专题01 用函数的思想解决实际问题（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题01 用函数的思想解决实际问题（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：从函数图象中获取信息 1．（2025·安徽阜阳·一模）生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定与的函数表达式，再分别求出、，然后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键． 【详解】解：当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 综上所述，与的函数表达式为：， 当时，，即； 当时，，即； ∴． 故选：C． 2．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（陕西省西安市铁一中学2024-2025学年下学期中考数学二模试卷）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是 （    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数的应用．根据图示得出利用不等式的性质得出则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 由图象可知： ∴ ∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻， ∴这四个用电器中电阻最大的是丙． 故选：C． 4．（2025·河南郑州·一模）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键． 根据小强步行米，需要分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案． 【详解】解：由图象得出小强步行米，需要分钟， 所以小强的运动速度为：分， 当第分钟时，小林运动分钟， 运动距离为：， 小林的运动速度为：分， 故正确； 当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确； 此时小林运动分钟， 运动总距离为：， 小强运动时间为：分钟， 小强出发分钟时到达少年宫，故错误； 由知小林先到达少年宫，故错误； 综上，正确的结论有， 故选：A． 考点二：图形动点中的函数图象 6．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在等腰三角形中，，，P为直角边上一动点，于点D，连接．当点P从点A出发沿直角边运动到点B时，设点P运动的路程为x，，则y随x变化的大致函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用．分和，两种情况讨论，求得y随x函数解析式，逐一判断即可得解． 【详解】解：根据题意，得，， 当点P沿A→C运动时，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 此时，y随x变化的函数图象是抛物线的一部分，且开口向下，顶点为， 排除C，D； 当点P沿C→B运动时，； 同理可得； ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，y随x变化的函数图象是抛物线的一部分，且开口向上，顶点为，排除B． 故选：A． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，在中，，，，点在边上，，经过点与交于点．设，，则关于的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作于，勾股定理求出，然后等面积法求出，得到，，然后表示出，证明出，得到，然后表示出，然后代入表示出，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】如图，作于， ， ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∵设 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，且． 故选：B． 8．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，是边长为的等边三角形，，垂足为点 D，点 P 从点 B 出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点 P 作 ，，分别交边于点 E．交边于点F，若点 P 运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了本动点问题的函数图象，得到不同范围内的函数解析式是解题的关键． 根据是等边三角形，，根据所给选项判断出点在线段及上，那么分别计算出对应范围的解析式即可求解． 【详解】解：①当时，点在线段上， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 同理：是等边三角形， ∵， ∴， ∵四边形的面积为, ∴ ， ∴此段函数图象是开口向下的二次函数图象； ②当时，点在线段上， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点运动的路程为， ∴， 作于点，    ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 观察的二次项系数为正数，那么该范围内的函数图象为开口向上的二次函数图象．   故选：B ． 9．（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要研究与重叠部分面积和之间的函数关系．需要分情况讨论：当时，重叠部分就是，通过相似三角形和的性质求出的面积表达式，发现是二次函数且抛物线开口向上，随增大而增大，时取得最大值．当时，重叠部分是四边形，其面积通过的面积减去的面积得到．同样利用相似三角形和以及和的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据的取值范围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象． 【详解】解：当时，与重叠部分的面积为的面积． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向上．当时，S随x的增大而增大．当时，S有最大值，最大值为4．当时，与重叠部分的面积为四边形的面积，如图所示．由，则． ， ． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向下．当时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意， 故选：C 10．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着以的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿着以的速度向终点运动，点关于直线的对称点为点，连接交于点．设两点运动的时间为的面积为，则与的函数关系图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意可得：，求解，，可得，再分两种情况列函数关系式，再判断即可. 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点恰好重合时，有， 解得3.2． 当点在点上方，即时， ． 当点在点上方，即时，， ． 观察各选项图象，只有C项符合． 故选：C 11．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是平行x轴的直线的一部分； （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是一条直线的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C． 12．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了动点的函数图象，根据题意解直角三角形算出，再分为①当时，正方形与的重合部分的图形是三角形，②当时，正方形与的重合部分的面积是梯形，分别解答即可． 【详解】解：， ， ①当时，；图象为开口向上的二次函数，且只有对称轴右半部分； ②当时，；图象为一次函数； 综上，可得：， ∴正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是B图象． 故选：B． 13．（2025·安徽宿州·三模）如图，在中，，，，点是线段上的动点，点在上，，作交于点，设，四边形的面积为，则与之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数在几何图形中的应用，解题的关键是通过相似三角形求出相关线段的长度，进而表示出四边形的面积，得到函数关系式，再根据函数性质判断图象． 先求出的长度，再通过以及三角函数正切，得到， ，，分别求出、和的面积表达式，用的面积减去和的面积得到四边形的面积表达式，分析其函数图象． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ，，， ，， ，，， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ，其中， 与之间的函数关系的大致图象为A． 故选A． 14．（2025·安徽六安·三模）如图，正方形的边长为是的中点，是上的动点，在的下方作，设，正方形中在右方的部分面积为，则关于的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质等知识点，根据点的变化列出函数解析式是解题的关键． 如图1：当时，点在上．过点作于点，则 ，然后证明可得，即，然后求出x与y的函数关系式；同理可得：如图2：当时，点在上的函数关系式，最后根据函数解析式确定函数图象即可解答．结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可． 【详解】解：如图1：当时，点在上．过点作于点，则 ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即． ， ； 如图2：当时，点在上． ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选A 15．（2025·安徽阜阳·一模）如图，正方形的边与等腰直角三角形的斜边在同一条直线上，此时点B与点E重合，现向右平移正方形，设平移的距离为x，它们重合部分的面积为y，已知， ，则y关于x的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，以及三角形的面积，关键是掌握 二次函数的性质，解题是数形结合，分类讨论．结合图形，分四种情况分别求解即可判定出对应的图象． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ，． ①如图1，当时，则， 正方形中，， ， ， ． ②如图2，当时，则． ， 同①可证明，， ． ③如图3，当时，则， 同①可证明，， ； ④如图4，当时， 同①可证明， ． 综上所述，四种情况y均为x的二次函数． 故选A． 解｜题｜技｜巧 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 考点三：构建一次函数模型解决问题 易｜混｜易｜错 要明确实际问题所对应的函数模型，要正确构建函数模型，切不可将二次函数和反比例函数模型与一次函数模型混淆 16．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】(1)4500元 (2)5种 (3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 17．（2025·陕西渭南·一模）促全面发展，育时代新人，立德树人，就是要树立全面发展的科学育人理念，坚持“五育”并举．某体育用品商场为满足学生需求购进一批跳绳进行销售．经市场调查发现，每根跳绳每天的销售量y（件）是销售单价x（元/件）的一次函数．已知当这种跳绳的销售单价为20元/件时，每天的销售量为1500件；当这种跳绳的销售单价为30元/件时，每天的销售量为1000件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这种跳绳每天的销售量为800件时，这种跳绳的销售单价为多少元/件？ 【答案】(1) (2)当这种跳绳每天的销售量为800件时，这种跳绳的销售单价为34元/件 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数解析式． （1）设一次函数解析式，代入已知的两组单价与销售量，解方程组得函数解析式． （2）将销售量代入已求的函数关系式，解方程得销售单价． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 分别将和代入中，得 ， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）由题意知：， 将代入中，得， 解得， ∴当这种跳绳每天的销售量为800件时，这种跳绳的销售单价为34元/件． 18．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 19．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 20．（2025·云南丽江·一模）为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个． (1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个； (2)安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用,正确列出相关方程是解题的关键． (1)设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个，根据题意列方程组，求解即可； (2)设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天，根据用10天时间至少交付3800个挂件，再建立不等式组，可得：，且a为整数，根据题意可求总利润为：，根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个， 根据题意列方程组：，解得：， 答：该工厂每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个． （2）设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天， 根据题意得：，解得：，且a为整数， 根据题意可求总利润为：， 当时，利润最大为：（元）， 答：应安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 解｜题｜技｜巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． ③一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 考点四：构建二次函数模型解决问题 21．（2025·安徽合肥·三模）【生产背景】背景1：某服装厂安排50名工人加工生产“旗袍”和“国风女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工1件旗袍或2件国风女装． 背景2：每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况是： （1）旗袍：当每天加工20件时，每件旗袍获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件旗袍的获利将减少5元； （2）国风女装：每件获利40元． 【探究任务】现在安排名工人加工旗袍，服装厂每天的总利润为元． 任务1：用含式子表示加工国风女装的工人人数； 任务2：求与之间的函数表达式； 任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：（）；任务3：每天安排人生产“旗袍”，人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用； 任务1：由题意得，即可求解； 任务2：总利润生产“旗袍”所获得的利润生产“国风女装”所获得的利润，即可求解； 任务3：配方得，由二次函数的性质，即可求解； 能根据实际意义的等量关系式列出函数解析式，并能利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 【详解】任务1： 解：由题意得 ， 故加工国风女装的工人人数人； 任务2： 解： （）； 任务3： 解： ， ，， 当时， ， （人）， 故每天安排人生产“旗袍”，人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元． 22．（2025·安徽亳州·三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． (1)求b的值． (2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ (3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2)一共用时秒 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用    ； （1）先由直线解析式求出，再代入计算即可； （2）先求出顶点，即可求出上升、下降、冲击三个阶段竖直方向上的路程，然后就出对应的时间，最后求和即可； （3）设，则，解析式为，求出进过时， ，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点纵坐标为， ∴当时，解得， ∴， 把代入得，解得； （2）解：由（1）可得抛物线， ∴， ∴小球P从点O发射开始，上升阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，下降阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， ∴小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时秒 （3）解：∵线段上的点M处，点M的横坐标m， ∴，， ∵小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行， ∴设解析式为，在直线下方， 当过时，，解得， 当过时，，解得， ∵要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截， ∴． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【答案】(1) (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为； (3)应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设喷出的抛物线形水柱的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得坡面的函数解析式，设抛物线上一点，过点P向x轴作垂线，交于点Q，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为，求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，采用最大功率灌溉时，抛物线的顶点坐标为， 设喷出的抛物线形水柱的解析式为， 将代入， 得，解得， 此时抛物线形水柱的解析式为； （2）解：设坡面的函数解析式为，由坡度为可知， 当时， ，即， ∴坡面的函数解析式为， 令， 解得，， 又∵， ∴， 设抛物线上一点， 如图，过点P向x轴作垂线，交于点Q，则， ∴， 其中， ∵，其中， ∴当时，最大，最大值为， 答：水柱与坡面之间的最大铅直高度为； （3）解：设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 将代入，得， ∴， 将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 24．（2025·安徽合肥·二模）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面为轴，以停车棚支柱为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系的图象，其中点距地面，点为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱的水平距离为，距地面． (1)求二次函数的解析式； (2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)如图，雨点沿着与地面的夹角为的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据：，结果精确到） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与货车的高比较大小即可； （3）过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H，计算出，进而求出点C的横坐标以及对应的y值，减去货车高度即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，，代入，得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵，棚顶外沿B距车棚支柱的水平距离为， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内； （3）解：如图，过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H， 由题意知，在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得， 则点C的横坐标为：， 当时，， ， 即货车最多还能装超出货箱的货物． 25．（2025·安徽·一模）【项目式学习】 根据以下素材，完成任务． 如何设计游乐园的抛物线型拱桥？ 素材1 如图①，某游乐园计划在水面上方搭建一座抛物线型拱桥（拱桥为轴对称图形），，桥拱最高处距离水面．在实际搭建时，需在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩露出水面高度相等．即 素材2 如图②，要在上方设计一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，即点在上，矩形广告牌长、宽均为整数，且矩形广告牌关于拱桥的对称轴对称 以的中点为原点，水面为轴，过中点垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)若两个桥墩露出水面的高为． ①求它们的距离（不考虑桥墩的宽度）； ②拟定设计方案，给出一种广告牌的设计方案，并求出矩形广告牌左上方顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①   ②方案见解析；或 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）以的中点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）①令，求得，，据此求解即可； ②根据题意分6种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系， 则拱门最高点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①令，则， 解得，， ∴两个桥墩之间的距离是； ②∵矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表落在的边的长度，即的长度）： ①；②；③；④；⑤；⑥； ∵拱桥的最高点到的距离为， ∴方案①，②，③不符合题意． ∵， ∴方案⑥不符合题意， 对于方案④：当时，． 此时矩形的最上边距离水面的高度为， ∵，∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是； 当时，． 此时矩形的最上边距离水面的高度为． ∵， ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是； 综上所述，共有两种设计方案： 方案一：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是． 解｜题｜技｜巧 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 考点五：构建反比例函数模型解决实际问题 易｜混｜易｜错 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 26．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 27．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 28．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 29．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 30．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到． 问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题： (1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查根据图象解答问题、已知自变量值求函数值、待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）观察图象，利用待定系数法求出升温时段的一次函数解析式，继而将代入即可求出答案； （2）先利用待定系数法求段反比例函数解析式，进而利用段和段的函数解析式，求出在4时，大棚温度升至，在时，大棚温度降至，用，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据图象，设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得， ， 将代入中得：， 即点坐标为， 智能控制系统设定的恒温温度是； （2）把代入段函数解析式中得：， 解得， 在4时，大棚温度升至， 设段函数解析式为：， 将代入中得： 解得， ， 把代入函数中得：， 在时，大棚温度降至， ， 大棚在时内，温度不低于的时间有小时． 解｜题｜技｜巧 （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 考点六：图形问题 31．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)菜园面积的最大值为，此时的长为 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围； （2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值； （3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，，且， 解得， ， 故答案为：，； （2）解： ， 对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 当时，取最大值，最大值为：， 此时， 即菜园面积的最大值为，此时的长为； （3）解：设，则， 矩形的面积为，矩形的面积为， ， ， 由题意得：， 即， 化简得， 解得， 乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ， 解得， 的取值范围为． 32．（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的边长 (3)当长为时，实验田的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，涉及到了矩形的性质，通过篱笆长度建立等式是解决问题的关键，长不能超过墙的长时间易错点． （1）根据题意，篱笆长度，由此可知与的函数解析式，矩形的面积，从而可得与的函数解析式； （2）当时，代入二次函数求自变量的值，结合题意即可； （3）根据二次函数求最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴矩形的面积， ∴与，与的函数解析式分别是； （2）解：当时，， 整理得，， 解得：， ∵墙的长为， ∴， ∴， 当时，， ∴矩形实验田的边长； （3）解：∵， 该二次函数开口向下，对称轴是直线， 由题意可知， ∴当时，， 此时， ∴当长为时，实验田的面积最大，最大面积是． 33．（2025·陕西西安·模拟预测）为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． (1)求窗子顶端E到底边的距离； (2)为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)窗子顶端E到底边的距离为 (2)点滑动到距离 处时，面积最大，为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用： （1）过点作，垂足为，交于点，证明四边形为矩形，得到，解，求出的长，进而求出的长即可； （2）设与之间的距离为，的面积为，分和两种情况，求出函数解析式，利用一次函数和二次函数的性质，求最值，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点，则：， ∵矩形， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 答：窗子顶端E到底边的距离为； （2）设与之间的距离为，的面积为， 由（1）可知：，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 当时，点在线段上， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积为， ∴当时，有最大值为：； 当时，此时，点在线段上， ∴设交于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴当点滑动到距离 处时，面积最大，为． 34．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图1，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上． 【知识技能】（1）如图1，当四边形是正方形时，的面积为_____； 【构建联系】（2）如图2，当四边形是菱形时，若，的面积为S，求S与x之间的函数解析式； 【拓展应用】（3）如图3，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点N在边的延长线上．为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小，求面积的最小值及这时点D到点E的距离． 【答案】（1）5；（2）（3）的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米 【分析】（1）证明，得出．由勾股定理求出，由三角形面积公式可得出答案； （2）连接，作于点Q，则，证明．得出．由三角形面积公式可得出答案； （3）分别延长交于点K，则四边形是矩形．证出四边形为平行四边形．设，，根据及二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5； （2）如图②，连接，作于点Q，则， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∵矩形中，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴S与x之间的函数关系式； （3）存在．如图③，分别延长交于点K，则四边形是矩形． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 设，，， 则 ， ∵， ∴当时，平方米． 此时米． ∴的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米． 35．（2025·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：王老板的流动早餐摊位由于生意火爆，计划扩大规模并改善顾客的就餐环境，新建如图所示的钢结构早餐棚． 方案设计：如图是该早餐棚的横截面图，可以近似看成由抛物线的一部分和矩形构成的封闭图形．已知矩形的宽米，长米，抛物线最高点到地面的距离为米． 方案实施： (1)在图中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系．请在图中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)为了加固餐棚，如图，计划在餐棚内安装三根支撑杆，，，其中点，在抛物线上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，请你帮王老板求出支撑杆的长度； 如图，王老板还想在餐棚顶部设计如图所示的等腰三角形展板，点在同一条直线上．为了美观，要求，，且，与抛物线分别只有一个交点．请你直接写出展板的面积． 【答案】(1)； (2)支撑杆的长度为米； ． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线表达式为，则，然后求出的值即可； （）设点的坐标为，则，根据题意可得正方形关于轴对称，所以，又，则，然后解方程即可求解； 如图，是等腰三角形，是等腰三角形，轴，点在同一条直线上，则，三点共线，求出解析式为，又，设解析式为，联立，则有，整理得：，因为与抛物线分别只有一个交点，所以，解得，因此解析式为，然后求出，，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的直角坐标系， 根据题意得，， 设抛物线表达式为， ，解得， ∴ 抛物线表达式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为， ∴， 根据题意可得正方形关于轴对称， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴，整理得：， ∴， （不合题意，舍去） ， ∴（米）； 如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系， ∵是等腰三角形，是等腰三角形，轴，点在同一条直线上， ∴，三点共线， 根据题意得，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵， ∴设解析式为， ∴联立， ∴，整理得：， ∵与抛物线分别只有一个交点， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， ∴展板的面积为． 解｜题｜技｜巧 （1）设出未知数，用未知数表示出几何图形的边长或线段的长度. （2）根据题目要求未知数列出函数关系式. （3）利用函数性质解决问题. 36．（河南省洛阳市第二外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图1，四边形是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点Р运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为（    ） A． B． C． D．36 【答案】B 【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段AP的长为y，依次解出AB=x=6，即点M的横坐标，AD=AP=y=10，即点N的纵坐标，解出BE=，▱ABCD的面积=AD×BE，可得结论． 【详解】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E， 在图2中，取M（6，6），N（12，10）， 当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB=x=6， 当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD=x=12， 解得：BD=6， 当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD=AP=y=10， 在△ABD中，AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD， 解得：AE=5， 在Rt△ABE中，AB=6，AE=5， BE2+AE2=AB2， 解得BE=， ∴▱ABCD的面积=AD×BE=10×=10， 故选：B． 37．（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 38．（2025·山东青岛·二模）一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中 (1)在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的函数表达式， (2)大棚为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，向上调整为如图3，此时，，求调整后的抛物线解析式； (3)大棚内变化前后最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，，再把函数解析式设为顶点式，接着利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）用调整后的函数解析式减去调整前的函数解析式，利用二次函数的性质求出差的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵C为抛物线顶点， ∴可设抛物线解析式为， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设调整后的抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴调整后的抛物线的函数表达式为； （3）解：设大棚内变化前后的高度差为W， 由题意得，   ， ∴当，即时，W有最大值，最大值为， ∴大棚内变化前后最大高度差是． 39．（2025·安徽·三模）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 40．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞跃防御墙，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键； （1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； ②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； （2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围； 【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且， ∴函数的最大值为10，即； ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴； ②石块能飞跃防御墙； 理由如下：由题意知，点B的坐标为； 由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则； 对于，当时，， ∴石块能飞跃防御墙； （2）解：由于抛物线过原点，则， 即； ∴， 当抛物线过点时，，解得， 当抛物线过点时，，解得， ∴， 故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为． 41．（2025·江苏盐城·二模）学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【答案】(1)； (2)分钟； (3)①75，230；②秒． 【分析】（1）把值和其中两个点代入函数，得到关于、的方程组，解方程组即可得到、的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值，代入拟合函数表达式，求解关于的方程，得到的值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定和方向上的平移量． ②当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于的直线的位置关系中，相切时的切点是距离最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． （2）解：令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 （3）解：①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 42．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2 (2)当时，d取得最大值为0.35 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； （2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题01用函数的思想解决实际问题（专项训练） 目录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 从函数图象中获取信息 函数图象问题(2种) 图形动点中的图象问题 用函数思想解决实际问题 构建一次函数模型解决问题 构建二次函数模型解决问题 实际应用(4种) 构建反比例函数模型解决问题 图形问题 考点 考点一：从函数图象中获取信息 1.(2025·安徽阜阳·一模)生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度y(单位：Cm)与观 察时间x(单位：天)的函数关系如图所示，设该植物第20天和第50天的高度分别为h1cm和h2cm,则 h2-h1=() ◆y/cm 6 3060天 A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 2.(2025河南郑州一模)硫酸钠N2SO4是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域 发挥重要作用.硫酸钠在100g水中的溶解度yg与温度t℃之间的对应关系如图所示，则下列说法正确 的是() 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A以g 48.8------- 43.7 19.5 0 20406080/℃ A.当温度为0C时，硫酸钠在水中溶解度为0 B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C.0℃~20℃时，温度每升高1℃，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D.要使硫酸钠的溶解度不低于43.7g,温度应控制在40°℃~80℃ 3.(陕西省西安市铁一中学2024-2025学年下学期中考数学二模试卷)物理实验中，同学们分别测量电路 中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流IA和它们两端的电压UV,根据相关数据，在如图的坐标系 中依次画出相应的图象.根据图象及物理学知识U=R,可判断这四个用电器中电阻R2最大的是 ) 个U/V 丙 用 Ui-- h b I/A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(2025·河南郑州一模)如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并 压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程 中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度Vc/s和弹簧被压缩的长 度△1Cm之间的关系图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是() O v(cm/s) 6 77777777T777777777 02 6△l(cm) 图1 图2 A.小球从刚接触弹簧就开始减速 B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025江苏南通·模拟预测)小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步 行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行.他们两人之间的距离$（米)与小强 出发时间t(分)之间的函数关系如图： 结合图象信息，小成给出如下说法： ①小林先到达少年宫：②小林的速度是小强速度的2.5倍；③小强出发24分钟时到达少年宫；④小强出发 19分钟时，小林还需要继续行进480米才能到达少年宫. 其中正确的说法是() As/米 720 b 9 1519 at/分 A.①② B.②④ c.①③④ D.①②④ 考点二：图形动点中的函数图象 6.(2025安徽蚌埠三模)如图，在等腰三角形ACB中，∠C=90°，AC=BC=2,P为△ACB直角边上 一动点，PD⊥AB于点D,连接PB.当点P从点A出发沿直角边运动到点B时，设点P运动的路程为 x,y=PD·BD,则y随x变化的大致函数图象为( ) 34 B 01234 D.01234 7.(2025安徽淮北三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D在边AB上， △DFE△ABC,DF经过点C,DE与AC交于点G.设AD=x,CG=y,则y关于x的函数图象为( 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4体 4 9465 9 463 O 5 16 5 A. B % 4。 4日 4 4 5衣 5衣 D 8.(2025安徽宿州·模拟预测)如图，△ABC是边长为22的等边三角形，CD⊥AB,垂足为点D, 点P从点B出发，沿B一D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE‖BC,PF‖AC,分别交 边AC于点E.交边BC于点F,若点P运动的路程为X,四边形CEPF的面积为y,则y关于x的函数图象 为() D B F √3 A. 02V2+6 B. 02 V2+V6 A √5 √5 c.022+6 D.0226 9.(2025·安徽滁州三模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M,N分别是BC,BA上的点且 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN⊥AB,将△BMN沿着直线MN对叠，得到△DMN,点B落在射线BA上，对应点为D.设BN=X, 已知AB=8,AC=4,△DMN与△ABC重叠部分的面积为S,则S与x之间的函数图象大致为 () M B N D A 味 16 16 16 16 3 3 3 3 4----- 4168x 4168x 4168x 416 A. B C 3 0. 10.(2025安徽蚌埠·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm,动点P从B点出 发，沿着BC以1c/s的速度向终点C运动，同时动点Q从A点出发，沿着AB以2cm/s的速度向终点B运动， 点P关于直线AB的对称点为点P,连接PP交AB于点D.设P,Q两点运动的时间为tS,△PQP的面积为 Scm,则S与t的函数关系图象大致为( ) D B→P C ◆S/cm2 ←S/cm2 4V5 4V3 0 3.2ts B. 03.2 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ←SYcm2 S/cm2 4V3 4V3 C. 3.24ts D 3.24ts 11.(2025·安徽淮北·三模)如图，在四边形ABCD中，BC‖AD,AB=BC=CD=4,∠BAD=60°， 动点P,Q同时从A点出发，点P以每秒2个单位长度沿折线A-B-C-D向终点D运动；点Q以每秒4个 单位长度沿线段AD向终点D运动，直到两个点都到达终点才停止运动.设运动时间为X秒，△APQ的面 积为y个平方单位，则下列正确表示y与x的函数关系的图象是() B D y 8V3 83 8V3 B 02 4 2 4 6 D 83 43 246 12. (2025安微合肥·二模)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=3V3,以3为边长 的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个 单位长度的速度向右匀速运动，当点D与点B重合时，停止运动.设在这个运动过程中，运动时间为t秒， 正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象大致是( E A(D) B 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 / SA 9 2 93 2 33 2 35 2 A. 333t秒 B 0333秒 S 933 SA 2 93 2 33 2 3 C. 0333/秒 D o335秒 13.(2025安徽宿州·三模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=25,BC=4V5,点D是线段AC上 的动点，点E在AB上，DE=AD,作EF⊥DE交BC于点F,设AD=5x,四边形CDEF的面积为y,则 y与x之间的函数关系的大致图象是( D E 10 10 7.5 7.5 B 10 10 7.5 C. 2末 D. 2 14.(2025·安徽六安·三模)如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD的中点，P是AB上的动点，在AD 的下方作∠PEQ=90°，设AP=x,正方形ABCD中在∠PEQ右方的部分面积为y,则y关于x的函数图象 大致是() 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B y 8 8 4- 4x A B 8 8 40 4 C. 4x D. 4 15.(2025·安徽阜阳·一模)如图，正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边EF在同一条直线 上，此时点B与点E重合，现向右平移正方形ABCD,设平移的距离为x,它们重合部分的面积为y,己 知AD=4,EG=6V2,则y关于x的函数图象大致为( G E(B)A B y A.O XB.O D. 解|题技巧 类型一动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增 减变化趋势： 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断： 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进 行排除： 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除 类型二动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况： 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值： 四计算：结合己知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解！ 考点三：构建一次函数模型解决问题 易」混易错 要明确实际问题所对应的函数模型，要正确构建函数模型，切不可将二次函数和反比例函数模型与一次 函数模型混淆 16.(2025四川广元一模)由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份 售价每台降价500元.如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有 8万元 ()一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进 价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方 案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在 (2)的前提下哪种方案获利最大？ 17.(2025·陕西渭南·一模)促全面发展，育时代新人，立德树人，就是要树立全面发展的科学育人理念， 坚持“五育”并举.某体育用品商场为满足学生需求购进一批跳绳进行销售.经市场调查发现，每根跳绳 每天的销售量y(件)是销售单价x（元/件)的一次函数.已知当这种跳绳的销售单价为20元/件时，每天 的销售量为1500件；当这种跳绳的销售单价为30元/件时，每天的销售量为1000件. (I)求y与x之间的函数关系式： (2)当这种跳绳每天的销售量为800件时，这种跳绳的销售单价为多少元/件？ 18.(2025·云南模拟预测)为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划 采购A、B两种非遗文创用品(A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件， 承载传统工艺中的数学配比智慧)·经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关 系如图所示. y以元 2500---- 1500 0 50 150x/件 ()求y与x之间的函数关系式： 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过 B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元， 那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 19.(2025河北唐山·三模)如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上 升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为3.5，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为60°（点 B,D,C,A在同一平面内)·两架无人机距离地面的高度h(单位：m)与上升时间t(单位：s)之间的 函数图象如图2. 无人机乙 A h/m B 40 20 无人机甲 y 10/s 图1 图2 (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，3≈1.73） (2)求两架无人机距离地面的高度hm与无人机上升的时间ts之间的函数关系式： (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过45°的时长， 20.(2025·云南丽江·一模)为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民 族特色旅游纪念品加工厂.该厂生产A,B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种. 如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天 B型号挂件，那么一共可以生产1300个. (I)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号 挂件的数量不少于1200个.已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元.在完 成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利 润是多少万元？ 解|题技巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较： ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案 及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较 ③一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线 段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 考点四：构建二次函数模型解决问题 21.(2025安徽合肥·三模)【生产背景】背景1：某服装厂安排50名工人加工生产“旗袍”和“国风女 10/23