重难点01 反比例函数与几何图形综合压轴问题（A18）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“反比例函数与几何图形综合压轴问题”，覆盖与特殊三角形、四边形、相似等八大类中考核心题型，通过“考点梳理-方法归纳-典例精析-变式训练”流程，帮助学生构建知识网络，突破分类讨论、数形结合等解题难点。 亮点在于分层设计与核心素养培养，如“等腰三角形存在性”专题训练抽象能力，“平行四边形存在性”强化中点公式应用发展几何直观。设“固根基”“拓能力”分层练习，配合真题限时训练，助力学生提升推理意识与模型意识，教师可据此精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第三章 函数 重难点01 反比例函数与几何图形综合压轴问题（A18） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点01 反比例函数与几何图形综合压轴问题（A18） 反比例函数与几何的综合问题，成都历年来中考的热点，从22年成都中考改革后，它取代了圆在A卷压轴题中的地位，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。 这类问题主要包括反比例函数与特殊三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合、反比例函数与相似（或全等）的综合、反比例函数与新定义几何图形综合、反比例函数与角度的综合、反比例函数与图形面积（长度）综合、反比例函数与几何最值综合、反比例函数与几何变换综合等八大类题型。 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 注意：（1）这类题大多需要用到分类讨论思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以点A、B、C为顶点的三角形是....”区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 题型01 反比例函数综合压轴01-与特殊三角形的综合 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．  (1)求直线的表达式；(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为2． (1)求B点坐标和反比例函数的表达式；(2)点P为x轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)点D为线段上一动点，过点D作的垂线交反比例函数图象于，两点，且．连接，当与相似时，求此时点D的坐标． 【变式】2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式．【深入探究】（2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接，①若，求的值．②若为等腰三角形，求的值． 题型02 反比例函数综合压轴02-与特殊四边形综合 特殊平行四边形存在性问题处理技巧： 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移+中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD； ②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 【典例】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为．(1)求点的坐标和的值；(2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积；(3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值；(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型03 反比例函数综合压轴03-与相似（或全等）的综合 1.相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 2.全等三角形存在性问题：（1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式。（2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点坐标及反比例函数的表达式；(2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；(3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式；(2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标：(2)如图2，当，连接时，，求的值；(3)当时，若，求的值． 题型04 反比例函数综合压轴04-与新定义几何图形综合 【典例】（2025·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1．(1)求反比例函数的解析式；(2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值；(3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 题型05 反比例函数综合压轴05-与角度问题的综合  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为．①求正比例函数及反比例函数的表达式；②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上．(1)求的值及点的坐标；(2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标；(3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06 反比例函数综合压轴06-与图形面积（长度）综合 1.线段长度的表示： (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。 2.坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型07 反比例函数综合压轴07-与几何最值综合 利用二次函数性质求线段最值 1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解。 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： （1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； （2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； （3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段。 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值；②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 【变式】2．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点，(1)求一次函数及反比例函数的表达式；(2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长；(3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 题型08 反比例函数综合压轴08-与几何变换综合 【典例】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点．(1)求a，k的值；(2)P是线段上一点，连接．①若将的面积分成两部分，求点P的坐标；②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B，(1)求a，k的值和点B的坐标；(2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积；(3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 【变式】2．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求，的值．(2)如图2，若点为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与轴交于点，连接．当时，求的面积；将沿直线翻折，当点的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标． 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；(3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 2．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．(1)求直线和反比例函数的解析式；(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2025·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值． 4．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标；(3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 5．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值．(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：如果和都是关于的函数，那么我们把叫做的均值函数．例如，如果，，那么我们把叫做的均值函数． (1)已知的均值函数经过点，求的值； (2)已知的均值函数的顶点坐标为，求的最大值； (3)已知（且）．①当时，的均值函数的最小值为，求的值； ②若的均值函数与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值；(2)求证：；(3)猜想与的数量关系，并证明． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】（2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接，①若，求点G的坐标．②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”．(1)若，求点的“完美三角点”的坐标．(2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时，①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上．(1)求；(2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标；(3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点C是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标； (3)过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内是否存在点P，（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 3．（2025·成都 校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点01 反比例函数与几何图形综合压轴问题（A18） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点01 反比例函数与几何图形综合压轴问题（A18） 反比例函数与几何的综合问题，成都历年来中考的热点，从22年成都中考改革后，它取代了圆在A卷压轴题中的地位，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。 这类问题主要包括反比例函数与特殊三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合、反比例函数与相似（或全等）的综合、反比例函数与新定义几何图形综合、反比例函数与角度的综合、反比例函数与图形面积（长度）综合、反比例函数与几何最值综合、反比例函数与几何变换综合等八大类题型。 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 注意：（1）这类题大多需要用到分类讨论思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以点A、B、C为顶点的三角形是....”区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 题型01 反比例函数综合压轴01-与特殊三角形的综合 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．  (1)求直线的表达式；(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：将代入，，即， 将代入，，直线的表达式为； （2）解：直线与反比例函数交于点A，B，联立方程组得解得， ，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，，，， 在中，当时，，，设直线的函数表达式为，    直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D，，直线与x轴交于点G，，， ； （3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，， 为的直径，，是的中点，， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为，， ，，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为，， ，，， 综上所述，点E的坐标为或或或． 【变式】1．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为2． (1)求B点坐标和反比例函数的表达式；(2)点P为x轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)点D为线段上一动点，过点D作的垂线交反比例函数图象于，两点，且．连接，当与相似时，求此时点D的坐标． 【答案】(1)，；(2)点的坐标为或或；(3)． 【详解】（1）解：当时，，即点，则， 则反比例函数的表达式为：， ∵与轴交于点，令，解得：，则点； （2）解：设点，联立，解得：，，∴， ∵，，∴，，， 当时，则，解得：或，则点的坐标为：； 当时，则，解得：，则点的坐标为：或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴于点， 设交轴于点，交轴于点，则， ∵直线，∴，∴，，， 则， ，设点，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的表达式为：，代入得，解得：， ∴直线的表达式为：，则， 同理可得：，联立反比例函数表达式和的表达式得：， 整理得：，则，， ∵，∴，则，即， 即，即， 整理得：，解得：（舍去）或，即点． 【变式】2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式．【深入探究】（2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接，①若，求的值．②若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②3或12 【详解】解：（1）∵矩形往右平移2个单位，，， ∴，，，， 对角线，相交于点，点为的中点，， 把代入，得．解得．故该反比例函数的解析式为：； （2）①∵四边形是矩形，，，， ，，， ，，由题设条件可知，则，， 反比例函数的图象经过点、， ，解得，，反比例函数解析式为， ∵，即，∴，∴，点横坐标为10， 当时，，，． ②解：为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时，四边形是矩形，，，， 将矩形向右平移个单位长度，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，此时点与点重合，， 将矩形向右平移个单位长度，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，设，将矩形向右平移个单位长度，，， ，，解得：，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：， ，与题意不符，故舍去；综上所述，的值为3或12． 题型02 反比例函数综合压轴02-与特殊四边形综合 特殊平行四边形存在性问题处理技巧： 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移+中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD； ②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 【典例】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为．(1)求点的坐标和的值；(2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积；(3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)的面积是；(3)存在，，． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， 点的坐标为，，， 与的图象的交点关于原点对称，点与点关于原点对称，； （2）解：，，， 又，，，设，则， 又在的图象上，，， ，； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，，，理由如下： 设直线的解析式为，把代入，则，直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形，， ，， ，，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得，直线的解析式为， 当时，，直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形，，且，， 设的解析式为，的解析式为， 当时，，即的解析式为， 此时，设， 则，解得，即，当时，同理可得． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：将点代入一次函数，则，∴， 将代入，则，解得：，∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则，解得；或， 将代入得，∴， 在中，令，则，令，则，∴，设， ∵轴，∴， ∵，∴，解得：，∴，∴， 将代入，得，解得，∴． （3）解：∵轴， ，∴轴， ∵，，，∴，，设，则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴． 当点M在轴上方时，如图，则，解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图，则，解得：或（舍去）； 或，解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值；(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，；(2)点或；(3)存在，或或． 【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点，， 正方形中，，，平面直角坐标系中， ，，， 在和中，，， 又，，则，，则点， 同理可得，，，，则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点，过点作交轴于点，作交延长线为， 则，，由直线的表达式知，， ，，， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点，，解得：或，即点或； （3）解：存在，理由：当时，，即点，设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或，解得：， 即点或，综上，或或． 题型03 反比例函数综合压轴03-与相似（或全等）的综合 1.相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 2.全等三角形存在性问题：（1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式。（2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点坐标及反比例函数的表达式；(2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；(3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)或． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，得到，一次函数的表达式为， 将点代入一次函数，得到，点的坐标为， 再将点代入反比例函数，得到，反比例函数的表达式为； （2）解：连接，，，①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图： 都在反比例函数的图像上，又轴，轴， ，， ，，设，，， ，，化简得， 解得：或（舍去），即此时点； ②当点在点的左侧时，如图：同理可得：， ，， 化简得，解得：或（舍去），即此时点；综上的坐标为或； （3）解：由（2）可知，由，可得， ，，即， 设，，解得：或， 当时，，此时，当时，，此时，综上，或． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式；(2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1)(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴，∴，∴，∴，∴； （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，∴，∴， ∵，∴，取中点S，连接，则， ∵，，∴，∵，∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时，设解析式为，∴，∴，∴，联立得， ∴（舍去），∴； 取点Q关于点S的对称点N，∵，，∴， 当时，设解析式为，∴，∴， ∴，联立得，∴（舍去）， ∴；∴点的坐标为或； （3）解：∵中，时，，时，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵与相似，，∴，∴， ∴，∴；或，∴，∴， ∴；∴点的坐标或． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标：(2)如图2，当，连接时，，求的值；(3)当时，若，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为，(2)或(3)的值为或 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为，∴， ∵点是的中点，且，∴，解得，，∴， 把点代入反比例函数解析式得，，解得，，∴反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，，∴一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，，解得，，∴； （2）解：当时，同理，，， ∵点是的中点，且，∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ∴，，解得，，， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得，解得，，∴， 如图所示，过点作轴于点， ∵，，∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，，∴直线的解析式为， 当时，，即，∴， ∴， 整理得，，∴，解得，或， ∴或，解得，或； （3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，， ∴，则，∴，则点，，∴， 把点代入得，，∴，∴反比例函数解析式为， ∴，解得，，∴， 当时，，即设一次函数与轴交点， ∴，同理，， ∴，∴，则， 设直线的解析式为， ∴，解得，，∴直线的解析式为， 当时，，即，∵， ∴，，，， ∵，∴，∴， 整理得，，∴， 当时，，∴，，如图所示， 当时，，∴，，如图所示， ∴若，的值为或． 题型04 反比例函数综合压轴04-与新定义几何图形综合 【典例】（2025·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点； ∴，∴，∴，，∴，解得：，∴； （2）设直线交轴与点，∵，∴当时，，时，，∴， ∴， 设，∴， ∵，∴，∴，∴或，∴或； （3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵，∴，∴，∴， 设的解析式为：，则：，∴，∴， 联立，解得：或（舍去）；∴； ②当时，将绕点旋转90度得到， 连接交于点，则，， ∴，∴，同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或，∴； 综上：或． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1．(1)求反比例函数的解析式；(2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【答案】(1)(2)2(3)点M的坐标为或或 【详解】（1）解：对于，当时，，∴，∴, 过点作轴于点，如图，∵的面积为1，∴,∴即点的横坐标为2， 把代入得，∴， 把代入得，，∴，∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组得，解得：，，∴，， ∵P是线段的中点，∴，∴直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图，过点B作交y轴于E，则，∵点P是的中点，∴， ∵直线向下平移b个单位将的面积分成两部分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，代入，得； （3）解：根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，当时，如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴，∴，∴； 当时，如图，过点B作轴于L，则 ，∴， ∴，∴， ∵此时四边形是圆内接四边形，为直径， ∴根据圆的对称性有，即两组邻边相等，不符合题意； 当时，如图，过点A作轴，过点B作，轴于E，过点N作，轴于F，设， 则，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，解得：或（舍去），∴； 当时，如图，过点M作轴，过点B作，过点N作， 则，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴； 当时，设， 如图，过点M作轴，过点B作轴于G，过点A作于D，过点N作于F，过点A作于E，则，， ∵，∴，∴， ∴，即，∴①， 同理，，∴，即，∴②， ∴，整理得：③， ∵，∴，整理得：④， 联立③④，得：，解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，点M的坐标为或或． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值；(3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)(3)或 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，过点A作轴，交于点E，如图所示： ∵点，，∴，， ∵，∴，即，解得：，∴， 把代入得：，∴反比例函数解析式为， 把代入得：，解得：，∴，把，代入得： ，解得：，∴一次函数解析式为：； （2）解：过点M作轴，交于点N，如图所示：根据平移可知：， ， ∵，∴，解得：； （3）解：①当正方形在直线下方时， 由得，，整理得：， ∵直线与双曲线有唯一公共点，∴，∴，解得：， ∵反比例函数，∴直线与双曲线有唯一交点时， ∴此时的“楚河汉界线”为，如图所示： ∵点是此正方形的中心，∴顶点，把代入得， ∵顶点不能在直线上方，∴，解得：； ②当正方形在直线上方时，把代入得：，把代入得：， 把代入得：，解得：， 把代入得，∴在直线上， ∴此时直线的解析式为，如图所示：把代入得：， ∵顶点不能在直线下方，∴，解得：；综上所述，或． 题型05 反比例函数综合压轴05-与角度问题的综合  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为．①求正比例函数及反比例函数的表达式；②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1)①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或(2)见解析 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ，正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得，，反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为，过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，；当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为，由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为：， 则，解得：，直线的解析式为：， 当时，，点在直线上，即，，三点共线； 轴，，四边形是矩形，， ，， ，，，， ，． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上．(1)求的值及点的坐标；(2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标；(3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】(1)，点(2)或(3)或 【详解】（1）解：将点的坐标代入，则，即点， 将点的坐标代入得，，则，则直线的表达式为：， 把代入得：，解得：，∴点； （2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，，∴，，， ∴，∴，则，，则点； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，，∴，，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；综上所述：点坐标为或； （3）解：设点，点与点关于点对称，则点， 则，，， ∵，，∴，则， 即，解得：（负值已舍去），即点， ∵，则为的中点，由中点坐标公式得：点，则． 如图，当点在第三象限时．同理可得：，即，解得， 可得，∴，综上所述，的值为或． 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，或 【详解】（1）解：由题可知，∴反比例函数的表达式为， ∴将代入中得，，解得，即， 设直线的函数表达式为， 将，代入得，，解得，∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过作交轴于点，连接， 则，∴，解得，令，得， ∴，则，∴点，∵，直线的函数表达式为， 联立，解得或，∴点的坐标或； （3）解：存在，理由：由知直线的函数表达式为， ∴，，在中，， 点在第一象限，∴，∴，∵，∴， 如图，过作，且，连接，过E作轴交轴于点，过点作于点，∴为等腰直角三角形，则，∴， ，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴或． 题型06 反比例函数综合压轴06-与图形面积（长度）综合 1.线段长度的表示： (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。 2.坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式(2)①；②的值不发生变化，为18 【详解】（1）解：∵， ∴，∴，解得， 将代入，得，解得，∴双曲线的解析式． （2）①当时，，令，得，∴，即， 联立得：，解得：或，∴点C的坐标为， ∴，设点D的坐标为，，则， ∵的面积是的面积的3倍，∴，解得，即，∴． ②的值不发生变化，理由如下：过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴，∴，即∴是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，由反比例函数可知，， ∴，即，∴，∴ 即的值不发生变化，为18． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：把代入，可得，，即， ，，把代入可得，解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E，点关于原点中心对称， ，,设点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得，， 点都在双曲线上，，解得，； （3）解：列方程，整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解，， 设，则，且，把代入直线解析式可得， ，，， ，，解得（舍去），， 把代入反比例函数可得， 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3) 【详解】（1）解：将点代入直线，得，解得，∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称，∴点A和点B也关于原点对称，∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得，解得，∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴，∴，∴点G的坐标为，∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵，∴，即， 当时，化简，得，因式分解，得，∴或（负值舍去）； 当时，化简，得，因式分解，得，∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下：如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称，∴，∵，∴，， 在和中，，∴，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，即，在直角中，， ∴,∴为定值． 题型07 反比例函数综合压轴07-与几何最值综合 利用二次函数性质求线段最值 1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解。 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： （1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； （2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； （3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段。 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值；②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②(2)存在，3 【详解】（1）解：（1）①∵，，∴，∴， ∵，且，∴，∴A点坐标为，∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为，∵反比例函数图象上有A，B两点，∴， ∵，∴， ∵的面积为，∴，即， 整理可得：，解得（负值舍去），∴点B的坐标为． （2）解：连接，∵的面积与的面积相等，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵O为中点，∴∴E为中点，∴为的中位线∴， ∵D点坐标为，∴A点坐标为，则， ∴反比例函数表达式为，设点B的坐标为，∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点，∴，∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧，∴，∴，∴点E始终在直线的下方，∴a的最小值为3． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 【答案】(1)，；(2)①有，；②． 【详解】（1）解： 点E为中点，，， 将代入，得，点F的坐标为， ∴，分别为，的中点，∴． （2）①连接、，，∴， 将代入得，，将代入得，， ，，又， ，，， ∵，关于对称，，，∴点D在过点A且与垂直的直线上． ， 当时取最小值时，有最小值， 如图，此时，点D在线段上．， 又，， ，即，∴，有最小值为． ②当点在x轴上时，同理可得：，而， ∴，，即，点坐标为， 设直线解析式为：，代入，， 得，解得，∴直线解析式为：， 如图，当平分时，∴，∴直线与轴的交点坐标为：， ∴同理可得：直线解析式为：， 联立得，解得，∴中点坐标为， 同理可得：直线BC解析式为：， ∴设解析式为：，代入得，解得， ∴解析式为：，当时，，∴点F的坐标为，． 【变式】2．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点，(1)求一次函数及反比例函数的表达式；(2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长；(3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为．(2)．(3)1 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，∴，∴反比例函数表达式为． ∵点在上，∴，即．∵一次函数过、， ∴，解得，∴一次函数表达式为． （2）解：对于一次函数，令，则，∴； 令，则，解得，∴．∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称，∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴，，． （3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴，∴， ∵轴，轴，∴，∴ ∴，∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形，∴点和点关于直线对称，即， ∵设（），∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值，此时最大． 题型08 反比例函数综合压轴08-与几何变换综合 【典例】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点．(1)求a，k的值；(2)P是线段上一点，连接．①若将的面积分成两部分，求点P的坐标；②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)，(2)①或；② 【详解】（1）解：过点C作轴于点M， 把代入得，，∴，∴，∵点C，D恰好是线段的三等分点，∴， ∵轴，∴，∴， ∴，即，∴，∴，∴， ∵直线经过点，∴，解得， ∵双曲线经过点，∴； （2）解：由（1）得，直线的解析式为，把代入得，，解得，∴， ①∴，∵将的面积分成两部分，， 当时，，解得，∴， 当时，，解得，∴； ②直线沿直线进行翻折后点P的对应点为点Q，连接，过点E作轴于点F，如图， ，是等腰直角三角形，， 由折叠的性质得，，， ∴是线段的垂直平分线，，是等腰三角形， ，，，轴， ，，，， 轴，轴，轴，，根据平行线分线段定理得，， 由（1）得，反比例函数表达式为，，， ，，，即， ，∴点E的横坐标为20， ∵点E在反比例函数图象上，，， 设点P的坐标为，， ，，， 整理得，，，由，解得，， 由，解得，∴， 此时沿翻折后与双曲线没有交点，故不符合题意，舍去，． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B，(1)求a，k的值和点B的坐标；(2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积；(3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 【答案】(1)，，(2)(3) 【详解】（1）当时，，∴，即， 将代入中，有，∴反比例函数解析式为：， 联立：，解得：，或，∴， 综上所述：，，； （2）∵直线：向下平移4个单位后得到直线，∴直线：， 联立：，解得：，或者，∴，， 连接，如图， ∵，，，∴，，，∴，，， ∴是直角三角形，且，同理可证明， ∴四边形是矩形，∴； （3）当时，，∴， 过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G，当时，，当时，有，解得：， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形，即， 当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，如图， 根据旋转有：，，，，， 又∵，轴，∴，轴，轴，∴轴， ∵，， ∴，，，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，∴， 设直线的解析式为：，∵，， ∴，解得：，∴直线的解析式为：， 当点在矩形的边上时，，解得：； 当点在矩形的边上时，设交直线于点K，如图， 根据旋转有：，∴，∵轴，，∴轴， 又∵直线的解析式是：，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，即，点与点重合，又∵，∴， 当时，，∴，∵，∴， ∴，∴； 综上可知：如果点是“规矩点”时，求的取值范围为：． 【变式】2．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求，的值．(2)如图2，若点为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与轴交于点，连接．当时，求的面积；将沿直线翻折，当点的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标． 【答案】(1)，(2)或   【详解】（1）解：将点代入一次函数表达式，得：，解得：，即：点， 将点的坐标代入反比例函数表达式，得：； （2）解：分情况讨论：当点在点的上方时，由（1）可知，反比例函数的表达式为：， 如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，设交于点， ， ，，， 而，则，将代入，得：，， 当时，，，，的面积； 当点在点的下方时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、， ，， ，，而，则，将代入，得：，， 将代入，得：，，， 的面积；综上所述，的面积为或； 分情况讨论：当点在轴上时，如图，设，点，由且得： 且且， 解得：（舍去）或，，，，， 设直线的表达式为：，将点，代入直线的表达式，得： ，解得：，直线的表达式为：， 令，则，解得：，； 当点在轴上时，设，点，由得：， 此方程无解，故该种情况不存在；综上，点的坐标为． 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；(3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；(2)，或， (3)点P的坐标为或 【详解】（1）解：将代入一次函数的解析式可得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入一次函数得：，解得：，∴， 将代入反比例函数解析式可得，∴，∴反比例函数的解析式为； 联立，解得或，∴； （2）解：如图：令直线交轴于，直线交轴于， 在中，当时，，即G(0,6)，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，由题意可得：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，即，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为， ∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，∴设， 当为菱形的对角线时， ∵点为的中点，且，∴此时点也在直线上，∵点E是坐标轴上一点， ∴在中，当时，；当时，，解得， 即此时点的坐标为或， 当点的坐标为时，，解得：，此时，即； 当点的坐标为时，，解得：，此时，即； 当为菱形的边时，由菱形的性质可得：， 即，解得：或， ∴当时，，即，当时，，即，设点， 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 综上所述，，或，； （3）解：由（2）可得：直线的解析式为， 联立，解得：或，∴， ∵与相似，， ∴当时，，如图： 由题意可得此时，∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴，∴直线的解析式为， 联立，解得：或，∴； 当时，，连接，如图： 设，则，，， 由勾股定理可得：，∴，解得：或， ∵，∴，此时； 综上所述，点P的坐标为或． 2．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式；(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)存在，点的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入，可得：，， 反比例函数的解析式为，把代入，可得：， ，直线的解析式为； （2）解：，点的坐标是，，如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则， ，，，， 直线与直线平行，，直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则， ，，，， 直线与直线平行，，直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上，设点，点， 点是点的等和点，，， ，，，经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 3．（2025·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的解析式为(2)为等腰三角形时，点的坐标为或(3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为 【详解】（1）反比例函数的图象经过点和点， ，，，反比例函数的表达式为，设直线的解析式为， ，，，解得：，直线的解析式为； （2）设，则， ，， 为等腰三角形，或或， 当时，，，解得：，； 当时，，，，此方程无解； 当时，，，解得：，，或（舍去）； 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或； （3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图， 设直线的解析式为， 点的坐标为，，即．直线的解析式为 点始终在直线上，直线与直线垂直．．．， 由于，因此直线可设为． 点的坐标为，，即．直线解析式为． 当时，则有．点的坐标为． 的中点坐标为即，点在直线上， ．解得：．故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为． 4．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标；(3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：设点，轴，， 的面积为，，解得，，， 点在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：； （2）解：点，直线解析式为， 点是射线与反比例函数交点，，，， ①当时，，，即，，，； ②当与不平行时，，，即，，，． 综上分析，符合条件的点坐标为或； （3）解：设直线解析式为，把点，代入 得，解得，直线解析式为， 设直线向上平移个单位与双曲线相切，则有， 整理得：，，解得或（舍去）， 当时，，解得，即点是使的面积取得最小值的点坐标为， 此时轴，点，，线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线解析式为：， 将线段沿着轴向右平移个单位长度，即将线段的垂直平分线向右平移个单位长度， 平移后线段的垂直平分线解析式为：，此时解析式过点， ，解得：． 5．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值．(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 【答案】(1)(2)点C的坐标为或，(3) 【详解】（1）解：∵在直线上，∴，即． 将代入得，∴．∴直线即为． 令，则，∴．的坐标为．∴．综上所述，． （2）解：设点C的坐标为．若和为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：，解得∴， 把代入得：．若和为对角线，同理可得，． 若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．故点C的坐标为或，． （3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M． ∴．∴．设，，则，． ∴，，，， ∵，， ∴，∴．∴． 解得，．∵点E与点D关于y轴对称，∴． ∵，∴直线表达式为． 将代入得， 整理，得．解得（不合题意，舍去）． ∴，．直线的表达式为． ∵有且只有一点，使得，∴直线与只有一个交点， 联立方程组 消去，整理得．．解得． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：如果和都是关于的函数，那么我们把叫做的均值函数．例如，如果，，那么我们把叫做的均值函数． (1)已知的均值函数经过点，求的值； (2)已知的均值函数的顶点坐标为，求的最大值； (3)已知（且）．①当时，的均值函数的最小值为，求的值； ②若的均值函数与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：， 把代入，得：，解得：； （2）， ∴，∴当时，有最大值为； （3）①， 令，则：，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵均值函数的最小值为，∴，∴； ②由①知：，当时，则：，∴， ∵的均值函数与轴有且只有一个交点，即只有一个正实数根， ∴当，解得：，此时满足题意； 当时，即：时，则：，∴，， 对于恒成立，对于，， ∵，∴；综上：或． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值；(2)求证：；(3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析 【详解】（1），设，则，正方形中，，， 中，由勾股定理得：，， ，，，，代入得； （2）证明：为中点，，由已知得，代入得， ，，，， 正方形中，，，， 中，，，，即； （3），理由如下：设的中点为，连接并延长与的延长线交于点， 如图所示：， ，正方形中，，，， 在和中，，， ，，， ，，， ，． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】（2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接，①若，求点G的坐标．②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②t的值为6或． 【详解】解：（1）由题设条件可知，∴，， ∵对角线，相交于点E，∴点E为的中点，∴， 把代入，得，解得．故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得，∴， ∵，∴，由题设条件可知，则，， ∵反比例函数的图象经过点E、F，∴，解得，∴， ∴反比例函数解析式为，当时，，∴， ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时，∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，∵将矩形向右平移t（）个单位长度，∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：，解得； 当时，此时点F与点D重合，∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度，∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：，解得； 当时，设，∵将矩形ABCD向右平移t（）个单位长度，∴，， ∵，∴，解得：，∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：，解得， ∵，∴与题意不符，故舍去；综上所述，t的值为6或． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”．(1)若，求点的“完美三角点”的坐标．(2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时，①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【详解】（1）解：∵，∴，∴， 设，∴等边，∴，∴ ， ∴，∴，整理得，解得， 当时，，当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下，设， ∴，∴，设，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴，∴点N在第四象限，， ∴，，∴∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时，通过平移可求得N的横坐标为1， ∵，∴，∴这一临界点通过平移可求得，∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时，通过平移可求得N的横坐标为3， ∵，∴，∴这一临界点通过平移可求得，∴； C与A重合时，同理可得，此时，综上所述：或． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上．(1)求；(2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标；(3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)点P的坐标为 或 (3)直线不过定点，理由见解析 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，；故，． （2）解：设在双曲线上，菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序，所以；两点距离公式： ； 令，相减得， 前半部分：， 后半部分：中，令，则， 代回，则，则原方程为， 乘得：，，除以5得： ；， ， 所以， （3）设，，且，；则 ；同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得： 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边： 左右相等： 两边除以： 设；； 分组：，即， ，，所以或， 第一种情况，设直线为，与双曲线相交，所以， 整理得，所以，，由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即，所以，， 、都不是常数，所以不过定点，综上所述：直线不过定点． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点C是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标； (3)过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内是否存在点P，（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)，(2)；(3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：把代入反比例函数，得：，反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上，，解得：，， 把，代入，得：，解得：，一次函数的表达式为； （2）点C是x轴正半轴上的一点， 设，且，过点C作y轴的平行线，过点A、B作的垂线，垂足分别为E、F，如图1， 则，，，，，， ，，，∽， ，即，解得：（舍去），，； （3）存在，理由：由题意得，，或2， 设直线与x轴，y轴分别交于点H，G，设直线与y轴交于点E，作轴于点， 直线的表达式为，当时，，当时，， ∴直线与x轴交点为，直线与y轴交点为， ∴，∴，∴ ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴，即， 设直线的表达式为，把，代入，得： 则得：，解得：，直线的表达式为， 联立得：，解得：舍去，，， 设，当时，如图，过点P作x轴的平行线，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则，，，，，， ，，∽， ，即，，解得：，； 当时，同理可得：，即， ，解得：，；综上，点P的坐标为或 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为；(2)点的坐标为； (3)的面积为或． 【详解】（1）解：∵在直线上，∴，解得，∴， ∵在反比例函数的图象上，∴， ∴反比例函数的表达式为，联立得，解得或， 经检验或都是原方程的解，当时，，∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为， 当时，，解得，∴点的坐标为， ∵，解得，∴点的坐标为； （3）解：∵，，，， ，， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴是等腰直角三角形，且，， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形， ∵点的坐标为，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，即， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴， ∴，∴的面积； 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 同理，，∴，∴， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴， ∴，∴的面积； 综上，的面积为或． 3．（2025·成都 校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．    【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3) 【详解】（1）解：代入，可得，解得，， 将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为， 列方程，解得，，经检验，，是方程的解， 当时，，； （2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，    当时，得，解得， 当时，得，，，， 设，故，，， ，可得方程，解得，， 点的坐标为或； （3）解：列方程，整理得， 当和，只有一个交点时，只有一个解， 此时，即，解得， 当时，方程为，解得，和的交点为， 如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，故，，，当时，可得，解得， ，，，    ，，， ，点M的横坐标为， 当时，可得，，， 将代入，可得，解得， 满足条件的k的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $