)(m≥2)是抛物线上一个动点，连接AP,CP,AP交y轴交于点D,作PQx轴于点Q. ①若点Q是OB的中点，求△PAC的面积； ②若以点C,D,P,Q为顶点的四边形为平行四边形，求m的值， 15.(2025·广东深圳二模)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y 轴交于点C(0,3). 3 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线上的一个动点. ①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D,设△PCD的面积为S1,△ACD面积为S2,若 -,求点P坐标 ②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点B,过点E作EF⊥BC于点F,点Q是对称轴上的一个动点，是否存在 以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标.若不存在，请说明理由。 解|题|技|巧 (1)设出动点坐标，一般只设横坐标，两个以上的动点的一般所设的未知数总数不超过2个 (2)利用中点坐标公式和平行四边形对角线互相平分列出二元一次方程组即可求出动点坐标 (3)也可以利用几何法画出所有满足条件的平行四边形，再利用函数求出各直线解析式联立求出交点坐 标。 考点四：矩形存在性问题 16.（2025黑龙江·模拟预测)综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于B(8,0),A(-2,0)两 点，与y轴交于点C,作直线AC,BC,P是直线BC下方抛物线上一动点. 7/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)过点P作PQy轴，交直线BC于点Q,交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M,使以B,P,M,N为顶点的 四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由： ④当点P到BC的距离最大时，点M在直线BC上，则PM+MB的最小值为 17.(2025·吉林松原模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点 AB,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为x=1,点D为此抛物线的顶点。 (1)求抛物线的解析式. (2)若连接CD,则∠BCD=_o, (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值. (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的 横坐标 18.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=-x2十bx十c与x轴分别相交于 A,B两点，与y轴交于点C,直线y=-X十3经过B、C两点. 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的表达式 (2)抛物线的顶点为M,点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形 是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由， 19.(2025甘肃白银·二模)如图，抛物线y=-2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点（点A在点B的 左边)，与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称. A B A B 备用图1 备用图2 (1)求直线AD和抛物线的表达式； (②)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGLAD于点G,求线段FG的最大值： (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,MP,Q为顶点的四边形是以AM为 边的矩形，求点Q的坐标. 20.(2025江苏无锡二模)己知二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B(-1,0),与y轴 交于点C,对称轴为直线x=1,交x轴于点D,P为抛物线上一动点. ()求这个二次函数的表达式： (2)当∠PCA=∠ACD时，求点P的坐标； 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以AC,P,Q为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由. 解题技|巧 在存在平行四边形的基础上，利用两点距离公式检验是否满足对角线相等即可 考点五：菱形存在性问题 21.(2025湖北二模)如图.二次函数y=x2+bx+C的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为 (1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PMLx轴，交直线AC于点M.交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A,点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值.并求出此时点P的坐 标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上存在点Q,使以M、N、CQ为顶点的四边形是菱形.请直接写出所有 满足条件的点Q的坐标. 22.(2025·陕西西安模拟预测)如图，已知抛物线C1y=-x2+bx十c与y轴相交于点C(0,1),对称轴为直线 x=2·坐标原点为0点，抛物线C1的对称轴交x轴于A点. 备用图 (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2,C2与C1相交于点E,点F为抛物线C1对称轴上的一点， 在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点H的坐 标；若不存在，请说明理由. 23.(2025四川眉山模拟预测)如图，二次函数y=x2+bx十c图象交x轴于点A(-3,0),B(1,0),交y轴 10/15 第三章 函数 专题02 函数中的几何存在性问题（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：等腰三角形存在性问题 1．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 2．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 3．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数的最值以及等腰三角形的意义，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）把，两点坐标代入，求出的值即可； （2）确定点坐标，运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交于，设，则，得，求出，可得；作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为，由勾股定理可求出，即的最小值； （2）根据等腰三角形的定义，结合两点间距离公式分别求出的长度，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴， （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴； 作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为， ∴, ∴的最小值为； （3）解：∵，, ∴ 设，则， ∴；， 若是等腰三角形时， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 整理得，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述，或． 4．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 5．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为 (2)①用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②， ， 当时，为等腰直角三角形， 点在对称轴右侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 点在对称轴左侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 存在，点的横坐标的值为或. 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点的坐标，一般只设动点的横坐标，纵坐标用横坐标表示； （2）利用两点距离公式表达出三角形各边的长度； （3）分类讨论让三角形的边两两相等； （4）也可以用几何法来解； 考点二：直角三角形存在性问题 6．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 7．（2025·安徽·二模）已知抛物线与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴有两个交点． (2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为． ①若，求的取值范围． ②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在，使为直角三角形，的值为2或或6 【分析】（1）令，求得值，利用即可得出结论； （2）①令，解方程即可得到点A，B的坐标，由，利用勾股定理求得点A的大致位置，列出关于a的不等式求得a的取值范围即可； ②利用分类讨论的思想方法，依据勾股定理列出a的方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：令，则， ， 抛物线与轴有两个交点； （2）解：①令， 则， 整理，得， 解得，， 与轴交于，，且点在点的左侧， ，， 即，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 此时点的坐标为或， ， 点在点和它的右侧或在和它的左侧， 或， 或， 或， ， ， 即或； ②存在，使为直角三角形，的值为2或或6， 由①知，，， 抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点， 点与点关于点对称， ， ， 点的坐标为， ， ，， 分以下三种情况： 当时，则， ， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ， 综上，存在，使为直角三角形，的值为2或或6． 8．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 【答案】(1)，点，点 (2)存在，最大值为 (3)的值为或 (4)或或 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键 （1）由顶点可知对称轴为直线，根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入，可得，故抛物线的解析式为，点，点； （2）先求直线的表达式为，作轴交于点，设，，故，，即当时，最大为 1 ，此时； （3）设对称轴直线交于点，如图 1 所示，先求出直线的解析式为，则，分时和时分别表示出点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设，则，，再根据每个顶点处都可能出现直角分 3 种讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由顶点可知对称轴为直线， 又由抛物线与轴交于， 故根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入， 可得4＝－4a，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为，点，点； （2）解：存在点满足条件，理由如下： ， ∴由待定系数法可知直线的表达式为， 作轴交于点， 设， 故， ， 当时，最大为 1 ，此时； （3）解：设对称轴直线交于点，如图所示， 由待定系数法可知直线的解析式为，则， 当时，由，可知， ∴，则， 故，再将点坐标代入中，得，解得或（舍去）； 当时，如图 所示， ， ， ，， ，把点坐标代入中， 得，解得或（舍去） 综上，的值为或； （4）解：设，，， 则，，， 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 10．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点的坐标，一般只设动点的横坐标，纵坐标用横坐标表示； （2）利用两点距离公式表达出三角形各边的长度； （3）分类讨论，利用勾股定理列出方程进行求解； （4）也可以用几何法，画出直角三角形，根据边角关系求出动点的坐标，通常构建一线三垂直模型来求解； 考点三：平行四边形存在性问题 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 12．（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，M为或或 【分析】（1）将A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c即可； （2）过作轴于，交于，过点作于，根据几何关系知最大时，最大，设出P的坐标，表示出，根据二次函数性质求出其最大值后即可； （3）分三种情况讨论：以为对角线，以为对角线，以为对角线，利用平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式即可求解． 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，等腰直角三角形，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．体现了对数学几何直观、运算能力、推理能力的核心素养要求． 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）过作轴于，交于，过点作于，如图： 在中，令，得，解得或， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， 利用勾股定理可得， 当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入，得， ， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∴当时，最大为2， 此时，； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设而， ①以为对角线，则的中点重合，如图∶ ∴，解得， ∴； ②以为对角线，则的中点重合，如图∶ ，解得， ， ③以为对角线，则中点重合，如图∶ ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 13．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 14．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 15．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点坐标，一般只设横坐标，两个以上的动点的一般所设的未知数总数不超过2个 （2）利用中点坐标公式和平行四边形对角线互相平分列出二元一次方程组即可求出动点坐标 （3）也可以利用几何法画出所有满足条件的平行四边形，再利用函数求出各直线解析式联立求出交点坐标。 考点四：矩形存在性问题 16．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式； (2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 (4) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出、，得到抛物线解析式． （2）先利用待定系数法求直线、的解析式，再设点坐标，根据轴得、坐标，利用是中点列方程求解． （3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可． （4）先通过竖直距离转化求到距离最大时的点，再利用三角函数将转化为竖直距离，结合垂线段最短求最小值． 【详解】（1）解：将，代入， ， 化简得， 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为； 设， ∵ 轴， ∴ ，， ∵ 是线段的中点， ∴ ， ， 化简得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴ ； （3）解：存在，点的坐标为或． 分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点， 过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当时，该情况不存在． 综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∵在中，， ∴ ， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即， 过作轴于，连接， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离， ∴，即的最小值为． 17．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 19．（2025·甘肃白银·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 20．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 解｜题｜技｜巧 在存在平行四边形的基础上，利用两点距离公式检验是否满足对角线相等即可 考点五：菱形存在性问题 21．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 22．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 23．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)N点的坐标可以为：或． (3)存在E点坐标为或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）分M在N点上方，M在N下方，两种情况计算即可； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）有两种情况： ①当M在N上方时，如图，连接，过B点作，交于H， ∵二次函数解析式为：， ∴点坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴ ②当M在N下方时，如图，连接，过点作与x轴交于点，过点作垂足为， 由①已知，，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴综上N点的坐标可以为：或． （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 24．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 25．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点． (1)求二次函数的解析式； (2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于、两点， 把、代入， 得，解得， ； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 轴， ，， ， 是直角三角形， 当时，则：， ， ∴关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ， 此时点的坐标为， 当时， 设的解析式为， 把，代入， 得，解得， ， 设点，则，， 则：，， ，， ， ∴， ， ，， ， 则， 即， 解得，（此时点和点重合，故舍去）， 点； 综上或； （3）存在，或； 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为； 设点，，； 四边形为菱形， ， 即， 则， 由（2）知，此时， ， ∵， ∴， ∴， ， 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 点，，， ，即， ∴， ， ， 解得，（舍去）， ， ； 综上或． 解｜题｜技｜巧 在平行四边形存在的基础上，利用菱形四条边都相等，利用求出的点的坐标算出一组邻边是否相等； 26．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，点的坐标为 【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 设，则， ， 由题意知， 如图，过点作，则， ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ； （ii）由（i）可知，， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 设， 若以为顶点的四边形是矩形，如图所示， ∴四边形为矩形， ， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为矩形，满足题意， 点的坐标为． 27．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 28．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 29．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 30．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，抛物线交轴于和两点，与轴交点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接，是的中点，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点F．过点作于点，与轴交于点，求线段的长； (3)连接，点为线段上一动点，点在轴上，在右侧作平行四边形． ①如图②，当平行四边形为菱形，且点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图③，当点为的中点时，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）通过设交点式，再代入点坐标可解得的值，进而可得解析式； （2）先求顶点，由中点坐标公式知，，再导角证明，从而，进而得．把代入中，可得，即，故； （3）①由待定系数法可得直线的表达式为，设，再表示出，．故．根据，可得，故，当时，平行四边形为菱形，故，解得或（不合题意，舍去），故点坐标为，； ②作关于轴的对称点，连接，以、为邻边构造平行四边形，如图③所示，故，当且仅当、、三点共线时取等号，根据平移的性质求出点，故，即的最小值为． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于和两点， 故设，代入点，得， 解得， 故， （2）由可知顶点， 是的中点， ,， ，， ， ， ． ． 把代入中，可得，即， 故． （3）①由待定系数法可得直线的表达式为， 设， 把代入中，可得， 即，． ． ， ， ， 当时，平行四边形为菱形， 故，整理可得， 因式分解可得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时， ∴点坐标为； ②作关于轴的对称点，连接，以、为邻边构造平行四边形， 如图③所示， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 点为的中点， ，由平移的性质可知点到点向右平移了1个单位，向上平移了2个单位， 故点坐标在基础上也向右平移了1个单位，向上平移了2个单位， 即， 故， 即的最小值为． 31．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 32．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 1 / 10 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