专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系（思维导图+9大知识点+10大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、平面的基本概念 4 知识点二、平面的基本性质 5 知识点三、异面直线 6 知识点四、空间两条直线的位置关系 6 知识点五、直线与平面的位置关系 7 知识点六、平面与平面的位置关系 7 知识点七、点线共面的证明 7 知识点八、证明三点共线问题 8 知识点九、证明三线共点问题 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：平面的基本概念与表示方法 9 题型二：平面的确定条件与判定方法 10 题型三：几何体的截面作图与计算问题 13 题型四：异面直线所成角的求解方法 16 题型五：空间中直线与直线的位置关系判定 18 题型六：空间中直线与平面的位置关系分析 21 题型七：空间中平面与平面的位置关系探究 24 题型八：空间点与直线的共面证明问题 26 题型九：空间三点共线的判定与证明 30 题型十：空间三线共点的证明方法 34 05 强化训练 40 知识点一、平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 知识点诠释： （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． 知识点诠释： （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 知识点二、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据． 知识点三、异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 知识点六、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 知识点七、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识点八、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识点九、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 题型一：平面的基本概念与表示方法 【典例1-1】（2025·高一·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 【典例1-2】（2025·高一·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 【变式1-1】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【解析】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 【变式1-2】（2025·高一·河南郑州·期中）下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，A选项正确； ，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：B. 【变式1-3】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内， 符号表达为：，， 故选：C 题型二：平面的确定条件与判定方法 【典例2-1】（2025·高一·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【解析】     先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【典例2-2】（2025·高一·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【解析】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能. 故选：D. 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B. 【变式2-2】（2025·高一·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 【变式2-3】（2025·高二·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 题型三：几何体的截面作图与计算问题 【典例3-1】（2025·高一·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【典例3-2】（2025·高一·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【变式3-1】（2025·高一·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】如下图， 当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 【变式3-2】（2025·高一·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【答案】B 【解析】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面， 由题设有，即为的中点，则且， 又，，则为平行四边形， 所以且，故且，又， 所以为等腰梯形. 故选：B 【变式3-3】（2025·高一·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 题型四：异面直线所成角的求解方法 【典例4-1】（2025·高一·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】如图所示，取的中点，连接， 所以且，且， 综上，或其补角为与所成的角，或其补角为与所成的角. 与所成的角为，或， 由，知，则为等腰三角形， 当时，；当时，， 故与所成角的大小为或. 故选：C 【典例4-2】（2025·高一·山东泰安·月考）在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】如图，连接，，则∥， 所以为异面直线BD与所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以异面直线BD与所成角的正弦值是， 故选：A 故选：A. 【变式4-1】（2025·高一·湖南郴州·期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由长方体结构知且，则为平行四边形，故， 所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，， 所以，则. 故选：C 【变式4-2】（2025·高一·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设且，即四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角或其补角， 设正方体棱长为2，则，故， 结合异面直线夹角的范围知，异面直线与所成角为. 故选：B 【变式4-3】（2025·高一·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取AC中点为G，连接EG，FG，则， 又，则， 则为异面直线与所成的角或其补角， 又，则， 则异面直线与所成的角是. 故选：A 题型五：空间中直线与直线的位置关系判定 【典例5-1】（2025·高二·云南·学业考试）如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 【典例5-2】（2025·高一·安徽·月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】C 【解析】 取中点R， 连接，则容易得到，，则， 知道四边形为平行四边形，则，则是直线AM与BN夹角或其补角. 设正方体棱长为，则，，，则， 则为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为平面，平面，平面，， 所以为异面直线， 综上所得，与异面且不垂直. 故选：C. 【变式5-1】（2025·高一·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 【变式5-2】（2025·高一·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【解析】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 题型六：空间中直线与平面的位置关系分析 【典例6-1】（2025·高一·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【解析】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 【典例6-2】直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 【答案】D 【解析】如：且异面，均在面内时，如下图示， 此时，将平移至与相交，则与所在平面即为， 若要过点作与平行的平面，则过点可以作另一个平面与平行，而， 显然有矛盾，故上述情况不可能有过点A的平面同时平行于a，b，故A、B、C错，D对； 故选：D 【变式6-1】（2025·高二·浙江宁波·学业考试）如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 【答案】B 【解析】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直. 故选：B 【变式6-2】（2025·高三·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【答案】D 【解析】对于选项A，交平面于点，平面， 都不与平面平行， 交平面于点，平面， 都不与平面平行，   交平面于点，平面， 都不与平面平行， 故A错误； 观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交， 故B错误； 四条体对角线全部与面都相交， 故C错误. 如下图，取中点为，易得， 取中点为，连接，易得， 再取中点为，连接，则， ， 是平面与正方体底面的交线， 延长，与的延长线交于，连接，交于， 则可得五边形即为平面交正方体的截面， 故D正确；            故选：D. 【变式6-3】（2025·高一·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【答案】D 【解析】由题，设直线为，平面为， 要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得， 当时，可满足题意， 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意， 当时，无法满足题意， 故直线与平面相交或平行． 故选：D． 题型七：空间中平面与平面的位置关系探究 【典例7-1】两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，需要画出两相交平面的交线，故A错误； 对于B，两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故B错误； 对于C，需要画出两相交平面的交线，故C错误； 对于D，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线， 且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故D正确. 故选：D 【典例7-2】平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【解析】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C. 【变式7-1】（2025·高二·上海长宁·月考）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 【答案】C 【解析】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面， 又点C在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C. 【变式7-2】在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 【答案】A 【解析】如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 【答案】A 【解析】平行于同一直线两个平面可能平行，也可能相交，A错； 平行于同一平面的两个平面平行，B正确； 由面面平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，CD正确． 故选：A． 题型八：空间点与直线的共面证明问题 【典例8-1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【解析】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【典例8-2】（2025·高一·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【解析】（1）记点M到平面的距离为h， 易知为正三角形，且，所以， 又， 所以， 因为，所以，即， 解得，即点M到平面的距离为. （2），M，B，N四点共面，证明如下： 连接， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 由正方体性质可知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，M，B，N四点共面. 【变式8-1】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【解析】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 【变式8-2】如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【解析】（1）由，分别为，的中点， 可得， 又，， 所以， 四边形为平行四边形． （2），，，四点共面， 理由如下：由题意易知， 四边形为平行四边形，． 由（1）知， ，与共面． 又， ，，，四点共面． 【变式8-3】（2025·高三·四川成都·月考）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点. (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积. 【解析】（1）存在，当G为PA的中点时满足条件，证明如下： 如图，连接，，则是三角形的中位线， 所以，又由已知， 所以，所以，，，四点共面. （2）因为是的中点，所以， 因为，所以， 故，所以， 所以，则 . 题型九：空间三点共线的判定与证明 【典例9-1】（2025·高三·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【解析】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 【典例9-2】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【解析】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 【变式9-1】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【解析】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线 【变式9-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【解析】（1）因为平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 即三点共线. （2）连接，则与相似， 所以， 所以， 在中，作，交于点，则， 所以. 【变式9-3】如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【解析】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 题型十：空间三线共点的证明方法 【典例10-1】（2025·高一·广东广州·期中）已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示 （1）求证：、、、、、六点共面； （2）求证：、、三线共点； （3）求几何体的体积． 【解析】（1）证明：连接，，有已知， 又 ∴ 设两线确定的平面为 即点，，， 在平面内延长交直线于点， 由与全等，可得 在平面内延长交直线于点，同理可得 ∴，重合，∴，∴同理可证 综上、、、、、共面 （2）证明：设，则平面，平面， ∵平面平面， ∴，∴、、三线共点； （3）∵， ∴ ∴ 【典例10-2】（2025·高一·福建福州·期中）在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【解析】（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线． （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点． ②如图，六边形即为所求作的截面． 【变式10-1】已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证： （1）D1，M，N，C四点共面； （2）D1M、DA、CN三线共点． 【解析】证明：（1）连接A1B，D1C， 因为M，N分别为AA1和AB的中点， 所以MNA1B， 因为A1D1BC，A1DBC， 所以四边形A1BCD1为平行四边形， 所以A1BD1C，所以MND1C， 所以MN与D1C确定一个平面， 所以M，N，C，D1四点共面． （2）因为MNA1B，且A1B， 所以直线D1M与CN必相交， 设D1MCNK， 因为KD1M，D1M平面AA1D1D， 所以K平面AA1D1D， 又因为KCN，CN平面ABCD， 所以K平面ABCD， 所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点， 又因为平面ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD， 所以D1M、DA、CN三线共点． 【变式10-2】（2025·高一·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【解析】（1）如图①，连接，，， 因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以， 故， 所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2）如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面， 同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 【变式10-3】（2025·高一·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【解析】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【解析】由平面平面，得平面无公共点，而直线，直线， 所以直线无公共点. 故选：A 2．已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（    ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【解析】直线，为直线外一点，所以过点有且只有一条直线与平行；过点有无数个平面与平行； 过点有无数条直线与垂直；过点有且只有一个平面与垂直， 所以②③错误，①④正确， 故选：A． 3．（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【解析】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 4．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 【答案】D 【解析】还原的正方体如图所示，连接，显然直线与异面， 在正方体中，， 则为直线与所成角， 又，则为等边三角形，即. 故选：D. 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解析】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 7．（24-25高一下·山东东营·期末）下列说法正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．正四面体的高为其棱长的倍 C．用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】C 【解析】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，设棱长为a，正四面体的高是从一个顶点垂直于对面的高度， 所以底面的等边三角形的高为， 底面的重心将高分为， 又正四面体的高h与侧棱a和底面重心到顶点的距离构成直角三角形： 所以，故B不正确； 对于C，用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形， 如图所示： ， 故C正确； 对于D，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 9．（多选题）（24-25高一下·山东烟台·期末）下列命题正确的有（   ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 【答案】BCD 【解析】A选项：当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，A选项错误； B选项：由正棱锥的性质可知正棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，B选项正确； C选项：由棱台的性质可知三棱台的各侧棱所在直线相交于一点，C选项正确； D选项：由平行六面体的定义可知，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，D选项正确； 故选：BCD. 10．（多选题）（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．，E，F，B四点共面 B．直线与直线为异面直线 C．该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D．三棱锥的体积是三棱锥的两倍 【答案】ABD 【解析】对于A，如图所示，连接， 因为，则四边形是平行四边形， 所以，又E，F分别为棱，的中点， 所以，则， 所以，E，F，B四点共面，故A正确； 对于B，如图所示， 取的中点，连接， 则，则四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以直线与直线为异面直线，故B正确； 对于C，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线， 设正方体的棱长为1，则内切球的半径为，外接球的半径为， 故外接球与内切球的表面积之比为，故C错误； 对于D，根据正方体的特征与已知可知，点到底面的距离是点到底面的距离2倍， 即三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，由两个三棱锥的底面积相等， 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积两倍，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】AC 【解析】对于AB，在三棱柱中，分别为的中点，连接， 由是的中位线，得，由，且， 得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确，B错误； 对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，，当时，， 又，则，D错误. 故选：AC 12．（25-26高二上·上海·期中）三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，三个互不相交的平面把空间分成部分，即三个平行平面把空间分成部分，所以，又，所以，，， 因此， 又，故， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 【答案】或 【解析】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 14．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】解法1：如图，延长至点，使． 因为是直三棱柱，所以， 所以四边形是平行四边形，故， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设，则， 从而，． 在中，，，， 所以， 所以． 解法2：如图，取的中点，连结． 由是直三棱柱得，， 由分别是，的中点得，， 所以，， 故四边形是平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设， 则，，， 由余弦定理得． 故答案为： 15．（24-25高一下·河南驻马店·月考）如图，已知正四面体，分别是棱的中点．    (1)证明：四边形为菱形； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题知，为的中位线，是的中位线， 所以，且，，且， 故，且，故四边形为平行四边形， 又是的中位线，则， 因为在正四面体中，，所以，故四边形为菱形． （2）因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为，则，， 在中，利用余弦定理得，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． (1)求异面直线与所成的角的正切值； (2)正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． 【解析】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形．                     又是的中位线， 所以，， 同理可以证明：，                         或其补角为两异面直线的夹角，为等边三角形， 所以，所以异面直线和所成角的正切值为；                 （2）设正方体外接球的半径为，所以， 所以，                         所以正方体外接球的体积. 17．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，点E，F分别为PD，PB的中点，点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且．    (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 【解析】（1）因为， 所以正四棱锥的高， 所以正四棱锥的体积； （2）证明：连接， 因为点分别为的中点， 所以， 又点分别为棱上的一点，且， 所以， 所以，所以四点共面； （3）证明：由（2）知， 所以直线相交，记交点为， 所以，又平面， 所以平面， 同理可得平面， 又平面平面， 所以，即直线三条直线交于一点. 18．（24-25高一下·辽宁·月考）（1）如图，已知分别是正方体的棱上的点，试过三点作正方体的截面（保留作图痕迹）．    （2）如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点．求证:点在直线上．    【解析】（1）作直线，交直线于点，连接并延长，交直线于点， 连接，交于点，连接，则即为所求截面． （2）证明：∵直线，平面，∴平面， ∵直线，平面，∴平面， ∴在平面与平面的交线上， 同理可知，也在平面与平面的交线上， ∴由公理3知，，，三点共线， ∴点在直线上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、平面的基本概念 4 知识点二、平面的基本性质 5 知识点三、异面直线 6 知识点四、空间两条直线的位置关系 6 知识点五、直线与平面的位置关系 7 知识点六、平面与平面的位置关系 7 知识点七、点线共面的证明 7 知识点八、证明三点共线问题 8 知识点九、证明三线共点问题 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：平面的基本概念与表示方法 9 题型二：平面的确定条件与判定方法 9 题型三：几何体的截面作图与计算问题 10 题型四：异面直线所成角的求解方法 11 题型五：空间中直线与直线的位置关系判定 11 题型六：空间中直线与平面的位置关系分析 12 题型七：空间中平面与平面的位置关系探究 14 题型八：空间点与直线的共面证明问题 15 题型九：空间三点共线的判定与证明 17 题型十：空间三线共点的证明方法 18 05 强化训练 21 知识点一、平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 知识点诠释： （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． 知识点诠释： （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 知识点二、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据． 知识点三、异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 知识点六、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 知识点七、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识点八、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识点九、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 题型一：平面的基本概念与表示方法 【典例1-1】（2025·高一·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高一·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【变式1-2】（2025·高一·河南郑州·期中）下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 题型二：平面的确定条件与判定方法 【典例2-1】（2025·高一·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【典例2-2】（2025·高一·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】（2025·高二·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：几何体的截面作图与计算问题 【典例3-1】（2025·高一·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高一·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【变式3-2】（2025·高一·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【变式3-3】（2025·高一·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 题型四：异面直线所成角的求解方法 【典例4-1】（2025·高一·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 【典例4-2】（2025·高一·山东泰安·月考）在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】（2025·高一·湖南郴州·期末）在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 题型五：空间中直线与直线的位置关系判定 【典例5-1】（2025·高二·云南·学业考试）如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【典例5-2】（2025·高一·安徽·月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【变式5-1】（2025·高一·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-2】（2025·高一·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 题型六：空间中直线与平面的位置关系分析 【典例6-1】（2025·高一·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【典例6-2】直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 【变式6-1】（2025·高二·浙江宁波·学业考试）如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 【变式6-2】（2025·高三·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【变式6-3】（2025·高一·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 题型七：空间中平面与平面的位置关系探究 【典例7-1】两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【变式7-1】（2025·高二·上海长宁·月考）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 【变式7-2】在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 【变式7-3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 题型八：空间点与直线的共面证明问题 【典例8-1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【典例8-2】（2025·高一·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【变式8-1】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【变式8-2】如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【变式8-3】（2025·高三·四川成都·月考）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点. (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积. 题型九：空间三点共线的判定与证明 【典例9-1】（2025·高三·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【典例9-2】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【变式9-1】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【变式9-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【变式9-3】如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 题型十：空间三线共点的证明方法 【典例10-1】（2025·高一·广东广州·期中）已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示 （1）求证：、、、、、六点共面； （2）求证：、、三线共点； （3）求几何体的体积． 【典例10-2】（2025·高一·福建福州·期中）在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【变式10-1】已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证： （1）D1，M，N，C四点共面； （2）D1M、DA、CN三线共点． 【变式10-2】（2025·高一·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【变式10-3】（2025·高一·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 2．已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（    ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东东营·期末）下列说法正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．正四面体的高为其棱长的倍 C．用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 8．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一下·山东烟台·期末）下列命题正确的有（   ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 10．（多选题）（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．，E，F，B四点共面 B．直线与直线为异面直线 C．该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D．三棱锥的体积是三棱锥的两倍 11．（多选题）（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 12．（25-26高二上·上海·期中）三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为 ． 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 14．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 15．（24-25高一下·河南驻马店·月考）如图，已知正四面体，分别是棱的中点．    (1)证明：四边形为菱形； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． (1)求异面直线与所成的角的正切值； (2)正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． 17．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，点E，F分别为PD，PB的中点，点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且．    (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 18．（24-25高一下·辽宁·月考）（1）如图，已知分别是正方体的棱上的点，试过三点作正方体的截面（保留作图痕迹）．    （2）如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点．求证:点在直线上．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $