7.1复数的概念&7.2复数的四则运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1 复数的概念 7.2 复数的四则运算 知识点一、复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、 复数的分类 设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0 ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数：（实同虚反） 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点二、复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)------实部等于实部，虚部等于虚部 知识点三、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． ---横实纵虚 2.模：向量的模叫做复数z＝a＋bi模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R) --实虚勾股 注意：， 知识点四、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则：（合并同类型） 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点五、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 知识点六、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 考向一 复数的基本概念 1. 虚部：i前面的系数，不含i 2. 共轭复数：实同虚反 3. 数的分类：实数虚部为0，纯虚数实0虚非0 【例1-1】（25-26贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 【例1-2】（25-26湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【例1-3】（25-26黑龙江）已知复数，则z的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（25-26江西南昌）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【例1-5】（2025江苏）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25黑龙江）复数的共轭复数为（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 3．（25-26江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 4．（25-26北京）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 考向二 复数相等 复数相等，实部相等、虚部相等 【例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【一隅三反】 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·河北邢台）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 考向三 复数的几何意义 【例3-1】（2026云南）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3-2】（25-26内蒙古赤峰）复数，其中i为虚数单位，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【例3-3】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·河北）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026北京）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26北京西城）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26黑龙江齐齐哈尔）设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 5．（24-25湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向四 复数代数形式的加、减运算 复数的加法、减法运算：合并同类型 【例4-1】（2025河南）（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26云南文山）复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4-3】（2025·云南大理）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【一隅三反】 1．（25-26四川）若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 2．（25-26江西南昌·月考）已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 3．（25-26河南）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考向五 复数代数形式的乘法除法运算 复数的乘法：利用实数的乘法法则，再合并同类项 复数的除法：分母去i，分子分母同乘以分母的共轭复数 【例5-1】（25-26湖北）复数的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【例5-2】（2026河北）已知，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026云南）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲）（ ） A． B． C． D． 3．（25-26北京顺义）在复平面内，复数 对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26山西运城）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 考向六 在复数范围内解方程 复数范围内方程的两根互为共轭复数 【例6】（25-26上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26上海）已知、，且是关于的方程的一个根， ． 2．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（25-26湖南）（多选）已知，关于x的方程有一个根为，i为虚数单位，另一个根为z，则（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．在复平面内对应的点在第四象限 D． 考向七 复数的轨迹与最值问题 【例7-1】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例7-3】（25-26江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·黑龙江大庆）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25=广东汕尾）（多选）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 【题组一 复数的基本概念】 1．（2025广东）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 3．（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 4．（2025河南洛阳）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 5．（2025上海奉贤·月考）若复数是实数，则实数 . 【题组二 复数相等】 6．（25-26河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 7．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【题组三 复数的几何意义】 9．（2026广东）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·黑龙江）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（25-26 贵州六盘水·期末）已知复数，则（    ） A．13 B． C． D．5 12．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2026·陕西西安）复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 14．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【题组四 复数代数形式的加、减运算】 16．（2025·浙江）设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·广西河池）若，，则（   ） A． B． C．3 D． 18．（25-26河北保定·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【题组五 复数代数形式的乘法除法运算】 19．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 20．（25-26高三上·江西景德镇·期末）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 21．（2026·河北·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 22．（25-26云南昭通·期末）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26 广东汕头·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·辽宁大连）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（25-26云南玉溪·期末）（多选）是虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 26．（2026·贵州六盘水·模拟预测）（多选）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【题组六 在复数范围内解方程】 27．（25-26湖南·月考）已知是关于x的方程的一个根，则 . 28．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ． 29．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 【题组七 复数的轨迹与最值问题】 30．（24-25高一下·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·山东）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 32．（24-25高一下·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 34．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 35．（24-25高一下·山西·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 36．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为 ． 37．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为 . 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 39．（24-25高一下·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是 . 40．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 复数的概念 7.2 复数的四则运算 知识点一、复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、 复数的分类 设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0 ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数：（实同虚反） 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点二、复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)------实部等于实部，虚部等于虚部 知识点三、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． ---横实纵虚 2.模：向量的模叫做复数z＝a＋bi模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R) --实虚勾股 注意：， 知识点四、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则：（合并同类型） 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点五、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 知识点六、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 考向一 复数的基本概念 1. 虚部：i前面的系数，不含i 2. 共轭复数：实同虚反 3. 数的分类：实数虚部为0，纯虚数实0虚非0 【例1-1】（25-26贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】根据虚部的概念知，复数的虚部是.故选：A 【例1-2】（25-26湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】易知复数的实部为，虚部为；所以，解得. 故选：B 【例1-3】（25-26黑龙江）已知复数，则z的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数. 所以z的共轭复数是.故选：B. 【例1-4】（25-26江西南昌）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【解析】依题意，，解得．故选：B． 【例1-5】（2025江苏）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数是实数，则，解得.故选：C. 【一隅三反】 1．（24-25黑龙江）复数的共轭复数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】复数的共轭复数为.故选：C 2．（25-26江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【解析】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 3．（25-26江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 4．（25-26北京）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为的共轭复数为，所以，所以，故选：C 5．（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 考向二 复数相等 复数相等，实部相等、虚部相等 【例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【解析】因为，，且，则，，解得. 故选：C 【一隅三反】 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，所以，.故选：B. 2．（2025·河北邢台）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，解得，所以. 故选：C 3．（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 考向三 复数的几何意义 【例3-1】（2026云南）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【例3-2】（25-26内蒙古赤峰）复数，其中i为虚数单位，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】复数.故选：C. 【例3-3】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 【一隅三反】 1．（2026·河北）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2．（2026北京）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，所以， 故选：C. 3．（25-26北京西城）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知. 故选：A 4．（25-26黑龙江齐齐哈尔）设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由得，，所以，， 解得，，所以. 故选：C. 5．（24-25湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 而成立推不出成立，， 所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件， 故选：B 考向四 复数代数形式的加、减运算 复数的加法、减法运算：合并同类型 【例4-1】（2025河南）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D. 【例4-2】（25-26云南文山）复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，则其在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第二象限. 故选：B. 【例4-3】（2025·云南大理）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】设复数，所以，又，所以， 即，所以，解得，所以，则的虚部为. 故选：C 【一隅三反】 1．（25-26四川）若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 【答案】D 【解析】因为，所以的实部为，虚部为. 故选： 2．（25-26江西南昌·月考）已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【答案】D 【解析】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确；，B错误. 故选：D 3．（25-26河南）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 考向五 复数代数形式的乘法除法运算 复数的乘法：利用实数的乘法法则，再合并同类项 复数的除法：分母去i，分子分母同乘以分母的共轭复数 【例5-1】（25-26湖北）复数的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以复数的虚部为. 故选：B. 【例5-2】（2026河北）已知，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】所以的实部为. 故选：A 【一隅三反】 1．（2026云南）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 由复数为纯虚数，得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 2．（2026·湖南株洲）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式，.故选：C 3．（25-26北京顺义）在复平面内，复数 对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 则复数在复平面内对应的点为，该点在复平面内位于第二象限. 故选：B. 4．（25-26山西运城）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设，则，所以，即， 即，解得，即，所以，故选：A 考向六 在复数范围内解方程 复数范围内方程的两根互为共轭复数 【例6】（25-26上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵方程的一个根是复数， ∴该方程的另一个根是其共轭复数， 故选：B． 【一隅三反】 1．（25-26上海）已知、，且是关于的方程的一个根， ． 【答案】34 【解析】由是关于的方程的一个根，则， 整理得，则，解得，所以． 故答案为：34． 2．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 3．（25-26湖南）（多选）已知，关于x的方程有一个根为，i为虚数单位，另一个根为z，则（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．在复平面内对应的点在第四象限 D． 【答案】ABD 【解析】，关于的方程有一个根为， 得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得， 所以方程无实数根，故A正确； 对于C，D，方程，由韦达定理可知，得， ,对应的点为，在第一象限． ， 所以，故C错误，D正确． 故选：ABD． 考向七 复数的轨迹与最值问题 【例7-1】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B. 【例7-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】设，则， 所以，故， 所以复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 【例7-3】（25-26江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为.故选：D    【一隅三反】 1．（2025·黑龙江大庆）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以的最大值为. 故选：A. 4．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 5．（24-25=广东汕尾）（多选）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 【答案】ABC 【解析】设（为虚数单位），则表示点与之间的距离. 对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确； 对于B， ，当时即可取最大值，故B正确； 对于C，，当时即可取最小值，故C正确； 对于D，因为，则符合题意，故D错误. 故选：ABC. 【题组一 复数的基本概念】 1．（2025广东）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数的实部、虚部互为相反数，所以，解得， 故的实部是． 故选：D. 2．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即. 故选：A. 3．（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 4．（2025河南洛阳）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【解析】由题意可得：，解得：故选：B 5．（2025上海奉贤·月考）若复数是实数，则实数 . 【答案】 【解析】复数是实数，则有，解得. 故答案为：. 【题组二 复数相等】 6．（25-26河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题得解得所以.故选：. 7．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由，所以，，则. 故选：A 8．（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，解得， 故选:B. 【题组三 复数的几何意义】 9．（2026广东）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因复数的实部为，虚部为，故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 10．（2026·黑龙江）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】复数满足，则. 故选：B. 11．（25-26 贵州六盘水·期末）已知复数，则（    ） A．13 B． C． D．5 【答案】C 【解析】由题意：.故选：C 12．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 13．（2026·陕西西安）复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】，的虚部为， 故选：B. 14．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意得，故复数z的虚部为. 故选：A． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解析】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【题组四 复数代数形式的加、减运算】 16．（2025·浙江）设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为，对应的点位于第四象限.故选：D. 17．（2025·广西河池）若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 所以. 故选：A 18．（25-26河北保定·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 【题组五 复数代数形式的乘法除法运算】 19．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 【答案】D 【解析】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以. 故选：D. 20．（25-26高三上·江西景德镇·期末）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】由于，所以的虚部为：.故选：C 21．（2026·河北·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 22．（25-26云南昭通·期末）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 故选：C. 23．（25-26 广东汕头·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数满足，则. 故选：C. 24．（2026·辽宁大连）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】依题意，， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 25．（25-26云南玉溪·期末）（多选）是虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于AB选项，，A对B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 26．（2026·贵州六盘水·模拟预测）（多选）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】BD 【解析】由，得， 对于A，的虚部为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误； 对于D，. 故选：BD 【题组六 在复数范围内解方程】 27．（25-26湖南·月考）已知是关于x的方程的一个根，则 . 【答案】14 【解析】由是方程的一个根， 得是方程的另一个根， 则，解得， 所以. 故答案为：14 28．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ． 【答案】 【解析】因是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 29．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 【答案】 【解析】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则.故答案为：. 【题组七 复数的轨迹与最值问题】 30．（24-25高一下·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 31．（2025·山东）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解析】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值为. 故选：B 32．（24-25高一下·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【解析】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对； B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对； C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对； D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错. 故选：ABC 34．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【解析】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 35．（24-25高一下·山西·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 【答案】ACD 【解析】由题意得的虚部为，故AC正确，B错误； 由复数满足， 所以点的集合是以原点为圆心，分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，故D正确． 故选：ACD. 36．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 37．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 故答案为：4． 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】 【解析】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 39．（24-25高一下·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是 . 【答案】 【解析】复数z满足， 复数z到点的距离为1， 又的几何意义是复数z对应的点与的距离， 所求的最小值为：. 故答案为：. 40．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是 ． 【答案】 【解析】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3， 结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上， 设，则， 故，当时，取到最大值， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $