第01讲 平面直角坐标系与函数（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“平面直角坐标系与函数”核心考点，涵盖点的象限特征、坐标变换、函数概念及图象等课标要求内容，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、题型预测、重难突破及分层练习的系统设计，帮助学生夯实基础并突破动点问题等难点。 亮点在于“重难突破”模块针对动点问题函数图象，运用趋势判断、解析式计算等方法结合2025安徽中考真题案例，培养学生几何直观与推理意识。分层练习从基础到全国新趋势，配合真题训练，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第三章 函数 第01讲 平面直角坐标系与函数 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 平面直角坐标系 题型01点所在的象限 题型02坐标与图形综合 题型03 坐标系中的几何作图 命题点二 函数的概念 题型01 求自变量的取值范围 题型02 函数图象的识别 题型03 从函数图象中获取信息 题型04 动点问题的函数图象 05·重难突破·思维进阶难 40 突破 动点问题的函数图象 06·优题精选·练能提分 43 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角坐标系 安徽卷 T16 安徽卷 T16 / 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系； 2.在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. 4.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 5.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 6.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 7.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 函数的概念 / 安徽卷 T10 / 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 命题预测 本专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为8-13分左右.平面直角坐标系为函数的基础，在中考中通常以作图函数的形式进行考查，函数的概念通常会考察从函数图象中获取信息，预计在2026年中考中会以作图的形式考察作图． 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向. 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 2.点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 3.点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 4.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 （1）点P到轴的距离为； （2）点P到轴的距离为； （4）点P到原点O的距离为P＝ . 5.坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 6.用坐标表示地理位置的方法 （1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； （3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3)(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 4．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见解析（答案不唯一） (3)或． 【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）解：∵点的坐标分别是、、， ∴， ∴，， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴或， 如图，当 DE在外时,分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴上半轴时，   ,, , ∴； 同理当在内时，分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴下半轴时，   ,, ∴， 综上：或． 考点二 函数的概念 1.函数的相关概念： （1）变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. （2）常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. （3）函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. （4）函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. （5）确定函数取值范围的方法： ①函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； ②函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； ③函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； ④函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； ⑤实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. （6）函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. （7）函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： ①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. ②两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 2.函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 4．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 5．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 点所在的象限 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-) 【典例】（2025·安徽黄山·三模）若点在第三象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标特征、解不等式组，由点在第三象限得出，计算即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数的性质：，开口向上，在对称轴左侧图像y随x的增大而减小，在对称轴的右侧图像y随x的增大而增大，，开口向下，在对称轴左侧图像y随x的增大而增大，在对称轴的右侧图像y随x的增大而减小， 根据二次函数的确定顶点坐标，即可判断本题答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而增小， 又∵当时，y随x的增大而增小， ∴， 故选：D 【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知抛物线，则它的顶点M一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，然后求得，即可判断顶点一定在第一象限． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴有两个交点， 顶点一定在第一象限， 故选：A． ►题型02 坐标与图形综合 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 【典例】（2025·安徽宿州·三模）如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，中点坐标公式，设，根据题意表示出点的坐标，再利用三角形面积公式即可解答，正确表示出点的坐标是解题关键． 【详解】如图，作于点， 设点，则， 点是的中点， 点的坐标为， ， 轴， 点的坐标为，即 ， 的面积是3， ， ． 故选：C． 【变式1】（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，，延长到点，使，过点作，交的延长线于点，点是上一点，过点作，交于点，连接，点在上，，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】解直角三角形得出，求出，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，待定系数法求出直线的解析式为，结合得出直线的解析式为：，设点的坐标为，点的坐标为，作轴于，轴于，则，，，证明，得出，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解： 中，，，， ， ， ， ， 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示， ， 则，，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 直线的解析式为：， 设点的坐标为， ，交于点， 点的坐标为， 作轴于，轴于，则，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：A． 【变式2】（2025·湖北武汉·三模）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 根据的定义和可知或，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形． 【详解】解：∵， ∴或． 如图， ①当时，点P满足或， 在图象上，线段即为图中正方形的右边，线段即为图中正方形的左边； ②当时，点P满足，或， 在图象上，线段即为图中正方形的上边，线段即图中正方形的下边． 则所有满足该条件的点围成的图形为边长为4的正方形， ∴所有满足该条件的点围成的图形的面积为， 故选：D． ►题型03 坐标系中的几何作图 熟记点的坐标平移、对称以及旋转的变换规律。 【典例】（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，轴对称性质，是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方向以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并首尾顺次连接即可； （2）根据点B、P在线段的垂直平分线上，确定P点． 【详解】（1）解：∵A、B、C的坐标分别为、、，绕点O逆时针旋转得到， ∴点的坐标为、、， 首尾顺次连接， 如图所示，即为所求． （2）解：∵点B在线段的垂直平分线上， ∴点P也在线段的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求， 点P的坐标为． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)用无刻度直尺，在平面直角坐标系内找一格点，使经过的中点，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图轴对称变换，矩形的判定与性质，一次函数与几何综合，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 利用关于轴对称的点的坐标特性得到、、，然后连线即可； 取格点，连接，交于，连接并延长至点即可，可得四边形为矩形，则为中点，可求，继而求出直线，当时，，故经过格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求， 取格点，连接，交于，连接并延长至点， ∵由网格知， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为中点， ∵， ∴，而， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴． 【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 命题点二 函数的概念 ►题型01 求自变量的取值范围 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数 【典例】（2025·安徽·三模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，根据分式形式的函数满足分母不为零的情况，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：函数分母不为零，即， 解得， 故选：D． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）在数轴上表示函数的自变量x的取值范围，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：且， 在数轴上表示为： 故选：C． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是根据函数有意义列出不等式． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴，解得：， 故答案为：． ►题型02 函数图象的识别 函数图象的判读一是看对于任意的一个自变量的值是否有唯一的函数值与之对应；二是列出函数关系式，根据函数关系式确定函数图象。 【典例】（2025·安徽安庆·三模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵点，点， ∴与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A、D不符合题意； ∵点，点， ∴当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项B不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点与点关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，，， ∴当时，随的增大而减小，故选项D符合题意，选项B不符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）由化学知识可知，用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的稀溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映稀溶液的与所加水的体积V之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要了函数的图象，掌握学科间的结合是解题的关键． 根据盐酸的酸性指数以及函数图象解答． 【详解】解：盐酸是酸性，并且随着浓度变大，酸性越弱，函数值越接近于7． 故选A． ►题型03 从函数图象中获取信息 读懂函数图象是解题关键，理解函数图象的变化规律或趋势与自变量和函数值之间的关系 【典例】（2025·安徽芜湖·三模）小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内，过山车的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．这秒内过山车有段下行路线 C．当时，高度（米）随时间（秒）的增大而增大 D．在范围内，当过山车高度是米时，的值有个 【答案】D 【分析】根据某一分钟内过山车高度米与时间秒之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 本题主要考查了函数的图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 【详解】C解：结合图象，当解：A、时，，故该选项说法错误，不符合题意； B、结合图象，这秒内过山车有段下行路线，故该选项说法错误，不符合题意； C、当时，过山车的高度在不断下降，故该选项说法错误，不符合题意； D、在范围内，当过山车高度是米时，的值有个，故该选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）我国是世界上最早使用历法的国家之一，农历二十四节气就是我国古代劳动人民总结的天文气象历法，是世界的非物质文化遗产，有些节气与白昼时长密切相关．图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长小于的节气是（    ） A．立春 B．芒种 C．大雪 D．白露 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像信息题，正确从图像中获取信息是解题的关键． 根据函数图像展示的信息判断即可． 【详解】解：根据图像信息，立春白昼时长为之间，芒种白昼时长超过，大雪白昼时长小于，白露白昼时长为之间， 所以，白昼时长小于的节气是大雪； 故选：C． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）一个电动玩具车从起点出发，沿笔直轨道做往返运动．如图，曲线表示电动玩具车在运动过程中离出发点的距离随运动时间的变化情况，则这个电动玩具车的平均速度最慢的时间段为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，在每个时间内，用路程除以时间，得出速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：由函数图象得， ：， ：， ：， ：， ∵ ∴这个电动玩具车的平均速度最慢的时间段为， 故选：D ►题型04 动点问题的函数图象 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 【典例】（2025·安徽滁州·三模）如图，在正方形中，，延长至点E，且，连接，点F沿着（不与端点A，E重合）的路径运动，到达E点运动结束．每秒运动的长度为1，设点F的运动时间为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，，然后分两种讨论，当时，得到，当时，过点F作交BE于点G，则，证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】四边形为正方形， ，， ， ，， ，， 如图，当时，， 如图2，当时，过点F作交BE于点G，则， ， ， ，即， ， 观察图象可知选A． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（单位：），的长度为（单位：），与的函数图象如图2所示．当的面积为时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，解直角三角形，根据函数图象可得当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，则，过点A作于H，可求出，则，可证明当的面积为时，点P在线段上，则此时有，据此求解即可． 【详解】解：由图2可知，当时，点P在上运动， 当时，点P在上运动， ∴， 如图所示，过点A作于H，则， ∴， 当点P在线段时， ∴当的面积为时，点P在线段上， ∴此时有， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点的位置分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边上；②点P在边上；③点P在边上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断． 【详解】解：矩形， ，，， ①当时，点P在边上， ， ，， ，即， ， ； ②当时，点P在边上，点与点重合， ， ； ③当时，点P在边上， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ； ， S与t的函数图像大致为 故选：D． 突破 动点问题的函数图象 【典例】（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 【变式1】（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 【变式2】（2025·河南开封·一模）在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为2，中心为点O，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，此时y值最大，， 当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴，， ∴， 故选：C． 1.（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，线段的端点M，N的坐标分别为，，，，且，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，结合图形求解是解题关键 由图形可得轴，，轴，得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：∵M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴即， 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2， ∴， 解得， 当时，，符合题意，故的值为2 故答案为：2 4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标；（___，___）；（___，___） (2)若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． 【答案】(1)2；1；；； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，正确根据点B和点的坐标判断出平移方式是解题的关键． （1）根据坐标系中点的位置即可得到答案； （2）根据点B和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴平移到的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ∵点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为， ∴， ∴． 1．（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 2．（2025·安徽亳州·三模）若函数中，当自变量时，因变量随着的增大而减小，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数等的图象与性质，分别观察图象，根据图象性质逐一排除即可，掌握函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小，符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小或增大，不符合题意； 故选：． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题是动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，注意分类讨论；求出点与点重合时；分与两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出，利用面积三角形公式即可求解，从而确定函数图象． 【详解】解：由题意，得． 当点与点重合时，， ∴， 此时． 当时，， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向下； 当时，如图，    ， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向上， 故选D． 4．（2025·安徽合肥·二模）如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，为线段上的一动点． （1）点的坐标为 （2）如图2，若为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为当时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）利用勾股定理求出即可； （2）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，在中，，，， ∴， ∴； （2）如图2中，设交于点． ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； （2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解． 【详解】解：（1） ， ， 在中，， ， ， 点是的中点， ，即， ， （2）点关于的对称点为点，， ， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（1）可得反比例函数的解析式为， 联立， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； 故答案为：；． 6．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出向下平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点的坐标； （2）根据平移的性质，即可画出，并写出点的坐标； （3）先证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 根据图像可知，； （2）解，如图所示，即为所求， 根据图像可知，； （3）解：由题意可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积． 7．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．（不写作法，保留作图痕迹） (1)请画出先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在所给的网格中确定一个格点，使得射线平分的面积，写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) (3)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质确定点，再依次连接，得，则点的坐标为，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）根据网格特征，，即四边形是平行四边形，连接，则射线平分的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 点的坐标为． （2）解：， 的面积为． （3）解：如图，点即为所求，点的坐标为． 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 4．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 5．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 6．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 7．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 第01讲 平面直角坐标系与函数 目录 01折瞻 1 02知键… 3 03新张 3 04瑞测 21 题型01点所在的象限 命题点一平面直角坐标系 题型02坐标与图形综合 题型03坐标系中的几何作图 题型01求自变量的取值范围 题型02函数图象的识别 命题点二函数的概念 题型03从函数图象中获取信息 题型04动点问题的函数图象 05•难. 40 突破动点问题的函数图象 06•题起 43 基础巩固一→能力提升→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 1理解平面直角坐标系的有关概念，能画 出平面直角坐标系； 2.在给定的平面直角坐标系中，能根据坐 标描出点的位置，由点的位置写出坐标 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直 角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以 平面直角 用坐标表达简单图形 安徽卷T16 安徽卷T16 坐标系 4.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称 轴，能写出一个已知项点坐标的多边形的 对称图形的项点坐标，知道对应项点坐标 之间的关系. 5.在平面直角坐标系中，能写出一个已知 项点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定 距离后图形的顶点坐标，知道对应项点坐 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标之间的关系. 6.在实际问题中，能建立适当的平面直角 坐标系，描述物体的位置 7.在平面上，运用方位角和距离刻画两个 物体的相对位置. 1.探索简单实例中的数量关系和变化规 律，了解常量、变量的意义；了解函数的概 念和表示法，能举出函数的实例： 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关 系进行分析： 函数的概 安徽卷T10 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取 念 值范围，会求函数值： 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问 题中变量之间的关系理解函数值的意义： 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变 化情况进行初步讨论。 本专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为 8-13分左右平面直角坐标系为函数的基础，在中考中通常以作图函数的形式进行考查，函 命题预测 数的概念通常会考察从函数图象中获取信息，预计在2026年中考中会以作图的形式考察作 图 2/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02- 知识导航·网络构建 概念 象限概念 象限 象限点的坐标符号特征 平面直角坐标系 点到坐标轴的距离 距离 两点距离公式 面直角坐标系与函数 中点坐标公式 用坐标表示位置 概念 自变量及取值范围 函数的概念 判断函数的关系 根据数量关系列函数关系式 函数 列表法 函数的表示 解析式法 画函数图象 图象法 从函数图象获取信息 -03- 考点解析·知识通关 芸系 知识·核心梳理 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b) 相关概念 具体内容 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系 3/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 面 直 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向. 角 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点， 坐 标 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面， 系 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 2.点的坐标特征 第一象限 x>0,y>0 第二象限 x<0,y>0 在象限内 第三象限 x<0,y<0 第四象限 x>0,y<0 x轴 y-0 点Px,y)的 坐标轴上 y轴 x-0 位置 原点 x-y-0 在角平分线上 第一、三象限 x-y 第二、四象限 X=-y 平行x轴 所有点的纵坐标相等 在平行坐标轴的直线上 平行y轴 所有点的横坐标相等 3.点的坐标变化 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 向左平移a个单位 (x-a,y) 向右平移a个单位 (+a,y) 平移变换 向上平移a个单位 (x,y+a) 向下平移a个单位 (&,y-a) 点Px,y) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 4/25 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 关于x轴对称 ,y) 关于y轴对称 (-x,y) 对称变换 关于原点对称 (x,-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x,y) 关于yn对称 (x,2n-y) 绕原点顺时针旋转90° (y,-x) 绕原点顺时针旋转180° (-x,y) 旋转变换 绕原点逆时针旋转90° (-y,x) 绕原点逆时针旋转180° (-x,-y) 4.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P(a,b),则 (1)点P到x轴的距离为b|: (2)点P到y轴的距离为a; (4)点P到原点O的距离为P= Va2+b2 2 5.坐标系内点与点之间的距离 点M(x,)与点N(,2)之间的直线距离（线段长度）：MN(s2-x2+y,y)2 若ABx轴，则A(8Ay),B(&y)的距离为xA-g; 若ABy轴，则A(xyA)B(yB)的距离为yAyB: 6.用坐标表示地理位置的方法 (1)选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； (3)坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称 真题·实战精练 1.(2025·安微.中考真题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 Oy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为(-1，-3)和(2,6)· 5/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标； (②)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画出 △A1B1C 2.(2024安微中考真题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 x0y,格点（网格线的交点）A、B,C、D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4). B (1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180得到△A1B1C1,画出△A1B1C1: (2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标. 3.(2025山东潍坊中考真题)如图，己知菱形ABCD的顶点在方格纸的格点上，其中A,B,C的坐标分别 为(0,1)，(-2,4)，(-4,1).该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）. r- 6/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点B'的坐标： (2)将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B,画出平移后的菱形 4.(2024江苏常州中考真题)对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定 的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关 联图形”. y G D AB C D E 图1 图2 图3 (I)如图1，B、C、D是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中，线段AC的平移关联图形”是 d= (写出符合条件的一种情况即可)； (2)如图2，等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2(保 留作图痕迹，不要求写作法)； (3)如图3，在平面直角坐标系x0y中，点D、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4)，以点G为圆 心，r为半径画圆.若对⊙G上的任意点F,连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足 d≥3，直接写出的取值范围。 知识·核心梳理 1.函数的相关概念： (1)变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量 (2)常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量 (3)函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数 (4)函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. (5)确定函数取值范围的方法： ①函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数： ②函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； ③函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零： ④函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零： ⑤实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义 7/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (6)函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值，函数对应的值为b,那么b叫做当自变量取值 为a时的函数值， (7)函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： ①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在 ②两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解 2.函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种 表示法叫做解析法 (2)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表 法 (3)图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 真题·实战精练 1.(2024安微中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点 E,F分别在边AB,BC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设AE=X,四边形DEBF的面积为y,则y关于x 的函数图象为() 16 16 5 5 4-5 B 4 8/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y个 16 16 5 5 4 5 4 D.O 4 2.(2025山东东营·中考真题)如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD,EG与AB重合， FG=3cm,AB=4cm,BC=5cm,Rt△EFG以1cms的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时 停止.在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关 系图象大致是() A(E) D B(G) AS/cm2 S/cm2 个S/cm2 S/cm2 6--- 6--- 6 6--- A. O35 8 i/sB.O 35 8ic.o358iD.可 35 8 i/s 3.(2025·青海西宁.中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿着A→B→C的 路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-AQ的值为y,y随x 变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 P B 图1 图2 4.(2025山东济南中考真题)A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假 设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所示，则他们 相遇时距离A地 km. 9/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆s/km 100 80 60N 甲 0123 5.(2025江苏常州中考真题)小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书 馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米.若小华、小丽各自从自己家同时出发， 分别以V1米分钟、V2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发， 小丽仍然以V2米分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以V1米分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以 V2米分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y(米)与行进时间x(分钟)之间的函数 图像可能是() W W A 1800 1800 1800 1800 900 900--- 600-- 600 A. 6.(2025四川广元中考真题)如图①，有一水平放置的正方形EFGH,点D为FG的中点，等腰△ABC满 足顶点A,B在同一水平线上且CA=CB,点B与HE的中点重合.等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度 水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止，在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分 的面积y与运动时间t(s)之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是() G B 图① 图② A.AB=4 B.∠ACB=90 C.当0≤t≤2时，y=t2 D.△EFD的周长为9+5V3 10/25