专题05 复数的概念（思维导图+3大知识点+6大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版）

专题05 复数的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的基本概念 4 知识点二：复数相等的充要条件 5 知识点三：复数的几何意义 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：复数基本概念的理解与判断 7 题型二：利用复数相等解题的方法 7 题型三：复数几何意义的实战用法 8 题型四：复数模的计算技巧 8 题型五：复数中的轨迹问题与最值求解 8 题型六：求参数问题 9 05 强化训练 10 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一：复数基本概念的理解与判断 【典例1-1】（2025·高一·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2025·高一·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1-2】给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】（2025·高一·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型二：利用复数相等解题的方法 【典例2-1】（2025·高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例2-2】（2025·高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2025·高一·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 题型三：复数几何意义的实战用法 【典例3-1】（2025·高一·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高一·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（2025·高一·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（2025·高一·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：复数模的计算技巧 【典例4-1】（2025·高一·云南楚雄·月考）复数满足，则 . 【典例4-2】（2025·高二·贵州铜仁·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【变式4-1】（2025·高一·北京丰台·期末）已知复数，则 ． 【变式4-2】（2025·高一·宁夏银川·期末） ． 【变式4-3】（2025·高一·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 题型五：复数中的轨迹问题与最值求解 【典例5-1】（2025·高一·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 【典例5-2】（2025·高一·山东潍坊·期末）若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【变式5-1】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为 . 【变式5-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【变式5-3】（2025·高一·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是 . 题型六：求参数问题 【典例6-1】（2025·高一·上海·期末）若复数满足，则 ． 【典例6-2】（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数 ． 【变式6-1】（2025·高一·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数 . 【变式6-2】若为纯虚数，则实数 . 【变式6-3】若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·云南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6．（24-25高一下·湖南永州·期末）复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 7．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 8．（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 9．（多选题）（24-25高一下·河南·期末）已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 10．（多选题）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 11．（2025高三·全国·专题练习）若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于 对称． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则复数 . 13．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 14．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 15．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 17．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的基本概念 4 知识点二：复数相等的充要条件 5 知识点三：复数的几何意义 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：复数基本概念的理解与判断 7 题型二：利用复数相等解题的方法 8 题型三：复数几何意义的实战用法 9 题型四：复数模的计算技巧 11 题型五：复数中的轨迹问题与最值求解 12 题型六：求参数问题 13 05 强化训练 16 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一：复数基本概念的理解与判断 【典例1-1】（2025·高一·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例1-2】（2025·高一·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 【变式1-1】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 【变式1-2】给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 【变式1-3】（2025·高一·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解析】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 题型二：利用复数相等解题的方法 【典例2-1】（2025·高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由，所以，，则. 故选：A 【典例2-2】（2025·高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为， 所以，. 故选：B. 【变式2-1】（2025·高一·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式2-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 【变式2-3】（2025·高一·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 题型三：复数几何意义的实战用法 【典例3-1】（2025·高一·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. 【典例3-2】（2025·高一·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 【变式3-1】（2025·高一·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D 【变式3-2】（2025·高一·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为. 故选：B. 【变式3-3】（2025·高一·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 题型四：复数模的计算技巧 【典例4-1】（2025·高一·云南楚雄·月考）复数满足，则 . 【答案】 【解析】设，则. 由，所以，根据复数相等的定义可得， ，解得，即. 故答案为：. 【典例4-2】（2025·高二·贵州铜仁·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【答案】 【解析】因为复数对应的点的坐标是， 所以 故答案为：． 【变式4-1】（2025·高一·北京丰台·期末）已知复数，则 ． 【答案】/ 【解析】由题可知：. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高一·宁夏银川·期末） ． 【答案】5 【解析】. 故答案为：5 【变式4-3】（2025·高一·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 【答案】（答也可以） 【解析】设纯虚数，，， 由于，所以或， 即或， 故答案为：（也可以答） 题型五：复数中的轨迹问题与最值求解 【典例5-1】（2025·高一·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图： 可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 【典例5-2】（2025·高一·山东潍坊·期末）若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】 【解析】由复数的几何意义知，不等式表示以原点为圆心，1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以复数对应的点所构成的图形面积为. 故答案为： 【变式5-1】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 故答案为：4． 【变式5-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】 【解析】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·高一·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是 . 【答案】 【解析】复数z满足， 复数z到点的距离为1， 又的几何意义是复数z对应的点与的距离， 所求的最小值为：. 故答案为：. 题型六：求参数问题 【典例6-1】（2025·高一·上海·期末）若复数满足，则 ． 【答案】或 【解析】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 【典例6-2】（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数 ． 【答案】5 【解析】因为复数在复平面中对应的点为， 又点在点在直线上， 所以，解得. 故答案为：5. 【变式6-1】（2025·高一·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数 . 【答案】 【解析】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 【变式6-2】若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【解析】因为复数为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 【变式6-3】若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 2．（2025·云南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题意，得. 故选：D. 3．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【解析】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【解析】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解析】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 6．（24-25高一下·湖南永州·期末）复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据复数模的计算公式可得： . 故选：B 7．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 8．（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【解析】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 9．（多选题）（24-25高一下·河南·期末）已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 【答案】ABD 【解析】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 10．（多选题）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【解析】若复数对应的点在第三象限，则，解得， 对比选项可知，只有AB符合题意. 故选：AB. 11．（2025高三·全国·专题练习）若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于 对称． 【答案】直线 【解析】复数对应的坐标，复数对应的坐标， 因为与横纵坐标互换，所以关于直线对称， 故答案为：直线. 12．（2025高一·全国·专题练习）已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则复数 . 【答案】或 【解析】如图，设点的坐标为. 因为，， 根据三角函数的定义可知或， 即点的坐标为或，所以或. 故答案为：或. 13．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 【答案】四 【解析】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 14．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【解析】（1）由已知得， 为纯虚数，， 解得. （2）设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. 15．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【解析】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【解析】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 17．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【解析】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $