第02讲 一次函数的图象与性质（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的图象与性质”核心考点，涵盖定义、图象特征、增减性、平移、与方程（组）不等式关系及实际应用、几何综合，构建“考情-知识-考点-题型-重难-练习”系统架构，通过考点梳理、方法归纳、真题训练突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于分层练习设计与核心素养融合，如“已知函数经过象限求参数”题型结合几何直观分析k、b符号，“一次函数实际应用”通过行程问题培养模型意识。设三级练习配合真题限时训练，助力学生提升解题能力，教师可依此精准把控复习节奏。

第三章 函数 第02讲 一次函数的图象与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 17 命题点一 一次函数的图象与性质 题型01正比例函数的图象与性质 题型02判断一次函数的图象 题型03 已知一次函数经过的象限求参数 题型04 一次函数的图象平移问题 题型05 一次函数的增减性 命题点二 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 一次函数与一元一次不等式 题型02 一次函数与二元一次方程组 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一 一次函数的实际应用 突破二 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 40 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图象与性质 安徽卷 T7 安徽卷 T6 安徽卷 T5 （1）解正比例函数； （2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式 （3）y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. （4）会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 一次函数与方程（组）、不等式 安徽卷 T7 / / 体会一次函数与二元一次方程的关系 命题预测 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数图象的性质、一次函数图象与几何图形以及一次函数与反比例函数结合等三个方面，总分值为4-12分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 考点一 一次函数的图象与性质 1.正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 2.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 3.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 4.一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 5.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) （1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． （2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． （3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 6.两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： （1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； （2）当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； （3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； （4）当k1k2=-1时，两直线垂直； （5）当k1≠k2时，两直线相交. 7.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： （1）依据题意中等量关系直接列出解析式； （2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出k，b的值； ④将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 8.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 ①正比例函数是特殊的一次函数． ②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． ③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． ④一次函数与正比例函数有着共同的性质： 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 2．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 4．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 考点二 一次函数与方程（组）、不等式 1.一次函数与一元一次方程 由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. （1）从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 （2）从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. （1）从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； （2）从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 3.一次函数与一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. （1）从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； （2）从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 5．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 6．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 命题点一 一次函数的图象与性质 ►题型01 正比例函数的图象与性质 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 【典例】（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ，故A选项错误，C选项正确； 不能判断，故B、D选项错误； 故选C． 【变式1】（2025·安徽芜湖·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确； B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误； C：经过二，四象限，故C错误； D：把代入可得：，解得：或，故D错误； 故选：A． 【变式2】（2025·山西长治·模拟预测）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：因为正比例函数的比例系数是， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以． 故选：B． ►题型02判断一次函数的图象 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 【典例】（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征．掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把代入各选项函数解析式判断即可． 【详解】解：A、当时 ， ，所以函数的图象不经过点，故此选项符合题意； B、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； C、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； D、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点的坐标代入解析式得到，再讨论k的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，即， ∴， 当时，一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）如果，且，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据，且，得出，，再结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴m与n异号，m与同号；或，． 又∵， ∴，， ∴经过第一、二、四象限或经过第二、四象限，即不经过第三象限， 故选：C． ►题型03 已知一次函数经过的象限求参数 【典例】（2025·安徽·模拟预测）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各个图象的位置判断m、n的正负，比较即可． 本题考查一次函数的性质，本题属于基础题型，解题的关键是根据函数图像正确确定系数m与n的正负． 【详解】当时，，， 直线和的交点横坐标为． A．直线反映，，直线反映，，故本选项正确； B．直线反映，，直线反映，，故本选项不正确； C．直线反映，，直线反映，，故本选项错误； D．两条直线交点的横坐标不是，故本选项错误． 故选A． 【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知直线经过第一象限，则下列各点中一定在直线上方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出直线经过第一、三、四象限，进而可得第二象限的点一定在直线上方，即可求解． 【详解】解：∵直线经过第一象限， ∴， ∵ ∴直线经过第一、三、四象限， ∴第二象限的点一定在直线上方 ∴在直线上方 故选：B． 【变式2】（2025·安徽铜陵·三模）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的交点，完全平方式，能将化成完全平方式是解题的关键． 由交点在第四象限，横坐标是1，得，由可判断，可得，即可求解． 【详解】解析：解法一：由题意得，，即． ， ，， 即， 故选B． 解法二：由题意得，， ，抛物线与轴至少有一个交点，为， ， 故选B． ►题型04 一次函数的图象平移问题 （1）图象向左平移，函数y不变，自变量x加上平移距离；图象向右平移，函数y不变，自变量x减去平移距离； （2）图象向上平移，自变量x不变，在解析式后面直接加上平移距离；图象向下平移，自变量x不变，在解析式后面直接减去平移距离； （3）函数图象平移法则：左加右减。 【典例】（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数图象的平移等知识，先由一次函数图象的平移得到，再由一次函数图象与性质代值求解即可得到答案，熟记一次函数图象的平移方法是解决问题的关键． 【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度后图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的平移、求正比例函数的解析式，根据将直线向左平移个单位长度后图象经过点，可得平移前直线经过点，利用待定系数法求出的值即可． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度后图象经过点， 平移前直线经过点， 即直线经过点， 可得：， 解得：， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移2个单位后得到直线， 故选：C． ►题型05 一次函数的增减性 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键 【典例】（2025·安徽宿州·模拟预测）下列关于函数的性质说法正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确； 该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误； 该函数y随x的增大而增大，故选项D错误． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽宿州·模拟预测）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，二次函数的增减性，函数在每个象限内，的值随x的值增大而增大，函数在轴右边，的值随x的值增大而增大，函数的的值随x的值增大而增大，函数的的值随x的值增大而减小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，的值随x的值增大而增大，不符合题意； B、函数的图象开口向上，且对称轴为轴，在轴右边，的值随x的值增大而增大，不符合题意； C、函数的图象经过第一、三象限，的值随x的值增大而增大，符合题意； D、函数的图象经过第二、四象限，的值随x的值增大而减小，不符合题意； 故选：C 【变式2】（2025·安徽·二模）下列函数中，当时，随增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质等知识点，掌握相关函数的增减性成为解题的关键． 运用一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 在中，y随x的增大而增大，故该选项错误；     B． 中，函数图象在二、四象限，且每个象限y随x的增大而增大，故该选项错误；     C． 由的对称轴为且抛物线开口方向向上，则时，y随x的增大而增大，故该选项错误； D． 的对称轴为且抛物线开口方向向向下，则时，y随x的增大而减小，故该选项正确． 故选D． 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围 【典例】（2025·安徽合肥·三模）已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，在数轴上表示不等式的解集，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出函数值为2时自变量的值即可得到的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：∵点是一次函数的图象一点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，， 故选：A． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴， 由图象可得，关于的不等式的解集是， 故选：B． 【变式2】（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． ►题型02 一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 【典例】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于x,y的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：； 故选：C． 【变式2】（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A．由图象可知； B．方程组的解为； C．方程的解为； D．当时． 【答案】D 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 突破一 一次函数的实际应用 【典例】（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1，2，；②；③ (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、求函数的解析式、列一元一次方程解决实际问题、一次函数的应用等知识点，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为 ，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 1 2 2 故答案为：1，2，． ②张强从体育场到文具店的速度为 ， 故答案为：； ③当时，由函数图象可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式． （2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为 ． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t， 当时，，他们没有相遇， 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 【变式1】（2025·安徽六安·三模）综合与实践 【项目背景】 九（1）班同学帮助回乡创业的王叔叔团队在线上销售一种农产品．具体任务是：提出合理销售价格建议，取得较好销售利润．经调查：去年线上销售这种农产品的年销售量（万斤）与售价（元/斤）之间的关系如图所示． 【解决问题】 (1)假设这种农产品价格不超过15元/斤． （i）求去年销售这种农产品的年销售量与售价之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； （ii）销售这种农产品时，如果各种销售成本总计为8元/斤，要确保今年利润在20万元以上，按去年经验，求今年这种农产品的售价范围； (2)关于今年销售这种农产品增加如下信息：①此种农产品的批发价为4元/斤；②销售这种农产品需先投入成本20万元（不含以批发价购入这种农产品所需资金）；③市场管理部门规定这种农产品的售价不超过30元/斤．结合今年和去年的销售信息，这种农产品的售价为多少元时，获得的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元 【分析】本题考查了二次函数的最大利润，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一次函数的解析式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（i）先设年销售量与售价之间的函数表达式为，再运用待定系数法求解，即可作答． （ii）设今年销售这种农产品的利润为万元，根据销售成本总计为8元/斤，得，再结合二次函数的图象性质以及利润在20万元以上进行分析，即可作答． （2）设今年销售这种农产品的利润为万元，再进行分类讨论，当时，，当时，，故随的增大而增大，即可作答． 【详解】（1）解：（i）设去年销售这种农产品的年销售量与售价之间的函数表达式为． 将代入， 得 解得 即函数表达式为； （ii）按去年经验，设今年销售这种农产品的利润为万元， 则， 令，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵的， 开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴， ∵这种农产品价格不超过15元/斤． ∴当时，， 即今年这种农产品的售价范围为． （2）解：结合今年和去年的销售信息，设今年销售这种农产品的利润为万元． 当时，， 则配方得， ∵， ∴开口向下，即售价为12元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润是44万元； 当时，， 即 ． ， 随的增大而增大， 即当时，最大为（万元）. 综上可知，当售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）已知某高铁的票价y（元）是路程x（千米）的一次函数．若此高铁路线上A，B两站的距离是100千米，票价是60元；A，C两站的距离是250千米，票价是135元． (1)求票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式；（不要求注明x的范围） (2)若此路线上的高铁列车每小时行驶320千米，现某人买了一张290元的车票，请计算高铁列车行驶所用的时间． 【答案】(1)； (2)高铁列车行驶所用的时间为小时． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得一张290元的车票行驶的路程，再利用高铁列车每小时行驶320千米计算即可求解． 【详解】（1）解：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为， 将，和，代入得， ， 解得， 答：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为； （2）解：当时，则， 解得， ， 答：高铁列车行驶所用的时间为小时． 突破二 一次函数与几何综合 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 【变式1】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 1.（2025·安徽·模拟预测）一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质和图像，掌握相关知识是解决问题的关键．因为y随x的增大而增大，所以，根据一次函数图像与系数的关系确定函数图像所过象限即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴， ， ∴一次函数图像过一、二、三象限， ∴函数图像不经过第四象限． 故选：A． 2.（2025·安徽池州·模拟预测）某停车场实行跨时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费，已知费用元与时间小时满足一次函数关系．若停车5小时收费21元，停车8小时收费42元，则该停车场免费停车时间为（   ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数解析式，理解题意，利用待定系数法确定函数解析式是解题关键 求出一次函数解析式判断即可得出结果 【详解】设费用元与时间小时的一次函数解析式为 ∵若停车5小时收费21元，停车8小时收费42元， ∴， 解得 ∴ 当时，， 故选：B. 3.（2025·安徽淮南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：若时，经过第一、三象限，的图象经过第一、二、三象限； 若时，经过第二、四象限，的图象经过第一、三、四象限； 只有选项A符合题意， 故选：A． 4．（2025·安徽合肥·三模）已知直线经过点，则必经过另一个点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意可得，再逐一检查分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，， ∴，故A不符合题意； 当时，， ∴，故B符合题意； 当时，， ∴，故C不符合题意； 当时，， ∴，故D不符合题意； 故选：B 5．（2025·安徽滁州·二模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，不等式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 将和代入得到，求出，由得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：将和代入得， 解得， ， ， ， 故选：D． 1．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示： 重物质量 弹簧总长 根据以上信息，表中的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键． 根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，利用已知数据点求出k和c，再代入和计算对应的a和b，最后求的值． 【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为， 把点和代入得，， 解得：， 因此，函数解析式为：， 当时，， 当时，， ， 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可． 【详解】解：∵为正比例函数， ∴设， ∵， ∴只需令中即可， 即， ∴， ∴， ∴要求中，令，代入得 ∴， 故选：A． 3．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，涉及到平行四边形的性质，一次函数的图像与性质，关键是得出点在直线上运动．先得出点是直线上的动点，再将转化成，根据最短路径问题求解． 【详解】解：，，点是轴上一动点，四边形是平行四边形， 根据平移的性质得， 点是直线上的动点， 作关于直线的对称点，连接、，则， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 设直线的表达式为，代入得，， 直线的表达式为， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 故选：A． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，图形与坐标，过点作轴，则，解直角三角形得点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为，进而求得直线的解析式为，代入的坐标及可求解，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴，则， ，，则，， ∴, ， 点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得： 直线的解析式为， 代入的坐标可得 ， ， ． 故答案为：． 5．（2025·安徽淮北·三模）如图，折叠正方形纸片，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕，然后还原．已知． （1）的值为 ． （2）连接交于P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正切值，一次函数与几何综合，坐标系中两点距离计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则．进而得到．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则，求出直线解析式，进而求出点P的坐标即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则． ∴． 在直角中，由勾股定理得， 解得， ， ， 故答案为：． （2）如图所示，以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得，则， 设直线解析式为，则，解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润=单个利润×销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【详解】（1）解：设，代入，， 则． 解得 ． （2）解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 7．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间x（分钟）变化的函数图象． (1)求该图象的函数表达式； (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由． 【答案】(1) (2)该模式下烤制的食物可以健康食用． 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式求解即可，设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式，确定解析式，从而求出求该图象的函数表达式； （2）分别令，分别代入两个函数关系式中计算时间，比较判断即可． 【详解】（1）设段的函数表达式为， 将点和点代入函数表达式， 得， 解得， 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为， 将点和点代入函数表达式， ， 解得得． 段的函数表达式为． ∴该图象的函数表达式； （2）令，即， 解得， 令，即， 解得，（分钟）． ， 该模式下烤制的食物可以健康食用． 8．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可； （2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：①当时，得， 解得， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆； ②当时，得， 解得， （分钟）， 答：最晚10分钟需启动限流措施． 9．（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 4．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 第02讲 一次函数的图像与性质 目录 01缩折瞻 2 02·知雄 3 03送 4 04…是 17 题型01正比例函数的图象与性质 题型02判断一次函数的图象 命题，点一一次函数的图象与性质 题型03已知一次函数经过的象限求参数 题型04一次函数的图象平移问题 题型05一次函数的增减性 题型01一次函数与一元一次不等式 命题点二一次函数与方程（组）、不等式 题型02一次函数与二元一次方程组 05·被难 28 突破一一次函数的实际应用 突破二一次函数与几何综合 06•题起.… 40 基础巩固一→能力提升→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 (1)解正比例函数； 一次函数 (2)能画一次函数的图象，根据图象和表 的图象与 安徽卷T7 安徽卷T6 安徽卷T5 达式 性质 (3)y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k 1/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 <0时图象的变化情况. (4)会运用待定系数法确定一次函数的表 达式. 一次函数 与方程 安徽卷T7 体会一次函数与二元一次方程的关系 (组)、不 等試 t4…4+ 次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点奉涉比较多的考点 各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数图象的性质、一次函数图象与 命题预测 几何图形以及一次函数与反比例函数结合等三个方面，总分值为4-12分左右，也因为一次 函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础 故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律 2/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 - 02- 知识导航·网络构建 正比例函数 形如：y=kx(k≠O)的形式 次函数的概念 一次函数 形如：y=kx+b(k≠O)的形式 一次函数的图象是一条直线 图象的基本特征与性质 正比例函数的图象过原点 k>O时，y随x的增大而增大 增减性 k<O时，y随x的增大而减小 次函数的 b>0 一、二、三 k>0 b=0 一、三 次函数 图 b<0 一、三、四 分布象限 b>0 一、二、 四 性 k<0 b=0 二、四 质 b<0 二、三、四 解析式 待定系数法 k、b同号 x轴负半轴 与x轴的交点 b=0 原点 k、b异号 x轴正半轴 一次函 b>0 y轴正半轴 数与方 程 与y轴的交点 b=0 原点 (组) b<0 、不等 y轴负半轴 式 交点坐标 联立两个一次函数解析式 与不等式的关系 3/22 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -03- 考点解析·知识通关 燕轰 知识·核心梳理 1.正比例函数定义：一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数 2.一次函数定义：一般地，形如ykx+b(k,b是常数，k0),那么y叫做x的一次函数.当一次函数y=kx +b中b=0时，y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一 次函数的一般形式：ykx+b(k,b是常数，k0) 3.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx(k为常数，k0)必过点(0,0)、(1，k) 次函数y-kx+b(k,b是常数，k0)必过点(0，b、(-是，0) 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而增大 y随x的增大而减少 图象 天子 水+卡 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 b>0,交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b<0,交点在y轴负半轴上 4/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交点位置 4.一次函数图象 一次函数y=kx+bk0)的图象可由正比例函数y=kxk0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 图象关系 当b<0时，向下平移b个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两 点即可， 图象确定 1)画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b),(一卡，O)两点； 2)画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可 5.k,b的符号与直线y=kx+b(k0)的关系 在直线ykx+b(k0)中，令y0,则x=卡，即直线y=kx+b与x轴交于(-是，0) 令x0,则y=b,即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) (1)当-卡>0时，即k,b异号时，直线与x轴交于正半轴。 (2)当是=0，即b-0时，直线经过原点。 (3)当-卡<0，即k,b同号时，直线与x轴交于负半轴。 6两个一次函数表达式（直线l:y=k1x十b与l2:y2=kx十b)的位置关系： (1)当k1=k2,b1=b2时，两直线重合； (2)当k1=2,b1b2时，两直线平行； (3)当k12,b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点(0，b)； (4)当k1k2=-1时，两直线垂直： (5)当k12时，两直线相交 7.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： 5/22 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)依据题意中等量关系直接列出解析式； (2)待定系数法 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式ykxk≠0)或y=kx+bk≠0)： ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组： ③解方程或方程组求出k,b的值； ④将所求得的k,b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式 8.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 一般形式 y=kx+b(k是常数，且k0) y=kx+b(k,b是常数，且k0) 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k的符号决定其增减性； k,b符号 k的符号决定其增减性， 区别 b的符号决定直线与y轴的交点位置： 的作用 同时决定直线所经过的象限 k,b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 只需要一对x,y的对应值 需要两对x,y的对应值或两个点的坐标 的条件 或一个点的坐标 ①正比例函数是特殊的一次函数. ②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个 不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可. ③一次函数y=kx+b(k0)的图象可以看作是正比例函数y=kx(k≠0)的图象沿y轴向上(b>0)或 联系向下(b<0)平移b个单位长度得到的.由此可知直线y=kx+b(k0,b≠0)与直线y=kx(k≠0)平 行： ④一次函数与正比例函数有着共同的性质： 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 真题·实战精练 A. 1.(2025安徽.中考真题)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M(1,2),且y随x的增大而增 大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是() 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-2,2) B.(2,1) c.(-1,3) D.(3,4) 2.(2023安徽中考真题)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=x2+1B.y=-x2+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 3.(2025-陕西中考真题)在平面直角坐标系中，点A(3,y),B(4,y2)均在直线y=kx(k≠0)上，若 y1<y2,则该直线经过的点的坐标还可以是（) A.(1,0) B.(-1,-3) c.(1,-2) D.(-1,2) 4.(2025·四川中考真题)函数y=x-2的图象为) , 莫程（组、武 知识·核心梳理 --- 1.一次函数与一元一次方程 由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化 为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值 (1)从“数”上看：方程ax+b=0(a≠0)的解=函数y=ax+b(a≠0)中，y=0时对应的x的值 (2)从“形上看：方程ax+b=0(a≠0)的解=函数y=ax+b(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p(m、n、p是常数，且m≠0，n≠0)都能写成y=ax+b(a、b为常数，且a≠ 0)的形式因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元 一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线 (1)从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函 数值是何值： (2)从“形的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方 程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标 3.一次函数与一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b>O(或<O)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的 图象所对应的x的取值范围 (1)从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于（或小于）0的自 变量的取值范围： (2)从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b(a≠0)在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 真题·实战精练 1.(2025江苏徐州.中考真题)如图为一次函数y=kx+b的图象，关于x的不等式k(x-3)+b<0的 解集为() A.x<-4 B.x>-4 C.x<2 D.x>2 2.(2025江苏南京.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数 y=x+2的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点(1，一1)按顺时针方向旋转90°.其中， 能使函数y=2x+4的图像经过一种变换后过点P(2,2)的个数是() 1=2x+4 ●D A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025江苏准安中考真题)如图，直线1：y=一x十6经过点A(1,a),将l1绕A点顺时针旋转，旋转 角为(45°<c<135°)，得到直线l2.点B(m,n)在l2上，若m>1,则n的值可以是·（填写 一个值即可) A(1,a) 4.(2025宁夏.中考真题)如图，直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2X+b2交于点A,则关于x,y的方 （y=k1x+b1 程组气y=k2x+b2的解是一 8/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 4 5.(2025-山东德州.中考真题)如图，A(-6,0),B(0,8),点M在线段0B上，将△ABM沿直线AM折 叠，点B恰好落在点B(a0)处. B M B (1)求a的值； (2)求直线AM的解析式： (3)若直线y=一X十t与直线AM的交点在直线x=a的左侧，请直接写出t的取值范围 6.(2025北京.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和 (2,5). (1)求k,b的值： (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值，也小于函数 y=X十k的值，直接写出m的取值范围. -04 命题洞悉·题型预测 质 ~题型01正比例函数的图象与性质 点方法 正比例函数y=kx中，Ik越大，直线y=kx越靠近Y轴；反之，y川越小，直线y=kx越靠近x轴， 【典例】(2025安徽模拟预测)若点A(xy),B(x2y2)在函数y=-x的图象上，且x1>0>x2, 9/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则下列结论一定成立的是() A.Y2>0 B.y1+y2>0 c.yv2<0 D.y1+y2<0 【变式1】(2025安徽芜湖.二模)关于反比例函数y=一是，下列结论正确的是() A.它与直线y=x没有交点 B.y随着x的增大而增大 C.图象位于第一、三象限 D.图象经过点(a,a+4),则a=-1 【变式2】(2025山西长治模拟预测)已知点A&yB&3y,都在正比例函数y=-2x的图象上，若 x1<x2则V1与Y,的大小关系是() A.y1<y2 B.y1>y2 c.y1=y2 D.y2y2 题型02判断一次函数的图象 点方法 对于y=kx+b与y轴交于(0，b),当b>0时，(0，b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(O,b) 在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k0,b>0曰y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0,b <0曰y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0,b>0白y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0,b<0曰y=kx+b 的图象在二、三、四象限， 【典例】(2025安徽毫州模拟预测)在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点(3，一1)的是() A.y=-5x-2B.y=- C.y=x2-4 D.y=(x-1)2-5 【变式1】(2025安微淮南一模)己知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点(1,0)，且不经 过第二象限，则2k+b的值() A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 【变式2】(2025安微池州.三模)如果mn≤0，且m(n-1)>0,那么直线y=mx+n不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ~题型03已知一次函数经过的象限求参数 【典例】(2025安徽模拟预测)直线y:=mx+n和y2=一nx一m在同一平面直角坐标系中的图象可能 是() 【变式1】(2025安徽安庆模拟预测)己知直线：y=kx-2经过第一象限，则下列各点中一定在直线1上 方的是() A.1,3 B.（-1,1 c.（-1,-3 D.(1,-1) 10/22