第03讲 二次函数的图象与性质（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数图象与性质及综合运用，涵盖概念、解析式、图象性质、平移旋转及与方程、不等式、几何的综合，通过考情剖析、知识网络构建、分题型解析和分层训练，系统梳理考点，突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“题型分类+重难突破”双轨设计，如用增减性和对称性比较函数值培养数学思维，结合韦达定理解决定点问题提升推理能力，分层练习（基础到新趋势）配合真题训练，确保高效复习，帮助学生构建知识体系，提升应考能力，为教师提供精准复习指导。

第三章 函数 第03讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数及相关概念 题型02 二次函数图象辨析 题型03 根据二次函数的解析式判断其性质 题型04 比较二次函数函数值大小 题型05 二次函数的最值（不含参） 题型06 二次函数的对称性的运用 命题点二 二次函数综合 题型01 二次函数与方程 题型02 二次函数与不等式 题型03 二次函数的实际应用 题型04 二次函数图象交点问题（参数问题） 题型05 二次函数综合-特殊几何图形 题型06 二次函数综合-线段、面积最值 05·重难突破·思维进阶难 49 突破一 二次函数最值（含参） 突破二 二次函数综合-新定义问题 突破三 二次函数综合-定点、定值问题（根与系数的关系） 06·优题精选·练能提分 58 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数图象与性质 成都卷 T23 （定轴动区间问题、增减性、对称性） 成都卷 T8 （对称轴、顶点、增减性、对称性） 掌握二次函数的一般式、顶点式，能根据条件选择合适形式表示；函数理解a对抛物线开口方向的影响；会求二次函数的顶点坐标、对称轴，理解其几何意义；掌握二次函数的增减区间，能求其最值。 二次函数综合运用 成都卷 T26 （函数解析式、判别式解决交点个数、角度问题） 成都卷 T25 （函数解析式、一元二次方程、面积问题、过定点问题） 成都卷 T25 （函数解析式、韦达定理的运用、等腰三角形、位置关系证明） 会求二次函数与x轴、y轴的交点，理解判别式的作用。重点掌握二次函数与几何图形（三角形、四边形）结合，涉及动点问题、存在性问题（如等腰三角形、相似三角形），或与新定义题型融合，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查二次函数的图象与性质、而二次函数综合压轴则是必考内容，题型一般以选填题和解答题为主，分值在14分左右。二次函数的图象与性质重点考查对称轴、顶点坐标、增减性、对称性等，而综合压轴题的填空题主要考查定轴动区间和动轴定区间，再结合不等式、方程综合运用，解答题方面主要考查待定系数法求二次函数解析式、与一元二次方程综合（重点关注解一元二次方程、判别式、韦达定理的运用）、与特殊几何图形综合、过定点、特殊位置关系的证明等。 从22年成都中考改革后，二次函数的考查不再是单纯考查二次函数与特殊几何图形或全等、相似等综合，更加贴近高中对抛物线的要求（特别是22和24年在B卷填空压轴题中出现了定轴动区间和动轴定区间的考查（分类讨论思想），解答题中最出现了直线过定点等问题（侧重对韦达定理在二次函数中的运用））。而这些改革无疑是成功的，让学生提前适应去适应初高中的变化，为后续升入高中做了很好的铺垫。 考点一 二次函数的图象与性质 1.二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 4.二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 5.二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则； 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 6.二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2025·成都·校考二模）已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·成都·校考一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 考点二 二次函数综合运用 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 （2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 （3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 2.二次函数与不等式的关系（以a>0为例）: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 3.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 4.二次函数的几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 常考点有：二次函数与几何图形的长度（面积）问题、二次函数与特殊图形（三角形或四边形）、相似、全等、二次函数与线段和、差的最值问题等。 近几年成都中考除了二次函数与几何综合外，还多次出现二次函数与根与系数的关系（韦达定理）综合的压轴大题（如直线（曲线）过定点、动点过在定直线等），以及纯二次函数的压轴填空题（如动轴定区间、定轴动区间等），希望大家重视。 1．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 2．（2025·四川成都·一模）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 3．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；(3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点一 二次函数的图象与性质 ►题型01 二次函数及相关概念 二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 开口方向：a>0：开口向上；a<0：开口向下；对称轴：x=–；顶点：（–，）； 【典例】1．（2025·成都·校考一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． ►题型02 二次函数图象辨析 定这类题，关键就两点：‌紧扣系数符号‌和‌善用图形特征‌。 第一步：标系数，定范围‌ 在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 第二步：找矛盾，排选项‌ 对比系数范围，存在矛盾则排除。 第三步：抓特征，定答案‌ 结合对称轴、与坐标轴交点等关键特征验证。 【典例】1．（2025·成都·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．  C．D．   【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A．B．C．D． ►题型03 根据二次函数的解析式判断其性质 标系数，定范围‌：在选项旁标出 a、b、c，根据开口、对称轴、截距初步排除。 找矛盾，排选项‌：对比系数范围（如 a>0 但图像开口向下），直接排除矛盾选项。 抓特征，定答案‌：结合对称轴、特殊点（如顶点、与坐标轴交点）验证唯一可能选项。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 【变式】2．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 ►题型04 比较二次函数函数值大小 比较函数值大小，关键就看函数的增减性： 法1：‌增函数‌里自变量大的函数值也大，‌减函数‌里自变量大的函数值反而小。 若自变量不在同一增减区域内，则需要利用对称性将其转化为同一增加区域，再进行比较即可。 法2：离对称轴越远，函数值越大（开口向上时）或越小（开口向下时）。 【典例】1．（2025·成都·一模）若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）已知函数的图像上有、、三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·一模）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） ►题型05 二次函数的最值（不含参） 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 关键‌：配方时注意提取a后，括号内补全平方要加减同一个数。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 关键‌：记住公式，计算要仔细，尤其注意 a 的符号。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式】3.（2025·成都·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． ►题型06 二次函数的对称性的运用 对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 反之，若与是抛物线上的点，且满足，则抛物线的对称轴为x=。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． ►题型07 二次函数平移、旋转与对称 1.二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则； 2.二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； 【典例】1．（24-25九年级上成都·期末）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【典例】2．（2025·成都·三模）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． ►题型08 二次函数图像与各项系数之间的关系 二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： （1）顶点坐标；（2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； （3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 命题点二 二次函数综合 ►题型01 二次函数与方程 二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 （2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 （3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 【典例】1.（2025·成都·模拟预测）已知抛物线的对称轴为．若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 ►题型02 二次函数与不等式 2.二次函数与不等式的关系（以a>0为例）: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【典例】1．（24-25九年级上·成都·月考）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【典例】2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是 ；若对于，，都有，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2026·成都·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式】2．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ． ►题型03 二次函数的实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 【典例】1．（24-25九年级上·成都·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元．(1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【变式】2．（24-25九年级下·四川成都·期中）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． ►题型04 二次函数图象交点问题（参数问题） 【典例】1．（2025·四川成都·三模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有 ．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线；②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值是0；④当时，函数有最大值是4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型05 二次函数综合-特殊几何图形 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E．(1)求点C的坐标及线段的长；(2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；(3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【变式】2．（2025·成都·三模）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点． (1)求该抛物线对应的二次函数关系式；(2)当时，求点的坐标及此时的值；(3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标；(4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标． ►题型06 二次函数综合-线段、面积最值 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标；(3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值；(3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 突破一 二次函数最值（含参） 【典例】（2025·成都·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为 突破二 二次函数综合-新定义问题 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则 ；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4， ． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 突破三 二次函数综合-定点、定值问题（根与系数的关系） 【典例】（2025·四川成都·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． (1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式；(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 1．（2025·四川成都·二模）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．M，N两点之间的距离为7 D．当时，y的值随x值的增大而增大 2．（2025·成都·模拟预测）将抛物线的图象向右平移4个单位长度后，与y轴交于点．则平移后抛物线对称轴为（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·成都·一模）已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 5．（2026·成都·模拟预测）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 6．（2025·成都·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上成都·校考期末）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 8．（2025·成都·三模）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 9．（2025·四川成都·一模）我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为 ． 10．（2025·成都·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为 ． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 4．（2025·成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，，．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，交y轴于D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，连接，过点P作，连接EC、AE，点Q为抛物线上一点，交于M，于H交于N，若，，，求的正切值． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川甘孜州·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 5．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 8．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 9．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点．①求该抛物线的解析式；②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 11．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标．(2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第03讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数及相关概念 题型02 二次函数图象辨析 题型03 根据二次函数的解析式判断其性质 题型04 比较二次函数函数值大小 题型05 二次函数的最值（不含参） 题型06 二次函数的对称性的运用 命题点二 二次函数综合 题型01 二次函数与方程 题型02 二次函数与不等式 题型03 二次函数的实际应用 题型04 二次函数图象交点问题（参数问题） 题型05 二次函数综合-特殊几何图形 题型06 二次函数综合-线段、面积最值 05·重难突破·思维进阶难 49 突破一 二次函数最值（含参） 突破二 二次函数综合-新定义问题 突破三 二次函数综合-定点、定值问题（根与系数的关系） 06·优题精选·练能提分 58 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数图象与性质 成都卷 T23 （定轴动区间问题、增减性、对称性） 成都卷 T8 （对称轴、顶点、增减性、对称性） 掌握二次函数的一般式、顶点式，能根据条件选择合适形式表示；函数理解a对抛物线开口方向的影响；会求二次函数的顶点坐标、对称轴，理解其几何意义；掌握二次函数的增减区间，能求其最值。 二次函数综合运用 成都卷 T26 （函数解析式、判别式解决交点个数、角度问题） 成都卷 T25 （函数解析式、一元二次方程、面积问题、过定点问题） 成都卷 T25 （函数解析式、韦达定理的运用、等腰三角形、位置关系证明） 会求二次函数与x轴、y轴的交点，理解判别式的作用。重点掌握二次函数与几何图形（三角形、四边形）结合，涉及动点问题、存在性问题（如等腰三角形、相似三角形），或与新定义题型融合，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查二次函数的图象与性质、而二次函数综合压轴则是必考内容，题型一般以选填题和解答题为主，分值在14分左右。二次函数的图象与性质重点考查对称轴、顶点坐标、增减性、对称性等，而综合压轴题的填空题主要考查定轴动区间和动轴定区间，再结合不等式、方程综合运用，解答题方面主要考查待定系数法求二次函数解析式、与一元二次方程综合（重点关注解一元二次方程、判别式、韦达定理的运用）、与特殊几何图形综合、过定点、特殊位置关系的证明等。 从22年成都中考改革后，二次函数的考查不再是单纯考查二次函数与特殊几何图形或全等、相似等综合，更加贴近高中对抛物线的要求（特别是22和24年在B卷填空压轴题中出现了定轴动区间和动轴定区间的考查（分类讨论思想），解答题中最出现了直线过定点等问题（侧重对韦达定理在二次函数中的运用））。而这些改革无疑是成功的，让学生提前适应去适应初高中的变化，为后续升入高中做了很好的铺垫。 考点一 二次函数的图象与性质 1.二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 4.二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 5.二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则； 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 6.二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线， 顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时，即∴，∴，故C选项正确，符合题意；故选：C． 2．（2025·成都·校考二模）已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，∴离对称轴越远，函数值越小． ∵，，，∴．故选D． 3．（2025·成都·校考一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为，∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 考点二 二次函数综合运用 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 （2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 （3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 2.二次函数与不等式的关系（以a>0为例）: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 3.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 4.二次函数的几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 常考点有：二次函数与几何图形的长度（面积）问题、二次函数与特殊图形（三角形或四边形）、相似、全等、二次函数与线段和、差的最值问题等。 近几年成都中考除了二次函数与几何综合外，还多次出现二次函数与根与系数的关系（韦达定理）综合的压轴大题（如直线（曲线）过定点、动点过在定直线等），以及纯二次函数的压轴填空题（如动轴定区间、定轴动区间等），希望大家重视。 1．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，，∴，∴； ∵，，，∴，由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，∴且， ∵，，∴且， 解得．故答案为：，． 3．（2025·四川成都·一模）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元． 【详解】（1）解：当时，每天的销量为， 当时，日销量为， ∴； （2）解：设商家获得的利润为w元， 当时，则，对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 故当时，则最大利润， 当时，则，对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 当时，则最大利润， 综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元． 3．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)点B的坐标为或或 (3)存在，m的值为2或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得，∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设，根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称，∵，∴；    当时，则，∴， 整理，得，解得，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； （3）解：存在常数m，使得．根据题意，画出图形如下图，     设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得，∴，；设直线的表达式为， 则，解得，∴直线的表达式为， 令，由得，∴， 同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则，∴， ∴，∴，∴，则， 整理，得，即， 将，代入，得， 即，则或，解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；(3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：，∴； （2）当时，则：，∴当，，当时，，∴， ∵，∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点，∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，∴当过点时，，解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）存在；∵，∴当时，，∴， ∵抛物线的对称轴为直线，∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直，∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，则：，， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点，∴，联立，同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分，∴∴， ∴，设，则：，解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 命题点一 二次函数的图象与性质 ►题型01 二次函数及相关概念 二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 开口方向：a>0：开口向上；a<0：开口向下；对称轴：x=–；顶点：（–，）； 【典例】1．（2025·成都·校考一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，解得：．故答案为：． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴顶点坐标为．故选B． 【变式】1．（2025·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意．故选：C． ►题型02 二次函数图象辨析 定这类题，关键就两点：‌紧扣系数符号‌和‌善用图形特征‌。 第一步：标系数，定范围‌ 在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 第二步：找矛盾，排选项‌ 对比系数范围，存在矛盾则排除。 第三步：抓特征，定答案‌ 结合对称轴、与坐标轴交点等关键特征验证。 【典例】1．（2025·成都·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．  C．D．   【答案】B 【详解】A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．     故选B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0， 若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合； 当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧， 故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0， 又∵a>0，则-a<0，当c<0，a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限， 故只有D选项符合题意．故选：D． ►题型03 根据二次函数的解析式判断其性质 标系数，定范围‌：在选项旁标出 a、b、c，根据开口、对称轴、截距初步排除。 找矛盾，排选项‌：对比系数范围（如 a>0 但图像开口向下），直接排除矛盾选项。 抓特征，定答案‌：结合对称轴、特殊点（如顶点、与坐标轴交点）验证唯一可能选项。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：将代入，得，解得，故A选项正确，不符合题意； 二次函数的图象的对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意； ，二次函数解析式为，， 二次函数图象与x轴没有交点，故C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，y的值随x值的增大而增大， 即当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项正确，不符合题意．故选：C 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，函数的最大值是，顶点的坐标为， ∴只有D正确．故选D． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得，解得：，∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上，∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，故选项B错误；根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限，故选项D错误；故选：C． ►题型04 比较二次函数函数值大小 比较函数值大小，关键就看函数的增减性： 法1：‌增函数‌里自变量大的函数值也大，‌减函数‌里自变量大的函数值反而小。 若自变量不在同一增减区域内，则需要利用对称性将其转化为同一增加区域，再进行比较即可。 法2：离对称轴越远，函数值越大（开口向上时）或越小（开口向下时）。 【典例】1．（2025·成都·一模）若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线方程为，∴ 对于点，， 对于点，，对于点 ，， ∴ ，，，∵ ，∴ ．故选：D． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点，到对称轴距离分别为 2、3，且，∴， ∵，∴到对称轴的距离大于，， ∵，，，，∴m的值不可能是，故选：C． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）已知函数的图像上有、、三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，，抛物线开口向下，对称轴 ， 三点坐标为：，， 计算点到对称轴的距离：，， 点距离最小，点次之，点距离最大，开口向下，．故选： B． 【变式】3．（2025·成都·一模）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又∵，∴抛物线开口向上．∴当时y随x的增大而减小． ∴对于A、B当时，．故答案为：． ►题型05 二次函数的最值（不含参） 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 关键‌：配方时注意提取a后，括号内补全平方要加减同一个数。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 关键‌：记住公式，计算要仔细，尤其注意 a 的符号。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，；当时，， ∴当时，函数最小值为，故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，且点在二次函数的图象上， ∴，∴，， ∴， ∵在内始终为正数，∴， ∵，∴函数的图象开口向下， 当时，，当时，，当时，， 综上所述，当时，的取值范围是．故答案为：． 【变式】1．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：，∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，解得，∴， ∵，∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 则当时，的值随着n的增大而增大； 当时，；当时，； ∴当时，，即．只有D符合题意.故选D． 【变式】3.（2025·成都·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，， 又∵， ∴ 且，即，令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，  ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为．故选：D． ►题型06 二次函数的对称性的运用 对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 反之，若与是抛物线上的点，且满足，则抛物线的对称轴为x=。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【详解】解：对于，，有，， ，，；，，，抛物线开口向下， 若，对于，都有，离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧，，即，故答案为：1；． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【详解】解：将点，代入抛物线，得 ，解得，∴；∵，∴抛物线开口向上， ∵，∴，解得，∴，即， 当时，；当时，，∴的取值范围是．故答案为：2；． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称，即．故答案为：1． ►题型07 二次函数平移、旋转与对称 1.二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则； 2.二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； 【典例】1．（24-25九年级上成都·期末）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，化简整理得， 根据题意可得，∴， ∴，解得，∴，∴的值为，故选：A． 【典例】2．（2025·成都·三模）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】解：对于，当时，；当时，则，解得； ∴经过点和，∵二次函数图象的对称轴为l，∴l为直线， ∴点和关于l对称的点坐标分别为和， ∵是关于l对称的图形，∴是一次函数，且经过点和，设的函数关系式为， 代入点和，得，解得， ∴的函数关系式为，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为轴，∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为∵，∴，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵拋物线，∴抛物线的顶点为， ∵向左平移2个单位长度，得到抛物线，∴拋物线的顶点坐标为， ∵拋物线与抛物线关于轴对称，∴抛物线的开口方向向下，顶点为， ∴抛物线的解析式为，故选：D． ►题型08 二次函数图像与各项系数之间的关系 二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： （1）顶点坐标；（2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； （3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：二次函数图象的开口向上，， 二次函数图象的顶点在第三象限，，，， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，，，故结论正确，符合题意； 对于，当时，，点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为，点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意；综上所述：结论正确，故选：． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：由图象开口向上可得：，由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：，，，，故①正确； 抛物线过点，， ，，即：，故②正确； 当时，取得最小值，， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确；其中正确的结论是：①②④，故选：C． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】通过读图：①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得，抛物线与轴交于负半轴，所以，综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又，，由二次函数的图象可知： 当时，  ，当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根，结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，，，， ，， （在对称轴右侧），， 又，，即，结论④正确．综上，正确结论的序号是：②④． 命题点二 二次函数综合 ►题型01 二次函数与方程 二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 （2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 （3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 【典例】1.（2025·成都·模拟预测）已知抛物线的对称轴为．若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线的对称轴公式为． ∵对称轴为，∴，解得．∴， 令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为． 当时，． 当时，．当时，． ∵方程在的范围内有解，∴当时，，即，解得； 当时，，即，解得．综上，．故选：D． 【典例】2．（2025九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的对称轴为直线，开口向下， ∵关于x的二次函数与x轴有两个交点，， ∴、是方程的两个不相等的实数根，∴，， 当时，，整理得， ∵关于x的方程有两个非零实数根，， ∴，是直线与抛物线的交点的横坐标，， 的大致图象如下： 由函数图象可得，，故选项A正确，不合题意； ∵可能是正数也可能是负数，∴与的大小不能确定，故选项B不正确，符合题意； ∵，∴，∴，故选项C正确，不合题意； ∵，，∴，∴，故D成立，不符合题意；故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：二次函数，，联立，整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ，解得：，k的取值范围是且．故选：B． ►题型02 二次函数与不等式 2.二次函数与不等式的关系（以a>0为例）: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【典例】1．（24-25九年级上·成都·月考）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即，∴不等式的解集为或，故选：． 【典例】2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是 ；若对于，，都有，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，令，则或a， 存在，，，，恒成立，即； ，，，在时恒成立， 当时，或，， 当时，且，， 综上所述，或故答案为：，或 【变式】1．（2026·成都·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ，抛物线开口向下，当时，的取值范围是，故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由得： 整理，得，解得，，由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立，则，解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立，则，解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且，故答案为：且． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方， ∴当时，它的图象位于轴的下方，当时，它的图象位于轴的上方， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为和， ∴的解集是．故答案为：． ►题型03 二次函数的实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 【典例】1．（24-25九年级上·成都·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【详解】解：令，则，解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面．故答案为：10． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元．(1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元 (2)店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元 【详解】（1）解：设甲运动鞋的进价为元， 则：，解得：，， 答：甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元； （2）解：设店主将两种运动鞋同时提高元时，商店的利润为元， 则：， 当时，有最大值，为2220元，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当这批水果的销售单价为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵图象过，，∴，解得．与x之间的函数关系式为． （2）解：设利润为z，由题意得， ． ，故当时，z随x的增大而增大，由题意得， ∴当时，z有最大值，此时， 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元． 【变式】2．（24-25九年级下·四川成都·期中）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 【答案】(1)；(2)元/件；(3)万元． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量，可得：； （2）解：当时，可得：，解得：，该产品第一年的售价是元/件． （3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ，解得：，，第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． ►题型04 二次函数图象交点问题（参数问题） 【典例】1．（2025·四川成都·三模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有 ．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线；②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值是0；④当时，函数有最大值是4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 【答案】①②③⑤ 【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确； 令可得，∴， ∴，∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 又∵对称轴是直线，∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确； 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故③正确； 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值4并非最大值，故④错误， 由图象可知，当交函数交于函数顶点下方，x轴上方时，有四个交点， 当时∴该函数与的图象有四个交点，则m的范围为，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤ 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴，∴；∴ ∵设点所在的定直线为，∴直线解析式， ∵点A在二次函数图象上，∴， ∵A，B两点纵坐标相同，∴A，B两点关于对称轴对称，∴则， ∵直线解析式，∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为， ∵线段与定直线没有公共点，∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：； 当点A在店B的左侧时，即，有，解得：． 综上，m的取值范围为或．故答案为：，或． 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：将代入，得，解得 抛物线与x轴交于点A，B，，抛物线向左平移4个单位长度， ，平移后解析式为，如图， 当直线过点B，有2个交点，，解得， 当直线与抛物线相切时，有2个交点，，整理得， 相切，，解得， 直线与，共3个不同的交点，． ►题型05 二次函数综合-特殊几何图形 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E．(1)求点C的坐标及线段的长；(2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)E的坐标为或 (3)存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为x，点C的坐标为， 当y时，，解得：，， 即点A坐标为，点B坐标为，； （2）如图，过点作轴，垂足为点，， 当时，，由（1）可知，由于点E将线段分成两部分，则 ①当时，，，则点的横坐标为3 ，，则，，则点E的坐标为； ②当时，同理可得：，， 此时，点的横坐标为，，， 则，，则点E的坐标为；综上，点E的坐标为或； （3）存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，理由如下：由题意知设点P为 由于点P在第四象限，则，，即，， 则的中点Q的坐标为，由（1）可知，点C的坐标为， 设直线的表达式为，将点C和点Q坐标代入得： ，， 化简得：，， 则直线的表达式为，∴点坐标为， 则，，设直线的表达式为， 将点和点的坐标代入得：，解得：，， 则直线的表达式为，令,则，∴点的坐标为， 则，由，可得：，解得：， ，，， 抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，则的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反，所以设的表达式为，因为点A，P都落在抛物线上， 则，解得：，，则的表达式为， 令，则，∴点G的坐标为，因为是以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得：，而， ，， 代入可得：，化简得：，，， 综上，存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；(3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴，∴，∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，，∴，，设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得，解得：，∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵，∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去），此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去），此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式】2．（2025·成都·三模）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点． (1)求该抛物线对应的二次函数关系式；(2)当时，求点的坐标及此时的值；(3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标；(4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)(2)；2(3)(4)， 【详解】（1）解：∵抛物线；经过点， ∴，解得∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：设直线解析式为， ∵，∴，解得， ∴直线解析式为，∴， ∵，，   ∴直线解析式为， ； 解得：（舍去），∴， ∵，∴， （3）解：如图1，当是以点为顶点的等腰三角形时， 过F点作，∴点H为中点，∴， 又∵轴，∴ ；解得： ∴（舍去） ， 综上可知点F坐标为， （4）解：∵，∴顶点， 当为对角线时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点R，作， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴，∴； 又∵，∴， 当为对角线时，如图3，过A作轴，作于S，作于R， ∵， ，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴，∴； 又∵，∴，综上可知，Q的坐标为，． ►题型06 二次函数综合-线段、面积最值 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为；设， ∵已知为等边三角形，边长为，∴，∴ ∵，则 ∴， ∴∴ ∴ 当时，取得最小值，最小值为∴的最小值为故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标；(3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1)(2)(3)面积的最小值为 【详解】（1）解：抛物线与轴交，两点，设， 抛物线经过点，，解得：，， 抛物线的函数表达式为； （2）如图1，设直线交轴于点，过点作于点， 设，，，，即， ，， 平分，，，， ，，， 在中，，，解得：，，， 设直线的解析式为则，解得：，直线的解析式为， 联立得：，解得：，， 点在第四象限，； （3）由（2）知：，如图2，直线经过点，直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得：，整理得：，，， ， ，当时，． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， 当时，即，可得，，∴，， 则，，∴，则， 分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，∴， ∵，∴，过点作，且，则， ∴，，∴，∴， ∴，当在上时取等号，即当取最小值时，在上， 此时，过点作，则，， 又∵，∴，则， 可得，则∴此时， 即：当取最小值时，，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值；(3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）解：直线的解析式为． 时，；时，，， ，， 将，代入，得，解得，∴； （2）解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于， ，，当时，，，，， 设直线为，将代入得，，，， ，，， ，， 轴，，，，， ， ，若最大，则最大， ，最大时，最大，而，最大时，最大满足题意， 设，则，， 时，，， ，，； （3）解： ，，的中点为， 设，，直线表达式为， 将代入得：，解得：， 直线表达式为，代入点得：， 同理可求直线：，直线：， 联立直线、表达式得：，解得， 即，设经过点的直线为， 代入，得： 比较系数得：，解得：，当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动，设， ， ，时，． 突破一 二次函数最值（含参） 【典例】（2025·成都·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是 【答案】 【详解】解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得，解得，与矛盾，故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为，此时函数的最大值与最小值的和为2，∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为，当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾，故时无解；综上分析可知：n的取值范围是． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为 ． 【答案】1或 【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点为 当时，若，则包含顶点，最小值为1； 若，则函数在上递减，最小值为当时，∴最小值为1或． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为 【答案】-2 【详解】解：∵，∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为，∴当时，该函数的最小值为， ∵，∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是，∴，解得：． 突破二 二次函数综合-新定义问题 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：，解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ，即， ，，即，“偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：，整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，；当时，， 当时，；在的最小值为，最大值为， 的取值范围故答案为：；． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则 ；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4， ． 【答案】 【详解】解：∵，∴其顶点坐标为， ∵是的伴随函数，∴在一次函数的图象上，∴，∴； 设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，， ∴， ∵函数与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，， ∴函数为：，∴其顶点坐标为， ∵是的伴随函数，∴，∴， ∴．故答案为：；． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为， 当时，，当时，，当时，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，此时，在对称轴右侧，即，即， ∴，此时，不等式组无解，不符合题意； 当时，此时，，即，，即， ∴，∴，∴，, 解得：，∴； 当时，此时，，即，，即， ∵∴，∴，∴，,解得：，∴； 综上可得：或，故答案为：或． 突破三 二次函数综合-定点、定值问题（根与系数的关系） 【典例】（2025·四川成都·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． (1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为(2)或(3)是， 【详解】（1）根据题意，得，整理得到，解方程，得， 当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1； ∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）． （2）∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，）， 当k＞0时， 根据题意，得，整理得到， ∴m，n是的两个根，∴， 设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3） ∴，， ∴==，∴3==，∴， ∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k= -(舍去)，故k=； 当k＜0时， 根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根， ∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3） ∴，， ∴==，∴3==-，∴-， ∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-； 综上所述，k的值为或． （3）直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点， ∴设A（m，），B（n，），则（-n，）， 根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根， ∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得 ，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn， ∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式；(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)点坐标为或(3)是定值，，见解析 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，，解得：，解析式为：； （2）解：设直线，代入，，得， 解得：，，直线． 点在抛物线上，点在上，设，． 在直线上方，， 轴，，关于对称轴对称，， ，，即． ①当时，，解得：，， 在上方，，，； ②当时，，解得：（舍），，； 综上：P点坐标为或． （3）解：平移后的解析式为：，设， ，，，，， 联立，得，，， 连接，，过作轴，作于，作于， 根据垂直平分线可得，，， ∵，∴，、都是等腰直角三角形， ，，∴是等腰直角三角形， ，∴，， ，，，， ，，，， ，即，整理，得， ，，，∴． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】(1)(2)(3)见详解 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有，∴，即， ∵，，∴，∴， ∵轴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即为等腰直角三角形，∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线解析式为， 设，则，∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得，则有，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴，整理可得，由图像可知， ∴，∴，∴直线的解析式为， 当时，可有，∴直线经过一定点． 1．（2025·四川成都·二模）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．M，N两点之间的距离为7 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意； 令，则，解得：或， ∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意；故选：B． 2．（2025·成都·模拟预测）将抛物线的图象向右平移4个单位长度后，与y轴交于点．则平移后抛物线对称轴为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线的图象向右平移4个单位长度后所得抛物线表达式为，∵平移后抛物线与y轴交于点， ∴把代入表达式，，化简得，解得：， 原抛物线的对称轴为，∴平移后的抛物线对称轴为：，故选：D． 3．（2025·成都·一模）已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴，∴，故选项A的结论正确，该选项不合题意； C：∵抛物线与轴交于点，∴， ∵，∴，故选项C的结论正确，该选项不合题意； B：∵，∴，∴，∴，故选项B的结论错误，该选项符合题意； D：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，，故选项D的结论正确，该选项不合题意．故选：B． 4．（2025·成都·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为，∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，．故答案为：，． 5．（2026·成都·模拟预测）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，，故答案为： 或． 6．（2025·成都·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为，将原点代入得：，解得， ∴，令，则，解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和，∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴，解得．故答案为：． 7．（25-26九年级上成都·校考期末）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【详解】解：∵二次函数，∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1，∴，解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1，∴，解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7．故答案为：0或7． 8．（2025·成都·三模）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，解得，的取值范围是故答案为： 9．（2025·四川成都·一模）我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为 ． 【答案】或 【详解】解：函数的图象如图所示， ∵直线与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时，则，解得：， 当直线经过点时，解得：， 当时，平行于，与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点， 则k的取值为：或．故答案为：或． 10．（2025·成都·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】(1)（，且是整数）； (2)该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设，将，代入，得：，解得：， （，且是整数）； （2）解：设每场的获利为元，根据题意，得： ，抛物线开口向下， 又，且是整数，时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A．抛物线开口向上，， 对称轴是直线，， 抛物线交轴的负半轴，，，故本选项不符合题意， B．，，，故本选项不符合题意， C．观察图象可知，当时，随的增大而减小，本选项不符合题意， D．抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为，，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ，，， ，，，，， ，，故正确，符合题意；故选：D 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：∵和在抛物线上，， ， ，，，， ，或，或，故答案为：或． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)抛物线与交于定点 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得∴则； （2）当时，抛物线：，则 设，则， 设直线解析式为，∵点D在直线上，∴，解得， 则直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等，∴，解得，∴点， 过点D作于点H，则，则； （3）设直线解析式为，则，解得， 那么直线解析式为，过点D作，如图， 则，∵，∴， ∵将沿方向平移得到，∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上  ∴解得， 则抛物线解析式为 ∵整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 4．（2025·成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1)(2)3(3)点E的坐标为或，过程见详解 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、， ∴，解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G， ∴轴，∴，当时，，∴，∴，∴， 在中，，，∴，， ∴，∴，设直线的解析式为， 则有，解得：，∴直线的解析式为， 设，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，当时，取最大值，此时，∴， 如图，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴，，∴， 在中，， ∴∴，∴，∴，如图， 当P、K、三点共线时，的值最小，此时，∴的最小值为3； （3）解：∵，该抛物线沿射线方向平移个单位，∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，，∴平移后的对称轴为直线， ①当E在x轴上方时，如图，过E作轴交于N，过A作轴交于T，交于S， ∴，四边形、、是矩形，，， ∴，，，，∴，∴， 设，则，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 解得：，（舍去），∴，设，， ∴，在中，， 即，解得：（舍去），∴； ②当E在x轴下方时，如图，同理可求：，∴， 解得：，（舍去），∴；综上所述，E的坐标为或． 5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，，．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，交y轴于D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，连接，过点P作，连接EC、AE，点Q为抛物线上一点，交于M，于H交于N，若，，，求的正切值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：抛物线交x轴于A、B两点，，． ∴当时，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 把点A，点B的坐标代入抛物线得： ，解得：，∴抛物线的解析式为． （2）解：由题意知，过点P作轴于H，如图2， ∵，∴，设点P的纵坐标为， ∴，，，∴， ∴，∴d与t的函数关系式为． （3）解：如图3，过点P作轴交y轴于点R，则，设， ∴，∴，∵， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵轴，∴，解得：，， 当时，，∴，由（2）可得点P的横坐标为t，线段的长为d，∴，∴，∴，∴， 过点D作于点F，∵，，，， ∴，∴， ∴，∴，设，则，， ∴，解得：，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴平分， 过点P分别作，的垂线，垂足分别为G，H，则， ∵，，∴，都是等腰直角三角形，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，过点P作轴，过点E作轴交y轴于点L，过点C作轴交TJ于点T，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，，∴， 设直线EC的解析式为，把点E，点C的坐标代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， ∵已知，设，则，又∵，∴， ∴，∴， 又∵，设交y轴于点S，连接，∴， 作N关于的对称点S，则S在上，则，∴，，， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 又∵，∴PN＝EN，即N是PE的中点，∵，，∴， 过点N作于点K，∴， 又∵，设，则， 在和中，，∴，∴，则S点在y轴上， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为，把点P，点S的坐标代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或，∴， 联立得：，解得：，∴， 又∵，∴轴，∴． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ，∴ 顶点坐标为 ，故选： A． 2．（2025·四川甘孜州·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．故选：B． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．∵，∴，故选C． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）：过点作于点． ，，．又，，． ．这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，．当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形，，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）．，． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降．故选：A． 5．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距，∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：．故m的值为16．故选B． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ，可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ，可得方程： ，因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ．故答案为： 4． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴； ∴当时，有最大值为；故答案为：． 8．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则；代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），；故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为，…依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为．故答案是：． 9．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点．①求该抛物线的解析式；②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或；(2) 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ，解得，∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为，∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有，∴或，解得或； （2）解：∵抛物线过点，，则， ∵对于任意实数，都有，∴对任意实数都成立， ，∴，，∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线，得，解得， ∴交点的横坐标分别为和，． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．；(2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【详解】（1）解：中，令，则，∴，令，则，∴，∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴，∴，∴抛物线的解析式为． 令，则，∴，或，∴． ∵∴顶点； （2）∵，，，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E， ∵轴，轴，∴ ，∵，∴为的中位线， ∴，∴，设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为， ∴，∴，∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设，∵四边形为矩形，，∴四边形，为矩形，，∴， ∵∴，∴，∴，∴， ∴矩形的面积 ∵，∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．∴， ∵，∴H为的中点，∴．同理，点G为的中点，∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设，∵四边形为矩形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴矩形的面积 ∵，∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴，∴点G为的中点，∵，∴为的中位线， ∴∴，∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 11．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标．(2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为(2)或 (3)或 【详解】（1）解：将，代入， ，解得，， ，当时，取最小值，最小值为，顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时：根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线，，， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大，将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图：直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得，解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ，， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ，解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得，直线的解析式为， 令，则,∴直线与轴交于，直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位，，， 由平移得，，四边形是平行四边形， 线段与交于点M，∴为线段的中点，， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G，∴由勾股定理可得， ，，且， ∵，∴，∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点，则，， 即解得：或（舍）∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移，作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵，∴，∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点，则，， 即解得：或（舍）∴； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $