第03讲 二次函数的图象与性质（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数专题，覆盖图象性质、与方程不等式关系、实际应用等核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、分层练习等环节，帮助学生系统梳理知识联系，突破平移、最值、系数关系等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“命题点分类+题型预测”教学策略，如通过顶点式与一般式性质对比、平移口诀应用等方法培养数学思维，设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”三级练习，配合真题精讲和重难突破，助力学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第03讲 二次函数的图象与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 二次函数的图象与性质 题型01顶点式的图象与性质 题型02一般形式的图象与性质 题型03 比较函数值的大小 题型04 二次函数的最值问题 题型05 二次函数的平移问题 题型06 待定系数法求二次函数解析式 题型07 各项系数与图象的关系 题型08 多种函数图象综合判读 命题点二 二次函数与方程不等式的关系 题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 题型02 二次函数与不等式解集问题 命题点三 二次函数的实际应用 题型01 利润问题 题型02 构建抛物线模型解决实际问题 题型03 图形问题 05·重难突破·思维进阶难 58 突破一 图形运动与函数图象问题 突破二 二次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 70 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的图象与性质 安徽卷 T9、T23 安徽卷 T23 安徽卷 T5、T9、T23 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 4.理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程不等式的关系 安徽卷 T9 / 安徽卷 T9 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数的实际应用 / / / 能用二次函数解决实际问题 命题预测 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，也是安徽省中考中的重要的考点，几乎年年都会考查，总分值为20分左右.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 考点一 二次函数的图象与性质 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征： （1）函数关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： （1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； （3）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； （4）列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 5.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 6.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 7.二次函数的对称性问题 若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. （1）抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； （2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； （3）二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 8.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 9.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2) ； ， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 2．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 3．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 考点二 二次函数与方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 2．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选B． 3．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 考点三 二次函数的实际应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： 审：仔细审题，理清题意； 设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 6.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 命题点一 二次函数的图象与性质 ►题型01顶点式的图象与性质 1.顶点坐标（h,k）,对称轴：直线x＝h； 2.a＞0时，顶点纵坐标处为函数最小值；a＜0时，顶点纵坐标为函数最大值； 3.a＞0时，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大；a＜0时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小； 【典例】（2025·安徽马鞍山·三模）设a，b，c均为实数，且，下列判断正确的是（   ） A．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小 B．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大 C．若b为一个负值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 D．若b为一个正值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质．将原式整理成，可看成c是关于a的一次函数，或二次函数，根据二次函数的性质或一次函数的性质即可解答． 【详解】解： ， 若a为一个定值，且时，则，不变，故选项A和B都不符合题意； 若b为一个负值，则c是关于a的二次函数，且开口向下，当时，c的值一定随着a的值增大而增大，故选项C符合题意； 若b为一个正值，则c是关于a的二次函数，且开口向上，当时，c的值一定随着a的值增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·安徽亳州·二模）对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． ►题型02一般形式的图象与性质 1.顶点坐标：(，) 2.对称轴：直线x= 3.a>0时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大 4.a<0时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值；在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小 【典例】（2025·福建漳州·模拟预测）二次函数的最小值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（  ） A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质，求得从对称性对称轴为直线，求得图象过，得到关于对称轴的对称点为，判断不在抛物线上，再判断若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值为， ∴， ∵，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴图象过， ∴关于对称轴的对称点为， ∴在点的右侧， ∴不在抛物线上， ∵对称轴为直线， ∴，关于对称， ∴若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上， A、若不在，则对称点也不在，加上，导致三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； B、若和均不在该二次函数图象上，加上，共三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； C、若不在，则．此时在图象上，由对称性对应，得，即．同时和在图象上，满足对称性，可能成立，本选项符合题意； D、若和均不在该二次函数图象上，加上，共三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； 综上，只有选项C可能成立． 故选：C． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 把代入得到，，，列式子逐一判断即可． 【详解】解：∵过点， ∴， ∴，，， ∴，故A错误； ∵， ∴， 解得：，故B错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确； 故选：D． 【变式2】 （2025·安徽·一模）已知抛物线（m为常数）与轴交于点． （1）若抛物线的对称轴在轴右侧，则的取值范围是 ． （2）点在抛物线上，若，且对于抛物线上的一点，当时，均有，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再根据对称轴在y轴右侧建立不等式求解即可； （2）根据得到；根据当时，均有，可知点D在对称轴上或在对称轴右侧，据此可得，解两个不等式即可得到答案． 【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵在抛物线上，且， ∴， ∴， ， 又对于抛物线上的一点，当 时，均有， ∴， ， 故答案为：． ►题型03 比较函数值的大小 主要根据二次函数的增减性进行判读；也可以根据对称性来判断，开口向上时，距离对称轴越近的点所对应的函数值越小；开口向下时，距离对称轴越近的点所对应的函数值越大； 【典例】（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小． 【详解】因为 ， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）已知点，和都在抛物线（是常数，且）上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象与性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． ►题型04 二次函数的最值问题 将函数化成顶点式，看对称轴是否在自变量的取值范围内，若不在取值范围内，则利用二次函数的对称性来确定最大值或最小值。 【典例】（2025·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，，是的中点，平分且交于点，若，则四边形周长的最大值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】先证明和为直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出且，然后利用勾股定理，四边形的周长，得到二次函数，配方后求出最大值即可． 【详解】解：，， 和为直角三角形， 是的中点， ， 平分， 且点为的中点， 且， 设，， 则， ， ， ， ， 四边形的周长为 ， 当时，四边形的周长有最大值，最大值为5． 故选：B． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当四边形为平行四边形时， D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 【答案】D 【分析】本题考查了本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到A正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出C正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断D不正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故A正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故B正确； 令，则， ， 根据顶点坐标公式， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故C正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故D不正确； 故选：D． 【变式2】（2025·安徽·一模）若二次函数经过点则的最小值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质以及利用配方法求最值，解题的关键是根据函数过的点得到与的关系，再通过变形求的最值． 先将点代入二次函数得到与的关系式，再将用表示代入，最后通过配方法求最值． 【详解】将代入函数可得： ，即， 移项可得， 把代入，得到 ， 因为（任何数的平方都大于等于0）， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：A． ►题型05 二次函数的平移问题 1.抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 2. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 【典例】（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值． 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 【变式1】（2025·安徽滁州·二模）抛物线（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把抛物线Q的解析式解析式化为顶点式得到点C的坐标，进而可确定抛物线H的解析式，根据平移方式得到点D的坐标，进而得到点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线Q的解析式为 ， ∴抛物线Q的顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点C在抛物线上， ∴抛物线H的解析式为， ∵将抛物线Q向右平移个单位，所得抛物线的顶点为D， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∵点D在抛物线H上，且点D和点Q的纵坐标相同， ∴点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，即关于直线对称， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线上有三点，其中 ，有下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③当时，的值随值的增大而增大；④此抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后用函数的性质逐项判断即可．本题考查抛物线与轴交点、平移的性质和二次函数的性质，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数， 二次函数图象与轴的交点坐标为，， ， ，， ， 故①不正确，不符合题意； ， 抛物线的顶点坐标为，当，的值随值的增大而增大， 故②不正确，③正确； 将抛物线向上平移5个单位，所得抛物线解析式为， 当时，则， 解得：或 平移后的抛物线与坐标轴有2个交点， 故④正确． 故选：C． ►题型06 待定系数法求二次函数解析式 求二次函数解析式的一般方法： （1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. （2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. （3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 【典例】（2025·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，轴，轴，且点A的坐标为，点C的坐标为．若抛物线的顶点坐标为，且经过正方形的顶点D． （1）二次函数的表达式为 ． （2）将抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图像M．若直线（）与图象M有唯一交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）由正方形的性质结合点A的坐标为，点C的坐标为可得，设抛物线表达式为，从而可得答案； （2）设抛物线与正方形边长的另一个交点为E，如图，可得点，结合直线过定点，当时，，可得直线（）与必有两个交点，结合直线（）与图象M有唯一交点，再分析即可． 【详解】解：（1）如图，∵点A的坐标为，点C的坐标为，正方形， ∴点， ∴设抛物线表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线表达式为． 故答案为： （2）设抛物线与正方形边长的另一个交点为E，如图， 当时， 解得，， ∴点． ∵直线， ∴直线过定点． 当时，， ∴直线（）与必有两个交点． ∵直线（）与图象M有唯一交点， ∴当时，抛物线过点， ，即， 解得． 当时，抛物线过点， ，即， 解得， 综上所述，或． 【变式1】（2025·安徽阜阳·三模）已知，，，，若抛物线与轴有两个交点，则此抛物线可能经过（   ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线与轴交点个数的判断；选项A、B、D分别将可能经过的两点代入解析式，求出、的值，再由二次函数的定义及进行判断，即可求解; 选项C.由得直线轴，即可判断；能熟练利用判断抛物线与轴交点个数是解题的关键． 【详解】解：A. 点和点， ，解得，，矛盾，故不符合题意； B.同理可求，，抛物线与轴有两个交点，故符合题意； C.，直线轴，抛物线不可能同时经过点和点，故不符合题意； D.同理可求，，抛物线与轴没交点，故不符合题意； 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． ►题型07 各项系数与图象的关系 1.二次项系数决定了开口方向和大小； 2.系数a和系数b共同决定了对称轴的位置，对称轴在y轴左侧，a、b同号，对称轴在y轴右侧，a、b异号。 3.常数c反映了抛物线与y轴的交点位置，c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＝0，抛物交于坐标原点；c＜0，抛物线与y轴交于负半轴； 【典例】（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键，关键二次函数图像性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图像可知：， 对称轴， ， 而二次函数图像与y轴交点在y轴正半轴， ， ，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴可得， ， 故B选项错误，符合题意； C、当时，， 故C选项正确，不符合题意； D、当时，有最大值， 当时，， ， ， 故D选项正确，不符合题意． 【变式1】（2025·安徽·二模）如图，抛物线与轴的一个交点为，另一个交点在和之间，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据图象可知，由此可判断A选项；由抛物线与轴有两个交点得，由此可判断B选项；由抛物线与轴另一个交点在之间，可得，即，可得，所以，由此可判断D选项；由抛物线与轴的一个交点为，所以，又，所以，由此可判断C选项． 【详解】由图可知，， ，故选项A错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故选项B错误； 抛物线与轴另一个交点在之间，可得， 即，可得， ，故选项D错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， ， ，故选项C正确； 故选：C． 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案． 【详解】解：由抛物线开口向下，可得； 由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定； 由抛物线与轴交点在正半轴上，可得； 综上可得，故①错误； 二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线， 二次函数图象与轴另一个交点为， 则当时，，故②正确； 由可得，则， 又抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，为， 则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确； 由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过， 关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标， 当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确； 综上所述，结论中正确的是②③④，共3个， 故选：C． ►题型08 多种函数图象综合判读 先跟据一个函数图象确定系数的符号，再根据已经确定的系数的符号看另一个图象是否矛盾，若不矛盾则满足题意，也可以通过函数经过的特殊点来判断。 【典例】（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数 ，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合；故选：B. 命题点二 二次函数与方程不等式的关系 ►题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 1.抛物线与坐标轴有两个交点时，则y＝0时的一元二次方程判别式大于零； 2.抛物线与坐标轴有一个交点时，则y＝0时的一元二次方程判别式等于零； 3.抛物线与坐标轴没有交点时，则y＝0时的一元二次方程判别式小于零； 【典例】（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是（   ） A．关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根 B． C．若点，，在该函数图象上，则 D．将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在和之间（不包含和），据此可判断A；根据题意可得时，，时，，据此建立不等式组求解即可判断B；开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到对称轴的距离的大小关系即可判断C；根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可判断D． 【详解】解 ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间（不包含和）， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故选项A正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 解得，故选项B确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离最大，点至到对称轴的距离最小， ，故选项C正确； 将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，抛物线的解析式为，即，故选项D错误． 故选：D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式变形为即可得出该抛物线恒过点，即点，即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；当时，，即点，再根据抛物线对称轴公式计算即可判断C；当时，此时，代入抛物线解析式计算即可判断D；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线恒过点，即点，故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若，则对称轴为轴；若，则对称轴在轴右侧，故B正确，不符合题意； 当时，，故抛物线与轴的交点为， ∴， 当时，，即点， 又∵该抛物线恒过点， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当时，此时， 将点代入抛物线的解析式中得， 解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． ►题型02 二次函数与不等式解集问题 【典例】（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形求值，利用二次函数图象解不等式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由得到，则，再由得到，再结合二次函数的图象解不等式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴求出，即可判断①；求出，得到面积，即可判断②；当时，解得，由图像可知，不等式的解集为，即可判断③；根轴对称的性质结合图形即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 代入对称轴公式，得，①正确； ∴抛物线为 把代入，得， ∴抛物线为， ∴顶点， 令，得，解得， ∴ ， ∴面积为， 故②正确； 对于③，不等式，即， 当时， 解得， 由图像可知，不等式的解集为； 故③错误； 对于④，可连接交对称轴于P，则此P点为所求的， 设解析式为，由、， 则 解得 ， 当时，， ， 故④错误． 综上，正确的有①②共2个， 故选B． 【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，观察表格得出信息是解题的关键． 先根据函数值相等的自变量值求对称轴，再根据时，确定抛物线的开口方向，根据表格可知当，，可得，进而根据对称轴可知b，即可判断①；然后根据表格可知当时，，再根据抛物线的对称性可知，可知另一个根是，判断②；求出，即可判断③；根据开口向上，对称轴为直线即可判断④；根据当时，，求出a的取值范围，然后表示m，n，可得的范围，即可判断⑤． 【详解】解：观察表格可知当和时，， ∴对称轴为直线． ∵当时，，，， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴抛物线的开口方向向上， ∴． 当，，可得． ∵对称轴为直线， ∴， ∴．故①正确； 当时，． 设另一个根是m，则， 解得， ∴和3是关于x的方程两个根．故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且当和时，， ∴当时，，故④正确； ∵当时，， ∴， 解得． 当时，，当时，， ∴， ∴， 即，故⑤错误． ∴正确的有4个， 故选：D． 命题点三 二次函数的实际应用 ►题型01 利润问题 巧设未知数，先用未知数表示出一件商品的利润和未知数表示出销售量，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题 【典例】（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 【变式1】（2025·安徽安庆·二模）某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列一次函数式与二次函数式，找到等量关系是解题的关键； （1）由题意知，设，当时，；当时，；代入解方程组即可求解； （2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式． 【详解】（1）解：设，由题意知当时，；当时，； 则，解得：， ∴； （2）解：由题意得：， 整理得：． 【变式2】（2025·安徽淮南·三模）太子山旅游景区每天对游客开放，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数（人）与开放时间之间满足： 若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为（人）． (1)求关于的函数关系式； (2)求等待观光车的游客最多时有多少人． (3)若要在内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少增加几趟观光车？ 【答案】(1) (2)620人 (3)4趟 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键。 （1）用乘坐观光车总人数减去已经乘坐的人数即可得到等待的人数； （2）根据（1）所求结合二次函数和一次函数的性质分别求出，时p的最大值即可得到答案； （3）先求出内的游客总人数，设每小时需要增加趟观光车，根据乘坐的游客数不小于内的游客总人数建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：当时，， ∵， ∴当时，有最大值620． 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴， ∴等待坐观光车的游客最多时有620人． 综上所述，等待观光车的游客最多时有620人； （3）解：当时，． 设每小时需要增加趟观光车，则， 解得． ∵为整数， ∴至少为4． 答：从一开始每小时至少增加4趟观光车． ►题型02 构建抛物线模型解决实际问题 先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题 【典例】（2025·安徽·一模）在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ (3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 【答案】(1) (2)1米 (3)1.24米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）设该抛物线表达式为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入可得，解方程得出，，由此即可得解； （3）分三种情况，分别画出四个正方形“脚手架”不同的摆放方式，分别求解并比较即可． 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为． 将代入，得， 解得， ∴． （2）解：把代入可得：， 解得，， ∴，， ∴（米）， ∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米． 【变式1】（2025·安徽六安·二模）周末，玲玲与姐姐完成作业后去羽毛球馆进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．以姐姐所站的位置作为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从姐姐站立点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球距离地面的高度单位：与水平距离单位：之间近似满足函数关系， (1)姐姐在一次发球时，发现羽毛球的发球点距离地面的距离，当羽毛球距离发球点的水平距离为时羽毛球距离地面最高，为，根据上述数据解答下列问题： ①求姐姐在这一次发球时羽毛球与地面的高度单位：与水平距离单位：的函数关系式； ②在距离发球点水平距离处，放置一个高的球网，求羽毛球在发出后与的竖直距离的最大值； (2)姐姐再次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，玲玲在两次接球的过程中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，若玲玲第一次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为，第二次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为高度，计算的值． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①依据题意，可得顶点坐标为，从而可设抛物线为，又抛物线过，则，可得，进而可以得解；②依据题意，，又，则直线为，又设抛物线上点P为，则羽毛球在发出后与的竖直距离为：，进而可以判断得解； （2）依据题意，把分别代入（1）解析式和，求出和即可． 【详解】（1）解：①由题意，顶点坐标为， 可设抛物线为， 又抛物线过， ， ， 抛物线的函数关系式为； ②由题意，， 又， 直线为， 设抛物线上点P为， 羽毛球在发出后与的竖直距离为： ， ∵， ∴当时，与的竖直距离取得最大值3.61， 羽毛球在发出后与的竖直距离的最大值为 （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? (3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 【答案】(1) (2) (3)①0.8；② 【分析】（1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为，再将B、D两点的坐标代入，求出抛物线的表达式； （2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解； （3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴； ②设与的关系式为，将测量数据的三对值代入与的关系式中，得到关于待定系数的方程组求解，求出与的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，． ∴设抛物线的表达式为． 解得： 最外层水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为， 这个喷灌系统最多可灌溉的面积为． 答：这个喷灌系统最多可灌溉的土地． （3）①∵点，关于与所成的二次函数的图象的对称轴对称， 该二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． ②设与的关系式为，把，，代入，得 解得 与的关系式为． 当时，． 最大距离为． ►题型03 图形问题 先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题 【典例】（2025·湖北·二模）如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； (2)矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，； (2)能，18； (3)当时，有最大值，的最大值是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将代入函数中，求出的值，结合题意解答即可； （3）先求出的取值范围，将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故，． （2）解：令，则， 解得：， ， 当时，，不合题意，舍去， ， ． （3）解：， 由得， 由得， ， 在中，随的增大而减小， 当时，有最大值， ，即的最大值是， 答：当时，有最大值，的最大值是． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 ； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 ． 【答案】 30或10 【分析】本题考查二次函数的实际应用，实际问题往往是有限制条件的，列出的表达式需考虑自变量的取值范围，运用函数性质解题时更要注意这点． （1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围； （2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题； 【详解】解：（1）当时，另三边总长40米， 设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∴； ∴当时，有最大值，最大值． （2）当最大值时，即， ∴， 解得：， ∵， ∴或． 故答案为：200；30或10． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当9米材料恰好用完时，分别求与的长； (3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)的长为6米，的长为3米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的函数表达式为，把点A或点B的坐标代入解析式，确定解析式即可； （2）由点在抛物线上，不妨设点的坐标为，继而得到，．根据题意得，构造方程 ，求解即可； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个 【详解】（1）解：所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）解：由点在抛物线上， 不妨设点的坐标为， ，交轴于点， ， ． 在中，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为6米，的长为3米． （3）解：如图矩形灯带为， 根据题意，得，，， 设直线和的表达式分别为：， 故， 解得， 故直线和的表达式分别为：， 设点， 则矩形周长， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为， 故矩形周长的最大值为米． 突破一 图形运动与函数图象问题 【典例】（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A．B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点的位置分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边上；②点P在边上；③点P在边上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断． 【详解】解：矩形， ，，， ①当时，点P在边上， ， ，， ，即， ， ； ②当时，点P在边上，点与点重合， ， ； ③当时，点P在边上， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ； ， S与t的函数图像大致为 故选：D． 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题是动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，注意分类讨论；求出点与点重合时；分与两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出，利用面积三角形公式即可求解，从而确定函数图象． 【详解】解：由题意，得． 当点与点重合时，， ∴， 此时． 当时，， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向下； 当时，如图，    ， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向上， 故选D． 突破二 二次函数与几何综合 【典例】（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，， 证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为． （3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得：， 则二次函数解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 则直线的解析式为， 过点P作轴交于点，过点A作轴交于点， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 令，则， 解得：或， 若时，总满足， 则或， ∴或． 【变式1】（2025·安徽·三模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)的最大值的， (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，解方程组后求出和的值，进而得到抛物线表达式和点的坐标； （2）确定直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于点点横坐标的函数表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，设出点坐标，通过相似三角形等知识结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为，点的坐标为； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交轴于点，设， 则点的横坐标为． 设直线的解析式为，过点，， ∴，，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，且点的横坐标为， ∴将代入，得：， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴开口朝下且， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∵原抛物线为：， ∴向左平移个单位后为：， 当时，得：， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在的上方时， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（不合题意舍去）或， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【变式2】（2025·安徽安庆·二模）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且． (1)求的值； (2)若是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作轴于点，与轴交于点． 连接，，当时，求的面积； 判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何图形结合的综合运用等知识点．利用点的坐标的意义表示线段的长度、从而求出线段之间的关系成为解题的关键． （1）当时，，即，再结合得到即可解答； （2）①点A、的坐标分别为：、，即，再根据可得直线的表达式为：，易得；再联立求得，再根据的面积求解即可； 设点，则，由点A、的坐标得，直线的表达式为：，则点，则即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，，解得：或5， ∴点A、的坐标分别为：、，即， 当时， ∴直线的表达式为：， 当时，，即， 联立可得：， 解得：舍去或，即点， 则的面积． ②，理由如下： 设点，则， 由点A、的坐标运用待定系数法可得：直线的表达式为：，则点，则， ∴． 1．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上结果都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大． 根据时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是y轴，离对称轴越远函数值越大． ∵， ∴． 故选C． 2．（2025·安徽滁州·三模）已知反比例函数与二次函数的图象有一个交点的横坐标为3，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数交点问题，将交点的横坐标代入二次函数求出对应的值，再将交点坐标代入反比例函数即可求出的值． 【详解】解：将代入二次函数，得：， ∴交点为． 将交点坐标代入反比例函数，得：， 解得， 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A．②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线可知抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧可得，，进而判定①；由抛物线过可得，进而判定②；由③可得，再根据函数图象可得，即，再将代入整理即可判定③；由题意易得，，然后整理变形即可判定④． 【详解】解：∵二次函数的抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴，即①错误； ∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，点， ∴，则，即②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴， ∴，则，即③正确； ∵点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：D． 4．（2025·安徽安庆·三模）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线可得对称轴为直线，由，则有点， （）当时，，故有点，求出直线的解析式为， 作轴于点，交于点，由，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点， 故答案为：； （）当时，， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，    ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 1．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 2．（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（   ） A． B．， C． ， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、轴对称性质，由两抛物线关于轴对称，可知两抛物线的对称轴相同，与轴交点关于轴对称，由此可得二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数，由此可得关于m、的方程组，解方程组即可得． 【详解】解：根据两抛物线关于轴对称，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数， ∴ 解得：， 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 4．（2025·安徽黄山·二模）若函数的图象与二次函数（为常数）的图象有两个交点，且交点的横坐标均满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，方程与函数的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题关键．联立一次函数与二次函数，根据一元二次方程根的判别式，求得，由题意可知，当时，，求得，即可得到的取值范围． 【详解】解：联立， 整理得：， 时，方程有两个不相等的解，函数图象有两个交点， ， 解得：， 当时，， 交点的横坐标均满足， 当时，，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 5．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是 ． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ． 【答案】 和 且 【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解． （2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可． 【详解】解：（1）函数中，令， 则， 解得：或， 经检验或都是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和， 故答案为：是和． （2）在中，令， 则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 6．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【答案】 3 【分析】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值． ①根据题意得出且，求解即可． ②根据题意得出当时，，当时，，求解即可． 【详解】解：∵为二次函数， ∴， ∴， 解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则， ∴． 故答案为：． ②根据①知， ∴当时，， 当时，， ∵当时，满足， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：3． 7．（2025·安徽合肥·二模）二次函数中存在一些特殊的几何现象： （1）如图，已知抛物线与直线，分别交于点，和，，且其对称轴交直线于点，连接，，则 ； （2）如图，若将抛物线推广为一般式，已知其经过点，且与直线，分别相交于点，，，，且其对称轴交直线于点，连接，，已知，且，则该二次函数表达式 ． 【答案】 【分析】过点作交于，推导出是等腰直角三角形，则，再由，即可求的值； 由题可知是等腰三角形，则，过点作交于点，推导出，则抛物线的对称轴为直线，得到，再求出，将点、代入，即可求出． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 当时，， 解得或， ， 与间的距离为1， 故, 当时，， 解得或， ，， 故， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； ，， 是等腰三角形， ， ， 过点作交于点， ， ，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ， 将点、代入， ， 解得， ， 故答案为：． 8．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)1，1 (2) (3)或 【分析】（1）将和分别代入直线表达式中可求得k和n值，再根据抛物线的对称轴公式求解b值即可； （2）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，进而得到，再结合得出，则，最后根据二次函数的性质求最值即可； （3）联立方程组可得，然后分两种情况，分别结合方程根取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得， ∴直线方程为， 把代入得：解得，即交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵抛物线与x轴交于，， ∴对称轴为， ∴，即， ∵， ∴，即，解得：． ∵ ∴对称轴为，， ∴当时，h的最大值为． （3）解：联立直线和抛物线，可得，即， 令，对称轴为直线， 当时，二次函数g的图象与x轴有且只有一个公共点，分两种情况： ①当二次函数g的图象的顶点在x轴上时满足条件，此时，解得； ②当时，， 当时，， 根据图象可知，当时满足条件，解得：， 综上，c的取值范围是或． 9．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】(1) (2)的最小值为1 (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 （3）解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 1．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，由题意得，， 作于点， ∵， ∴， ∴，是二次函数； 当点P在上运动时，由题意得， ∴，是一次函数； 故选：D． 3．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 4．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 5．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 第03讲 二次函数的图象与性质 目 录 01考情剖析命题前瞻… 02知识导航~网络构建… ●●●●●●●●●●●● 3 03考点解析•知识通关 4 04•命题洞悉·题型预测 21 题型01顶点式的图象与性质 题型02一般形式的图象与性质 题型03比较函数值的大小 题型04二次函数的最值问题 命题点一二次函数的图象与性质 题型05二次函数的平移问题 题型06待定系数法求二次函数解析式 题型07各项系数与图象的关系 题型08多种函数图象综合判读 题型01抛物线与坐标轴的交点问题 命题点二二次函数与方程不等式的关系 题型02二次函数与不等式解集问题 题型01利润问题 命题点三二次函数的实际应用 题型02构建抛物线模型解决实际问题 题型03图形问题 05重难突破思维进阶难… 58 突破一图形运动与函数图象问题 突破二二次函数与几何综合 06●优题精选练能提分70 基础巩固一能力提升→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 1/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数 的意义， 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二 二次函数 次函数的性质，知道二次函数系数与图象 安徽卷 安徽卷T5、 的图象与 安徽卷T23 T9、T23 T9、T23 形状和对称轴的关系。 性质 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能 确定相应自变量的值，能解决相应的实际 问题， 4.理解二次函数与各项系数的关系。 二次函数 与方程不 知道二次函数和一元二次方程之间的关系， 安徽卷T9 安徽卷T9 会利用二次函数的图象求一元二次方程的 等式的关 近似解 系 二次函数 的实际应 能用二次函数解决实际问题 用 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，也是安徽省中考中 的重要的考点，几乎年年都会考查，总分值为20分左右.而对于二次函数图象和性质的考 命题预测 察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上 点的坐标特征等几大方面题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题 型，认真对待该考点的复习 2/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -02- 知识导航·网络构建 概念 般形式 二次函数的解析式 顶点式 交点式 开口 对称轴左侧递减 向上 对称轴右侧递增 增减性 :次函数的图象与性质 开口 对称轴左侧递增 向下 对称轴右侧递减 开和 距离对称轴越远函数值越大 向上 距离对称轴越近函数值越小 对称性 开口 距离对称轴越远函数值越小 向下 距离对称轴越近函数值越大 开口向上 顶点处取最小值 最值 开口向下 顶点处取最大值 二次函数 次函数与方 △>0抛物线与x轴有两个交点 与一元二次方程 △=0抛物线与x轴有一个交点 不等式的 △<0抛物线与x轴有无交点 系 增长率问题 利润问题 投球问题 二次函数的实际应用 构建二次函数模型解决实际问题 喷泉问题 桥梁问题 二次函数与几何综合 3/32 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -03 考点解析·知识通关 考点一二次函数的图象与性质 知识·核心梳理 L.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x 是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征： (1)函数关系式是整式： (2)自变量的最高次数是2； (3)二次项系数a≠0，而b,c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： (1)先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； (3)然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； (4)列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用 般式求其表达式。 顶点式 y=a(x-h)2+k(a,h,k为常 当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常 数，a≠0)，顶点坐标是(h,k) 用顶点式求其表达式 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 其中X1,X是二次函数与x轴的交点的横坐标，若 题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式 求其表达式 相互联系 1)以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法， 5.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对 4/32 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点， 基本形式 y=ax? y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c a>0 图 象 lh<0,k>0 a<0 >0,k<0 d 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x-品 顶点坐标 (0,0) (0,k) h,0) (h,k) a>0 开口向上，顶点是最低点， 此时y有最小值； 最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值 值 二次函数最小值（或最大值）为0(k或如). 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小 6.二次函数的图象变换 (1)二次函数的平移变换 平移方式(n>0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 5/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k a变号，h、k均不变 y=a(x-h)2+k 绕原点旋转180° y=-a(x+h)2-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y=-a(x-h)2-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y=a(x+h)2+k a、h不变，h变号 7.二次函数的对称性问题 若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1,y),(x2,y),则抛物线的对称轴可表示为直线 X+名 2 (1)抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与X品云的差的绝对值相等： (2》若二次函数与×轴有两个交点，则这两个交点关于直线x品对称： (3)二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c 的图象于x轴对称。 8.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 当x会时，二次函数取 a>0 得最小值品 全体实数 当x=品时，二次函数取 a<0 符最大值站 当x=x2时，二次函数取 当x=时，二次函数取 得最大值y2 0 得最小值如品 X2 6/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=x1时，二次函数取 当x=品时，二次函数取 得最大值y1 得最小值“。 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取当x=x1时，二次函数取 得最大值y2 得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 9.二次函数y=ax十bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开 口的大小(a越大，抛物线的开口小). a<0 开口向下 b=0 坐标轴是y轴 0 ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0(a,b异号)) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 l0.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 x轴的上方 4a-2b+c>0 4a-2b+c x轴上 4a-2b+c=0 x轴的下方 4a-2b+c<0 x轴的上方 a-b+c >0 7/32 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x轴上 a-b+c =0 a-b+c x轴的下方 a-b+c <0 x轴的上方 a+b+c >0 a+b+c x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 x轴的上方 4a+2b+c>0 2 4a+2b+c x轴上 4a+2b+c=0 x轴的下方 4a+2b+c<0 真题·实战精练 1.(2025安微.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴； (2)点A(1y1)和B(X2y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上(A,B与原点都不重合). ①若a=3,且x1=x2,比较y1与y2的大小； ②当号-受时，若警是一个与刘无关的定值，求a与b的值， 2.(2024安微.中考真题)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横 坐标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+ty1+h)在抛物线y=-x2+bx上. (i)若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； (i)若x1=t-1,求h的最大值. 3.(2023·安微.中考真题)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,3), 对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值； (2)己知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1,过点B作x轴的垂线交直线0A于点D,过 点C作x轴的垂线交直线OA于点E, (i)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和； ()在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为，？若存在，请求出点B 的横坐标t的值；若不存在，请说明理由。 8/32 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点二 二次函数与方程、不等式的关系 知识·核心梳理 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)，当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0).一元二次方程 的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程 根的情况。 与x轴交点个数 -元二次方程ax2+bx+c=0的 判别式△=b2 根 Aac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系： b2-4ac b2.4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 Ox(x2) 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2+bx+c>0 x<x1或X>x2 x-品 取任意实数 的解集情况 ax2+bx+c<0 x1<x<x2 无解 无解 的解集情况 真题·实战精练 1.(2025·安微.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则() 9/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 2.(2025福建中考真题)已知二次函数y=-2(x-k)(x-k-6)的图像与其向下平移m个单位长度所得的图 像都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（) A.18 B.16 C.20 D.24 3.(2025四川德阳.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)过点(1,0).(m,0),且2< m<3,该抛物线与直线y=kx+c(k,c是常数，k≠0)相交于A(&y1),B(x2y2)两点（点A在点B左 侧).下列说法：①bc<0,②3a+b>0:③点A是点A关于直线x=品的对称点，则3<AA<4:④当x=4 时，不等式x2+(b-k)x<0的解集为0<x<4.其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 考点三 二次函数的实际应用 知识·核心梳理 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： 审：仔细审题，理清题意； 设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数； 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式： 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最 值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知 点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最 后利用函数的最值解决面积最值问题。 5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结 合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的 10/32