专题03 函数中的面积问题（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题03 函数中的面积问题（专项训练） 目 录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 次函数中的面积(1种) 面积存在性问题 二次函数中的面积问题 二次函数中的面积问题(2种) 面积最值问题 反比例函数中的面积问题(1种) 考点 考点一：一次函数中的面积问题 1.(2025黑龙江佳木斯模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线CD与x轴交于点C,与V轴交于点D, 0C,0D的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(0C0D),直线y=X+1与x轴交于点B. 备用图 备用图 (I)求直线CD的解析式； (2)M(y)是直线y=X+1上一动点，设△BCM的面积为S,请求出S关于x的函数解析式： 3)直线CD上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请 说明理由， 2.(2025河北石家庄·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A(5,m),且与y轴交于点 B,把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C,过点C且与y=2x平行的直线交y 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 轴于点D. (1)m= ；点C的坐标是 直线CD的表达式是 (②)直线AB与CD交于点E,在直线AB上是否存在点P,使S△PBD=2S△BD?若存在，求出点P的坐标；若 不存在，说明理由； 3.(2025·广东清远一模)如图1，Rt△ABC中的∠ABC=90°，AB=4,顶点A在第四象限，直角边BC在 x轴上，D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E,△BCE的面积为6，已知点A在反比例函数 y=袋(x>0)的图象上. B D 图1 图2 (1)求k的值； (2)如图2，点F是点A关于直线y=1的对称点，点P在过点E的射线EG:y=3x+2(x≤0)上，且点P位于第 三象限内，若△PAE的面积是△0AF面积的2倍，求点P的坐标 4.(2025北京二模)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A(,0)，,点B在第一象限内直线： y=-1.5x+5上一点.△AB0是以点B为直角顶点的等腰直角三角形. y=-1.5x+5 B (I)求点A的坐标； (2)当x>2时，直线y=mx+1(≠0)既在直线]的上方，又在直线0B的上方，直接写出m的取值范围； (3)若点C(-,b),且△ABC的面积等于△AB0的面积，请直接写出b的值. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2025·天津和平.一模)在平面直角坐标系中，O为原点，∠ACB=90°，AC=BC,点A(2,0),点B在 x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是BC的中点，连接AD D B O A (1)填空：如图，点B的坐标为 ,点C的坐标为 线段AD的长为 (②)以点A为中心，顺时针旋转△ACD,得到△AEF,点C,D的对应点分别为E,F. ①连接CF,当CFx轴时，求点F的坐标： ②连接BF,记M为线段BF的中点，S为△MEF的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）. 解」题技巧 (1)联立一次函数解析式求出三角形顶点坐标； (2)观察三角形是否存在与坐标轴平行的边，并以与坐标轴平行的边为底； (3)设出动点坐标，用动点坐标表示出三角形的底和高； (4)如果三角形中不存在与坐标轴平行的边，则采用割补法，转化为水平宽乘以铅锤高除以2的形式进 行计算： 考点二：二次函数中的面积存在性问题 6.(2025·安徽宿州·模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(810),B(X20)两点(81X2), 与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=-1 (1)求抛物线的函数表达式. (2)点P在直线AC上方的抛物线上，PDLy轴，交直线AC于点D,求线段PD的最大值. (3)抛物线上是否存在一点Q,使得△QBC的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标9的值；若不存在， 请说明理由 7.(2025安微宣城三模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c为常数， 且a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3): (1)求抛物线的函数表达式. (2)P,Q两点均在抛物线上，PD⊥x轴于点D,QEX轴于点E,AP与y轴交于点F.己知P,Q两点的横 坐标分别为t和t+1,且0<t<2. (i)分别记△AOF和△CPF的面积为S△AoF,S△cPF,求S△AOF十S△CPF的最小值 3/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)分别记△OPD和△OQE的面积为S△oPD,S△oQE,若S△oPD=S△oQB,求t的值. 8.(2025·安微合肥二模)如图1，抛物线y=ax2+c交x轴于点A(4,0)、B两点，顶点C(0,-4),点P为 第一象限内抛物线上一点. VA D B C 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)若S△PBC=S△PAB,求点P的坐标； (3)如图2，直线y=k-2交抛物线于BF,直线y2=kX-2交抛物线于G、H,点M为EF的中点，点N为 GH的中点，当k1k一一麦时，求直线MN一定经过的定点的坐标， 9.(2025·安微合肥·二模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+C(b>0)与x轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,点P为抛物线的顶点，直线PC交x轴于点D (1)若点C的坐标为(0,3). (i)当点A的坐标为（一1,0）时，求抛物线的顶点坐标； (ii)当PC=CD时，求直线PD的解析式 ②若c=4号，SAPBC=3,求b的值。 10.(2025·甘肃酒泉·二模)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过两点C(-2,5)与D(2,-3),且 与x轴相交于A、B两点，其顶点为M: VA (1)求点M的坐标； (2)求△ABM的面积： 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()在二次函数图象上是否存在点P,使SPAB=SAMAB?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象，请你结合 这个新的图象回答：当直线y=X+m(m<1)与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？ 解|题技巧 (1)设出动点坐标，利用割补法表示出三角形或多边形的面积； (2)根据题目中的等量关系列出方程并求解； 考点三：二次函数中的面积最值问题 11.(2025安徽六安模拟预测)己知抛物线y=ax2bx+c与x轴交于点A(-3,0)B（2,0),与y 轴交于点C(0,-6) (I)求抛物线的函数表达式. (2)己知点D在抛物线上，设点D的横坐标为m. ①若点D在第二象限，连接BD,交y轴于点E,求点E的坐标（用含m的式子表示）： ②若点D在第四象限，求△DBC的面积的最大值. 12.(2025·安徽芜湖·三模)如图，抛物线y=-x2+bx十C与x轴相交于A、B两点，与V轴相交于点C,且点B 与点C的坐标分别为B(6,0),C(0,12),点M是抛物线的顶点. B (①)求此二次函数的关系式： (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S, ①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围： ②求S的最大值以及此时点P的坐标. 13.(2025·安徽阜阳·三模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点 A(-3,0),点B(2,0). (1)求a,b的值 (2)直线y=kx+2与抛物线交于A,C两点，P位于直线y=x+2上方且是抛物线上的动点，过点P作x轴 的垂线交直线AC于点Q,交x轴于点H. 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若PQ=4,求点P的坐标 ②连接PA,PC,求△PAC的面积的最大值 14.(2025安徽阜阳三模)对于二次函数y=ax2+bx+2,当自变量x=-时，函数y的最大值为星 (1)求二次函数的解析式. (2)如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,P,Q是A与C之 间的二次函数图象上的两个动点，PMx轴交直线AC于点M,QNLx轴交直线AC于点N,MELy轴于点E, ND⊥y轴于点D,PM=QN,求当P,Q两点不重合时，线段ME+ND的长 (3)在(2)的条件下，连接NE,求△CNE的面积的最大值， 15.(2025安徽宿州·二模)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),B(2,0),与y轴交于点 C(0,-6). (1)求抛物线的函数表达式. (2)己知点D在抛物线上，设点D的横坐标为m, ①若点D在第二象限，连接BD,交y轴于点E,求点E的坐标（用含m的式子表示）： ②若点D在第四象限，求△DBC的面积的最大值. 解|题技巧 (1)设出动点坐标，利用割补法表示出三角形或多边形的面积： (2)配方，利用二次函数的性质确定三角形的最大值或最小值 考点四：反比例函数的面积问题 16.(2025安徽合肥一模)如图，一次函数与反比例函数y=(>0)的图象交于点A(2,6)B(m,3),与 x轴交于点C,与y轴交于点D. 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)求反比例函数的解析式： (2)连接0A、0B，,求△A0B的面积. 17.(2025安徽铜陵一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=X-2与反比例函数y=的图象 交于A、B两点，与x轴相交于点C,已知点A的坐标是(3，m). (1)求反比例函数的解析式： (2)点P为反比例函数y=图象的任意一点.若S△PoC=2S△Aoc,求点P的坐标。 18.(2025陕西汉中一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b(b为常数)与x轴、y轴分别交于 点A、C(0,2),且与反比例函数y=发(k为常数，且k≠0，x>0)的图象交于点B(1,a). (1)求反比例函数的表达式： (2)点Q在反比例函数y=(x>0)的图象上，点E的坐标为(2,0)，连接0B、AQ、EQ,若 S△4EQ=2S△0AB,求点Q的坐标. 19.(2025江苏镇江一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=袋(x>0)的图象经过点B(8,2), 将点B先向左平移4个单位，再向上平移m(m>0)个单位得到点A,点A恰好落在反比例函数 y=袋(x>0)的图象上，过A,B两点的直线与x轴交于点C. (I)求k,m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点D(⑤，0)，连接AD、BD,求△ABD的面积. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.(2025江西·模拟预测)如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(0，-3)， 反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C,一次函数y=ax十b(a≠O)的图象经过点C和点A· (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，若△0AP的面积恰好等于正方形ABCD的面积的，求点P坐标. 解|题技巧 (1)反比例函数中的面积问题通常利用k的几何意义进行转化。 (2)在不等利用k的几何意义进行转化时，设出动点，利用割补法进行求解： 能力 21.(2025贵州黔东南二模)如图，一次函数y=x+3的图象与坐标轴交于A,B两点，与反比例函数 y=受(m>0)的图象交于C(1,n),D两点. (I)求n的值以及D点的坐标； (2)求△C0D的面积. 22.(2025江苏苏州三模)如图，平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=罗的图象 交于A(-6,1),B(1,n)两点. 8/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)若过点(-2,0)且平行于y轴的直线上有一动点P,当△PAB的面积为21时，求点P的坐标. 23.(2025河南平顶山模拟预测)如图所示，反比例函数y=罗(x>0)的图象与一次函数 y2=x+b(k≠0)的图象交于A(2,6),B(6,n)两点，在线段AB上取点P,过点P作x轴的垂线，垂足为C, 交函数y的图象于点D. (1)求这两个函数的解析式： (2)请直接写出不等式罗>ks+b的取值范围； (3)若点P的横坐标为5，求△P0D的面积， 24.(2025山东临沂一模)如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=罗的图象交于点A、B,点A 在第一象限，过点A作ACx轴于点C,AD⊥y轴于点D,点B的纵坐标为-2，一次函数的图象分别交x 轴、y轴于点E、F,连接DB、DE,已知S△ADr=4,AC=30F. (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)求△DBE的面积. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(2025·甘肃定西一模)如图，已知抛物线y=x2+bx+C与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A 的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0，-1)，点F为抛物线的顶点。 (1)求抛物线的解析式： (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点E是线段AC上一动点，过点E作ED⊥x轴于点D,连接DC,当△DCE的面积最大时，求点D的坐标. 26.(2025山东聊城三模)已知抛物线与x轴交于A,B两点，且经过点C(0,-4),顶点坐标为(3，-) 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接BC,CD,BD,求△BCD的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接AE,交BC于点F,记△BEF的面积为S1,△BAF的面积 为S2,当最大时，点E的坐标。 27.(2025湖南株洲三模)如图，抛物线y=-x2bx+c交x轴于A(-4,0),B两点，交y轴于点C(0,4). (①)求抛物线的函数解析式. 10/13 第三章 函数 专题03 函数中的面积问题（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：一次函数中的面积问题 1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； (3)直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形定义，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键． （）求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （）求出，，，根据三角形面积公式可得； （）设，可得，，，然后分三种情况列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：由得：，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线上存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得（此时，重合，舍去）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 综上所述，的坐标为或或或． 2．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)；； (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用，一次函数的交点问题，坐标与图形变化—平移； （1）根据一次函数图象上点的坐标特征先求出m，可得点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线与平行，可设直线的解析式为，代入点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先求出点E坐标，根据可得点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍，然后分情况代入计算即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ∴， 把点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ， 直线与平行， 设直线的解析式为， 又直线过点， ∴， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）存在； 联立，解得， ． ， ∴点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍， 或， 把代入，得； 把代入，得； 或． 3．（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合，解直角三角形，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，得到，然后利用代入求解即可； （2）首先求出，然后得出，根据题意得到，如图，过点作，垂足为，交轴于点，得到，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，是斜边的中点 在中，，且 ， 点在第四象限 点在反比例函数的图象上 ； （2）由题意，点是点关于直线的对称点 把代入，得 在射线的反向延长线上，即，，均在直线上 点是点关于直线的对称点 轴 的面积是面积的倍 如图，过点作，垂足为，交轴于点 ， 点的横坐标为 点在直线上 点的坐标为． 4．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求点的坐标； (2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； (3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点B作轴于点D，由点A的坐标及等腰直角三角形的性质，可得出点B的坐标为，结合点B在直线上，即可求出a的值，进而可得出点A的坐标； （2）求出直线的解析式，再根据直线在直线l和上方的条件，结合函数图象的性质确定m的取值范围； （3）由（1）可得出点B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式为，由的面积等于的面积，可得出点C在直线或上，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值． 【详解】（1）解∶过点B作轴于点D，如图所示． 点A的坐标为， ． 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 又∵点B在直线上， ，解得∶， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设直线的解析式为，把)代入，解得， ∵当时，直线即在直线：的上方，又在直线的上方， ∴结合函数图象可知m的取值范围是； （3）解：由（1）可得出点B的坐标为， 设直线AB的解析式为， 将，代入得∶ 解得∶ ∴直线的解析式为． ∵的面积等于的面积， 点C在直线或上， ∵点C的坐标为或， 或． 5．（2025·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，，，点，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是的中点，连接． (1)填空：如图，点B的坐标为______，点C的坐标为______，线段的长为_______； (2)以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． ①连接，当轴时，求点F的坐标： ②连接，记M为线段的中点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据等腰三角形和直角三角形的性质求出即可求出各点的坐标； （2）①分点在左侧、右侧两种情况，结合勾股定理分别求解即可；②作于，作于，连接，证明，得，进而得，得出当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　，即可求出最大值． 【详解】（1）解：点， ， O为原点，，，且， ， ，， 点D是的中点， ， ， 故答案为：； （2）①解：如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 中，， ， ； 如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于作于， ， 四边形是矩形， ， ， 中，， ， ； 综上所述，当轴时，点的坐标为或 ②作于，作于，连接， ， ， ， 顺时针旋转，得到， ， ， ， 在旋转过程中，，， 当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　， 如图所示： ， ， ． 解｜题｜技｜巧 （1）联立一次函数解析式求出三角形顶点坐标； （2）观察三角形是否存在与坐标轴平行的边，并以与坐标轴平行的边为底； （3）设出动点坐标，用动点坐标表示出三角形的底和高； （4）如果三角形中不存在与坐标轴平行的边，则采用割补法，转化为水平宽乘以铅锤高除以2的形式进行计算； 考点二：二次函数中的面积存在性问题 6．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 7．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）把，，点代入，再建立方程组求解即可； （2）（ⅰ）如图1，设，求解直线的函数表达式为，表示，，再进一步利用二次函数的性质解题即可； （ⅱ）如图2，表示，，可得，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：（ⅰ）如图1，设， 直线的函数表达式为． ∵直线经过，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为． （ⅱ）如图2， ∵，，即． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 解得． 8．（2025·安徽合肥·二模）如图1，抛物线交轴于点、两点，顶点，点为第一象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于、，直线交抛物线于、，点为的中点，点为的中点，当时，求直线一定经过的定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，连接，直线的解析式为，根据，可得，则直线解析式为，联立，解得或，则点P的坐标为； （3）联立得，则，进而得到，根据中点坐标公式得到，同理可得；则可求出直线解析式为，根据，得到直线解析式为，当时，，则直线一定经过点． 【详解】（1）解：把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，或， ∴， 如图所示，连接，设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∵， ∴和是同底等高的三角形， ∴， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； （3）解：联立得， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，即； 联立得， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴，即； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 当时，， ∴直线一定经过点． 9．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线交x轴于点D． (1)若点C的坐标为． （ⅰ）当点A的坐标为时，求抛物线的顶点坐标； （ⅱ）当时，求直线的解析式； (2)若，，求b的值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）（i）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；（ii）根据点C坐标得到c的值，再根据，推出点P的纵坐标为6，把解析式化为顶点式得到得到点P纵坐标，据此建立方程求出点P坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）把解析式化为顶点式求出点P的坐标为，求出点B坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于D，则，可得，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（i）把点A和点C坐标代入解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为； （ii）在中，当时，， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴点C为的中点， ∵直线交x轴于点D，即点D的纵坐标为0， ∴点P的纵坐标为6， ∵抛物线解析式为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 设直线解析式为， 则将点与点代入得：， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：当时，抛物线解析式为， ∴点P的坐标为， 令，解得或， ∴， 同理可求出直线解析式为， 如图所示，过点P作轴交于D，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 10．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4) 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系． （1）利用待定系数法将点、点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标． （2）当时，求出抛物线与轴的交点坐标就可以求出的值，的高就是的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积． （3）设出点的坐标为，根据条件建立等量关系就可以求出点的坐标． （4）当直线经过点时，可以求出的值，当直线经过点时可以求出的值，再根据图象就可以求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴ ∴ ； （2）解：当时，则， 解得，， ，， ， ∴； （3）解：设点的坐标为，当点在轴的上方时， ∴， 解得：，， ∴或， 当点在轴的下方时的点不存在． ∴或； （4）解：如图，当直线经过点时， ∴， ， 当直线经过点时， ∴， ， 由图象得：． 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点坐标，利用割补法表示出三角形或多边形的面积； （2）根据题目中的等量关系列出方程并求解； 考点三：二次函数中的面积最值问题 11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知点D在抛物线上，设点D的横坐标为m． ①若点D在第二象限，连接，交y轴于点E，求点E的坐标（用含m的式子表示）； ②若点D在第四象限，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①过D作轴于点F，证明，则，由点D在第二象限，所以，故，，代入得 ，然后求出的值即可求解； ②连接，，过D作轴于点，交于点N，求出解析式为，则，然后由，所以，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， ． 将点代入， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）①由（1），可得点． 设直线的函数表达式为． 把点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． 令，则， ∴点的坐标为． ②由点，，同理可得直线的函数表达式为． 如图，过点作轴，交于点，则点． ∵点， ∴， ． ∵， ∴当时，最大，最大值为1． 12．（2025·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点． (1)求此二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为， ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值以及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②有最大值为， 【分析】（1）将，代入得到，求出，即可得到二次函数的关系式为； （2）①先求出，继而求出线段的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， 二次函数的关系式为； （2）解：① ，点是抛物线的顶点， ， 设线段的解析式为， 将，代入得， 解得， 线段的解析式为， 轴，， ， ， ，， ； ② ，， 当时，有最大值，最大值为， 此时，． 13．（2025·安徽阜阳·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点． (1)求a，b的值． (2)直线与抛物线交于A，C两点，P位于直线上方且是抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交x轴于点H． ①若，求点P的坐标． ②连接，，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题综合考查二次函数与一次函数的交点问题、代数方程组的解法、几何图形中面积最值的求解方法． （1）利用抛物线与轴交点坐标，代入方程联立求解系数和； （2）①将点代入，解得，设点，则点，，，再根据几何条件，结合点在抛物线上方的限制，解方程并验证解的合理性；②将的面积表示为关于点横坐标的函数，通过二次函数顶点公式求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴ 解得； （2）①由（1）知抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点，， ∴． ∵， ∴，解得，， ∴或． ②由， 解得，， ∴点， 设点，则点，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值，最大值为． 14．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，， ，根据，可推出，据此可得答案； （3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P，Q两点不重合，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 15．（2025·安徽宿州·二模）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知点在抛物线上，设点的横坐标为． 若点在第二象限，连接，交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）； 若点在第四象限，求的面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式； (2)点的坐标； 的面积的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过作轴于点，证明，则，由点在第二象限，所以，故，，代入得，然后求出的值即可求解； 连接，，过作轴于点，交于点，求出解析式为，则，然后由，所以，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式； （2）解：∵点在抛物线上，点的横坐标为， ∴， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标； 如图，连接，，过作轴于点，交于点， 设解析式为， 把，代入得， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，为． 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点坐标，利用割补法表示出三角形或多边形的面积； （2）配方，利用二次函数的性质确定三角形的最大值或最小值 考点四：反比例函数的面积问题 16．（2025·安徽合肥·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点A的坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可先得出点B坐标，然后再求出点C坐标，最后根据割补法可进行求解 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）得，点， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ． 17．（2025·安徽铜陵·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象的任意一点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先求出坐标，再由待定系数法求解； （2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， ∴， 当点的纵坐标为2时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 18．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，再得出，然后代入进行计算，即可作答． （2）先求出，得则，因为，得，整理得，再把数值代入，进行计算，得，最后代入反比例函数进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线（为常数）与轴、轴分别交于点、 ∴把代入，得， 解得， ∴， 把点代入，得， 即， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，； 依题意，令，则， 解得，即， ∴， 则， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 则， 解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴点的坐标为． 19．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 20．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 解｜题｜技｜巧 （1）反比例函数中的面积问题通常利用k的几何意义进行转化。 （2）在不等利用k的几何意义进行转化时，设出动点，利用割补法进行求解： 21．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于，D两点． (1)求n的值以及D点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，D点的坐标是 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据待定系数法求出和的值，再联立解析式即可求出点D坐标； （2）根据 即可求解． 【详解】（1）解：∵在一次函数的图象上， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∵D点在一次函数与反比例函数的图象上， ∴联立， 解得：，或． ∵D点在第三象限， ∴D点的坐标是． （2）解：在一次函数中，令，则，令，则， 由题意得A，B的坐标分别为，， ∴ ． 22．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 23．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于两点，在线段上取点P，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交函数的图象于点D． (1)求这两个函数的解析式； (2)请直接写出不等式的取值范围____； (3)若点P的横坐标为5，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)1.5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，可直接写出时自变量x的取值范围； （3）求出点的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ； ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ， ， ∵一次函数过，， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：不等式的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围， 则不等式的解集为或； （3）解：当时，，， ∴，，， ∴． 24．（2025·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作轴于点C，轴于点D，点B的纵坐标为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接、，已知，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式，一次函数表达式为； (2) 【分析】（1）利用，求出点的坐标，再用待定系数法求出两个函数表达式即可； （2）首先求出，然后利用的面积，即可求解； 【详解】（1）解：对于，令，则， 故点，则， 而，故点， 的纵坐标为3，点在反比例函数上，故点， ， 解得，故点， 反比例函数表达式为， 将点的纵坐标代入上式得，， 解得，故， 将点的坐标代入得，，解得， 故一次函数表达式为； （2）对于，令，则， 解得，故点， 的面积． 25．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 26．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； （3）解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 27．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 28．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点． (1)求a，b的值； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，S的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出，则，的中点坐标为，根据垂直平分，则直线经过的的中点，即直线经过点，据此求出直线解析式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可； （3）求出直线的解析式为；过点P作轴交于F，连接，根据，可得，则；设，则，可得；则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴，的中点坐标为， ∵垂直平分， ∴， ∴直线经过的的中点，即直线经过点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∴ ， ， ∵， ∴当，即时，S有最大值，最大值为， ∴此时， ∴． 29．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 30．（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 31．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标； (3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)面积的最小值为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设直线交轴于点，过点作于点，设，由，得，求得，利用面积法可求得，再运用勾股定理建立方程可求得，则，利用待定系数法可得直线的解析式为，再联立方程组即可求得点的坐标； （3）由题意得直线的解析式为，与抛物线解析式联立得：，由根与系数关系得：，，由三角形面积公式可得运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交，两点， 设， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为； （2）如图1，设直线交轴于点，过点作于点， 设， ， ， ，即， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，， 设直线的解析式为则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：，， 点在第四象限， ； （3）由（2）知：， 如图2， 直线经过点， 直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 整理得：， ，， ， ， 当时，． 32．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（、c是常数）经过点、，连接点P是抛物线上第一象限内的点，设点P的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)设抛物线在点A、P之间图象上点的纵坐标为（不包括点A、），抛物线在点P、B之间图象上点的纵坐标为（不包括点P、）．若总有，则m的取值范围是______； (3)连接，过点P作y轴的垂线，交线段于点Q，以点Q为中心作． ①当有三个顶点同时落在抛物线上时，求点P的坐标； ②当抛物线的对称轴将分成的两部分图形的面积比为时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线 (2)； (3)①或；②m的值为或． 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）设点A关于抛物线对称轴的对称点为C；若满足，则点P在点C的下方，由此可得出m的范围； （3）①由平行四边形中心的性质可表示点Q的纵坐标，根据题意可分两种情况，点M，N分别在抛物线上，根据四点相对位置关系画出图形可得出方程，进而求解； ②抛物线的对称轴为直线，当N位于对称轴直线的左侧时，显然抛物线的对称轴无法将▱PAMN分成2：3的两部分面积．当N位于对称轴右侧时，设对称轴交AP于点D，交MN于点G，交AB于点F，作对称轴于点E，对称轴于点H，连接设，由直线AB的解析式为，可得，由Q为▱PAMN的中心可得N的横坐标为，从而可得由，可知∽，∽，故得比例式，设，根据比例可表示，，再由，可表示，，从而，，此时对称轴右边部分的面积可表示为，当抛物线的对称轴将▱PAMN分成的两部分图形的面积比为2：3时，即有①或②，分别整理化简每个方程，则可解出m的值． 【详解】（1）把点、代入抛物线中，得 ，解得， 故抛物线表达式为； （2）， 如图1，作A点关于对称轴直线的对称点C，由对称性可知点C的横坐标为2， 若满足，则点P应在点C的下方， 即， 故答案为： （3）把点、代入解析式中，得 ，解得， 直线的解析式为， ①当点M落在抛物线上时，如图2， 此时，把代入中，得， ， 令，即， 解得，（舍去）， 故点P的坐标为； 当点N落在抛物线上时，如图3， 此时点N与点B重合，则Q为AB中点，， 令，即， 解得，（舍去）， 故点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； ②当N位于对称轴直线的左侧时，如图4所示，显然抛物线的对称轴无法将分成2：3的两部分面积， 当N位于对称轴右侧时，如图5所示，设对称轴交于点D，交于点G，交于点F，作对称轴于点E，对称轴于点H，连接 设， 由上可知，直线AB的解析式为， 则点Q的纵坐标为，从而可得， 由Q为的中心可得N的横坐标为， 从而可得 由，可知∽，∽， 故， 设， 故，， ， ， 故， ， 此时对称轴右边部分的面积可表示为， 当抛物线的对称轴将▱PAMN分成的两部分图形的面积比为2：3时， 即①或②， 对于①式，即， 整理可得， 且， ， 分子分母同时约去， 故得，整理得， 解得，（舍去）， 故； 对于②式，依上可得，整理可得， 解得，（舍去）， 故， 综上所述，m的值为或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $