2026年中考数学一轮复习 方程与不等式 检测试卷

2026年中考一轮复习方程与不等式提优检测试卷 （时间100分钟，总分120分） 一、单选题（共10题，共30分） 1．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【解析】【解答】解：设这款风扇的进价为x元，标价为y元，由题意列方程组得： 解方程组得： 故答案为：A. 【分析】设风扇的进价和标价分别为x元和y元，则根据相等关系“ 按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.”列方程组并求解即可. 2．已知是实数，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵是实数，若，， ∴， ∴此选项不符合题意； B、∵是实数，若，， ∴， ∴此选项不符合题意； C、∵是实数，若，， ∴c2＞0， ∴， ∴此选项符合题意； D、∵是实数，若，， ∴a-c＞b， ∴此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断求解． 3．某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： 设 平均每次降低成本的百分率是 x，则有 100×(1-x)2=81 (1-x)2=0.81 1-x=0.9或1-x=-0.9 x=0.1或x=1.9(此值不合题意舍去) 即平均每次降低成本的百分率是 10%。 故答案为：D 【分析】 平均每次降低成本的百分率是 x， 第一次降低成本后，成本是100×(1-x)， 第二次降低成本后，成本是100×(1-x)×(1-x)， 根据 两次降低后的成本是81元， 列方程进行求解即可。 4．若用配方法解方程x2+8x+7=0，则下列配方正确的是（　　） A．（x-4）2=9 B．（x+4）2=9 C．（x-8） 2=9 D．（x+8） 2=9 【答案】B 【解析】【解答】解：∵方程为x2+8x+7=0， ∴x2+8x+16=9， ∴（x+4）2=9， 故答案为：B. 【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法及步骤分析求解即可. 5． 若关于x的方程x2+（m+1）x+m2=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．-1 B．1或-1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知：△=（m+1）2﹣4m2=﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2=1， ∴m=±1， 当m=1时，△=﹣3+2+1=0， 当m=﹣1时，△=﹣3﹣2+1=﹣4＜0，不满足题意， 故选：C． 【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 6．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得， 故答案为：B. 【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决. 7．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数 的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵-＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴-=1， ∴2a+b=0，故②正确． ∵抛物线交x轴于点（-1，0），（3，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 当x=1时，y的值最大，最大值为-4a，故③正确． ∵ax2+bx+c=a+1无实数根， ∴a（x+1）（x-3）=a+1无实数根， ∴ax2-2ax-4a-1=0，Δ＜0， ∴4a2-4a（-4a-1）＜0， ∴a（5a+1）＜0， ∴-＜a＜0，故④正确， 故答案为：C. 【分析】根据抛物线的位置一 一判断①错误； 利用抛物线的对称轴公式求解②正确； 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），当x=1时，y的值最大，最大值为-4a，③正确； 把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式，④正确。 8．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（　　） A．若，则点A在点B，C之间 B．若，则点A在点B，C之间 C．若，则点C在点A，B之间 D．若，则点C在点A，B之间 【答案】D 【解析】【解答】解：当点A在点B，C之间时，恒成立，即方程至少有一解 化简得 若，则，不符合条件，故A选项错误； 若，则，不符合条件，故B选项错误； 当点C在点A，B之间时，恒成立，即方程至少有一解 化简得 若，则，不符合条件，故C选项错误； 若，则，符合条件，故D选项正确； 故答案为：D． 【分析】当点A在点B，C之间时，得到；当点C在点A，B之间时，恒成立；然后根据n的取值范围逐项判断即可． 9．设方程的两根为，则的值为（　　） A．-10 B．22 C．24 D．30 【答案】B 【解析】【解答】解： 方程 去分母，得x2-2x-4=0， 方程的两根为， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：B. 【分析】先把分式方程转化为一元二次方程，由根的概念和根与系数的关系得到的关系式，再把所求的代数式变形后，整体代入求解即可。 10．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（　　） A．③④ B．①③ C．①③④ D．①② 【答案】C 【解析】【解答】解：由抛物线与x轴的交点可得其交点式为：， 展开得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 若，则， ∴， 由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数值递减， ∴当时，，故③正确； 若，则抛物线为， 由点可得：， ∴， 再由可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程可化为， ∴， ∴， ∴时，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述①③④正确， 故选： C． 【分析】利用二次函数对称性的计算方法以及不等式的形式，一元二次方程根的判别式等对每个结论逐一判断求解即可。 二、填空题（共5题，共15分） 11． 不等式组的解集是 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 不等式组，由①得：x＜5，由②得：， ∴不等式组的解集为：. 故答案为：. 【分析】解不等式组，求得不等式组的解集即可。 12．某工厂接到做600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成.后因客户要求提前3天交货，工人需要提高每天的工作效率.设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： 设工人每天应多做件，则工人提高工作效率后每天做(x + 25)件，结果提前3天完成 因此 故答案为：. 【分析】本题考查的是分式方程的应用.根据等量关系：原计划所用时间-实际所用时间=3，列出方程即可. 13．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　 　名． 【答案】23 【解析】【解答】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组 ． 解得， 所以，男生有29人，女生有23人， 故答案为：23． 【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解． 14．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　(填，，，，) 卡片编号 两数的和 【答案】 【解析】【解答】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大， 故答案为：． 【分析】由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 15．如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，交于， ∵正方形， ∴四边形，四边形为矩形，， ，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， 在△AFQ和△FPT中 ∴（AAS）， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∵，， 同理：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：. 【分析】连接，过作于，交于，由线段中点的定义可得，求解，证明四点在同一个圆上，可得，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得QF=PT，AQ=FT，设，则，在Rt△AQF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，根据锐角三角函数tan∠E=可得关于TE的方程，解方程求得TE的值，同理可求得CM的值在Rt△CEM中，用勾股定理即可求解． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（8分）解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】解： 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 【解析】【分析】先求出每一个不等式的解，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再求出非负整数解即可． 17．（9分）已知x1，x2是方程 的两个根，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）解：依题意知 （2）解： （3）解：由(2)知 【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到然后分式通分，整体代入解答； （2）原式根据完全平方公式变形，然后整体代入计算； （3）根据，再根据完全平方公式变形解答即可. 18．（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2、3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 【解析】【分析】（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为，根据“3月的销售量达到576个”列出方程，再求解即可； （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，根据“ 商场4月销售这种台灯获利4800元 ”列出方程，再求解即可. 19．（9分）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． 【解析】【分析】设每个篮球的价格为元，根据“ 篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同 ”列二元一次方程组解题即可． 20．（9分）根据以下素材，探索完成任务. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送. 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元. 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m2.如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm， 22cm. 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元. 问题解决 ⑴任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率. ⑵任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长. ⑶任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价. 【答案】解：⑴设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得： 解得： (不符合题意，舍去)， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%； ⑵设剪去小正方形的边长为 x cm， 由题意得： 解得： (不符合题意，舍去)， 答：剪去小正方形的边长为3cm. ⑶设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个， 由题意得： 整理得： 解得： 为了尽可能多的减少库存，每天销售量要尽可能大， ∴m=15 ∴65-m=50， 答：下调后每个手办的售价为50元； 【解析】【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据增长率问题，即可得出方程解方程，舍去不合题意的解，即可得出答案； （2）设剪去小正方形的边长为 x cm，根据盲盒底面面积是0.016m2（160cm2），即可得出方程解方程并进行检验，舍去不合题意的解，即可得出答案； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为(65-m)元，销售量为 个，根据 下调售价使平均每天的销售利润为1500元.即可得出方程解方程取较大的m解，进一步求出65-m的值即可。 21．（10分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是AD边上的任意一点(不含端点A，D)，连接PC，过点 P 作PE⊥PC 交AB于点E. （1）在线段AD 上是否存在不同于点 P 的点Q，使得QC⊥QE?若存在，求出线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由. （2）当点 P 在AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围. 【答案】（1）解：AP+AQ=3，理由如下： 假设存在点Q，使得QE⊥QC，那么 即CD·AE=AQ(3-AQ). 由PE⊥PC，得 即CD·AE=AP(3-AP). 比较两式，得AQ(3-AQ)=AP(3-AP). 整理，得AP+AQ=3. （2）解：设AP=x，BE=y，由 得 整理，得 ∴ ∵ 点 E 在AB 上运动且AB=2 ∴ ∴BE 的取值范围： 【解析】【分析】 (1)假设存在点Q，使得QE⊥QC，利用一线三垂直模型可得 转化得到两个比例，比较两个等式即可解答； (2)设AP=x，BE=y，由 建立y关于x的二次函数，配方得到 再利用二次函数的性质以及点 E 在AB 上运动，即可得到BE 的取值范围，由此即可解答. 22．（10分）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观常性，深受观众好评。如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，. （1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米； （3）设该拋物线的表达式为，若拋射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）(10，3.5)，y=x2+x +6， （2）解：∵ MNx轴， 点的坐标为 ∴点M的纵坐标为， ∴x2+x +6=7 解得x1=10(舍)，x2=-1， ∴MN=8-（-1）=9 答：MN（线段MN）的长度至少为9米. （3）， 【解析】【解答】 解：（1）如图：过点F作FK上x抽于点K，过点E作EJIFK于点J，则易知四辺形CEJK为矩形. ∵FEC=135，FEJ =45， ∴△FEJ为等腰直角三角形. ∵ EF= m， ∴ FJ=EJ=1.4 m. ∵OC=11.4 m，CE=2. 1 m， ∴OK=11.4-1.4=10(m)，FK=2.1 +1.4=3.5(m)， ∴点F的坐标为(10，3.5). ∵AB=1 m，点A的坐标为(0，8)， ∴点B的坐标为(1，8). ∵抛物线轴交于点 ， ∴设抛物线的表达式为y=ax2+bx +6， 把B(1，8)和F(10，3.5)分別代入y=ax2+bx+6得： 解得： ∴设抛物线的表达式为y=x2+x +6， 故答案为：(10，3.5)，y=x2+x +6. (3) ∵拋射点不变 ∴ 经过F点，100a-80a+c=3.5① 当 经过A点时：c=8，代入①解得：， 当 经过B点时：a-8a+c=8② 解①②得： ∴的取值范围为， 故答案为：. 【分析】 （1）过点F作FK上x抽于点K，过点E作EJIFK于点J，则易知四辺形CEJK为矩形.结合已知条件可得△FEJ为等腰直角三角形；即可根据EF的长度求出FJ=EJ，结合OC，CE 的长可求出OK，FK的长，即可求得F的坐标，再用待定系数法把B，F的坐标代入即可求得抛物线的解析式； (2)结合MNx轴， 点的坐标为可得出点M的纵坐标为，代入到抛物线的解析式中即可解得x的值，从而可以求得MN的长度； （3）结合拋射点不变即 经过F点代入即可得到100a-80a+c=3.5①，再分别考虑抛物线过A点求得；抛物线过B点求得；即可求得a的取值范围，解答即可. 23．（11分）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】解：（1）； （2）， ∴， 解得：，； （3）互为倒数； （4），理由如下； ∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， （5），． 【解析】【解答】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【分析】 （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一轮复习方程与不等式提优检测试卷 （时间100分钟，总分120分） 一、单选题（共10题，共30分） 1．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 2．已知是实数，若，，则（　　） A． B． C． D． 3．某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是（　　） A． B． C． D． 4．若用配方法解方程x2+8x+7=0，则下列配方正确的是（　　） A．（x-4）2=9 B．（x+4）2=9 C．（x-8） 2=9 D．（x+8） 2=9 5． 若关于x的方程x2+（m+1）x+m2=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．-1 B．1或-1 C．1 D．2 6．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数 的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（　　） A．若，则点A在点B，C之间 B．若，则点A在点B，C之间 C．若，则点C在点A，B之间 D．若，则点C在点A，B之间 9．设方程的两根为，则的值为（　　） A．-10 B．22 C．24 D．30 10．（中考新考法*函数与方程）抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（　　） A．③④ B．①③ C．①③④ D．①② 二、填空题（共5题，共15分） 11． 不等式组的解集是 　 　． 12．某工厂接到做600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成.后因客户要求提前3天交货，工人需要提高每天的工作效率.设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是　 　. 13．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　 　名． 14．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　(填，，，，) 卡片编号 两数的和 15．（中考新考法*几何与方程）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为　 　． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（8分）解不等式组并写出它的非负整数解． 17．（9分）已知x1，x2是方程 的两个根，求下列各式的值： （1） （2） （3） 18．（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2、3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 19．（9分）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 20．（9分）根据以下素材，探索完成任务. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送. 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元. 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是0.016m2.如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm， 22cm. 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元. 问题解决 ⑴任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率. ⑵任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长. ⑶任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价. 21．（10分）（中考新考法*几何与方程）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 45．如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是AD边上的任意一点(不含端点A，D)，连接PC，过点 P 作PE⊥PC 交AB于点E. （1）在线段AD 上是否存在不同于点 P 的点Q，使得QC⊥QE?若存在，求出线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由. （2）当点 P 在AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围. 22．（10分）（中考新考法*函数与方程）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观常性，深受观众好评。如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，. （1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米； （3）设该拋物线的表达式为，若拋射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围． 23．（11分）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 学科网（北京）股份有限公司 $