第03讲 一元二次方程（3命题点+16题型+4突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“一元二次方程”核心模块，覆盖中考必考的概念解法、根的判别式、韦达定理及实际应用等考点，通过“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”的系统架构，梳理知识内在逻辑，设计“考点梳理+方法指导+真题训练”三阶教学流程，助力学生突破配方技巧、根与系数关系应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”模块的创新设计，如通过“新定义问题”培养抽象能力，“根的分布结合二次函数”强化推理意识，“营销问题”建模训练发展模型意识。特设“命题点-题型-变式”三级训练体系，配合成都近三年中考真题解析，分层练习满足不同层次需求，教师可据此精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力和数学思维品质。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 实数的分类 题型01 一元二次方程及相关概念 题型02 一元二次方程的解 题型03 解一元二次方程 题型04 换元法解一元二次方程 题型05 一元二次方程的判别式（判断根的情况） 题型06 一元二次方程的判别式（根据根的情况求参数） 命题点二 实数的有关概念与性质 题型01 运用根与系数的关系求根 题型02 运用根与系数的关系求代数式的值 题型03 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式对称） 题型04 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式不对称） 命题点三 （算术）平方根、立方根 题型01 一元二次方程的实际应用-增长率与传播问题 题型02 一元二次方程的实际应用-碰面（循环）问题 题型03 一元二次方程的实际应用-营销问题 题型04 一元二次方程的实际应用-几何图形问题 题型05 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 题型06 一元二次方程的实际应用-其他问题 05·重难突破·思维进阶难 33 突破一 一元二次方程中的新定义问题 突破二 一元二次方程根的分布（与二次函数结合） 突破三 代数式的最值问题（配方思想、判别式） 突破四 构造一元二次方程求代数式的值 06·优题精选·练能提分 41 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程与解法 成都卷 T18 成都卷 T20 （判别式） 成都卷 T18 （函数的交点） 成都卷 T25 成都卷 T8 （函数与坐标轴的交点） 成都卷 T18 （函数的交点） 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 根与系数的关系 成都卷 T26 （韦达定理） 成都卷 T20 （韦达定理） 成都卷 T25 （韦达定理） 掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能运用关系解决相关问题。 一元二次方程的应用 能根据具体问题列方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性 预命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系（韦达定理）等，题型一般以选填题和解答题主，分值在10分左右。一元二次方程的解法很少单独命题主要在一次函数与反比例函数交点、二次函数与坐标轴的交点中考查；而根与系数的关系则既有单独考查，也有在二次函数的压轴题中考查；近几年一元二次方程的实际应用则很少出现在真题中，但也需要大家重视，毕竟他也算是一个常规的考点。预计2026年成都中考还是会延续前两年的考试风格。 考点一 一元二次方程与解法 1.一元二次方程的概念 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 （2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适合于或形式的方程。 （2）配方法步骤： 1）整理成一般式，并化二次项系数为1； 2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； 3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4）把方程整理成的形式； 5）运用直接开平方法解方程。 （3）公式法： 1）把方程化为一般形式，即；2）确定的值；3）求出的值，判断有解无解； 4）将的值代入求解即可。 （4）解一元二次方程-因式分解 （1）因式分解法就是用因式分解求出方程的解的方法，此方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法。 （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式。 （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 1）当时，方程有两个不相等的实数根； 2）当时，方程有两个相等的实数根； 3）当时，方程没有实数根。 1．（2025·四川成都·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 3．（2025·四川成都·二模）已知是关于的方程的一个根，则 ． 4．（2025·四川成都·一模）解方程：(1)；(2) 考点二 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，（使用前提：）。 注意：要求一元二次方程的两根之和、两根之积，必须先把方程化成一般式，且满足，才用，．求解两根之和、两根之积，否则会导致错误。 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 考点三 一元二次方程的应用 1.一元二次方程的应用主要类型及常用数量关系式： （1）增长率问题（传播型问题）：增长率=增长量÷基础量． 设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则； 当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）图形面积问题：重点关注平移。 （4）动点问题：主要借助勾股定理或面积列一元二次方程求解。 1．（2025·成都·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率；(2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 3．（25-26九年级上·成都·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示）(2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 命题点一 一元二次方程与解法 ►题型01 一元二次方程及相关概念 满足是一元二次方程的条件有：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【典例】1．（24-25九年级上·成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【变式】2．（2025·四川成都·一模）关于的方程是一元二次方程，则 ． ►题型02 一元二次方程的解 一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）若是方程的解，则常数的值为（   ） A．12 B． C．2 D． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 【变式】2．（2025·成都·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 ►题型03 解一元二次方程 一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． (1)；(2)；(3)． 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）（1）计算：；         （2）解方程：． 【变式】3．（24-25九年级上·四川成都·期末）解下列一元二次方程：(1)；(2)． ►题型04 换元法解一元二次方程 换元法是解一元二次方程（或可化为一元二次方程的高次方程）的一种重要技巧，尤其适用于‌结构对称、含有重复代数式‌的方程。换元法的核心思想：将复杂的代数式用一个新变量（如 t）代替，使原方程转化为标准的一元二次方程，解出新变量后，再回代求原未知数。 【典例】1．（2025九年级下·成都·校考培优）已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】2．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． ►题型05 一元二次方程的判别式（判断根的情况） 1）在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； 2）在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0. 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的根的情况是（      ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． ►题型06 一元二次方程的判别式（根据根的情况求参数） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是(　　) A． B． C．-4 D．4 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【变式】1．（2025·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 命题点二 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 运用根与系数的关系求根 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知方程的一个根是3，则另一个根是 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）已知关于的方程的一个根是，则另一个根为 ． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． ►题型02 运用根与系数的关系求代数式的值 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． ►题型03 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式对称） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 【典例】1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【变式】3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． ►题型04 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式不对称） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中一根是另一根的2倍，则a的值为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的实际应用-增长率与传播问题 增长率的问题：，其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量。 传播问题：每一轮传播中，每个个体都会将影响传递给若干新个体，导致总数呈“指数增长”趋势，最终通过建立一元二次方程求解轮数或初始人数‌。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式】1．（2025·成都·二模）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校年给贫困学生每人元补贴，年给贫困学生每人元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． ►题型02 一元二次方程的实际应用-碰面（循环）问题 排列型（有序）——互赠、写信、打电话‌：每两人之间‌发生两次‌相互作用（A→B 和 B→A）。 公式：‌总次数=n(n−1)。 组合型（无序）——握手、比赛、互不认识‌：每两人之间‌只发生一次‌相互作用。 公式：‌总次数=。 【典例】1．（2025·成都·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式】1．（2025·成都·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手_____次；(2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手_____次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【变式】2．（2025·成都·校考二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 一元二次方程的实际应用-营销问题 一元二次方程在营销问题中应用广泛，核心是‌通过调整售价和销量的关系，建立利润方程‌。 利润问题核心公式‌：总利润 = 单件利润 × 销售数量；单件利润 = 售价 - 进价。 常见场景‌：商品降价促销、涨价控量、阶梯定价等。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．(1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件．(1)直接写出y与x的函数表达式；(2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ ►题型04 一元二次方程的实际应用-几何图形问题 几何图形问题核心是‌通过面积、周长或体积关系建立方程‌。 【典例】1．（2025·成都·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示）(2)若饲养场的面积为，求的值． 【变式】1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． ►题型05 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 动点问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形．(2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．()。(1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似?(2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． ►题型06 一元二次方程的实际应用-其他问题 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 【变式】1．（2025·成都·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_；(2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【变式】2．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 突破一 一元二次方程中的新定义问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）法国数学家韦达在探究二次项系数为的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为），且其中一个根等于另外一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于，两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．若是“倍根方程”，则的值是 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．(1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【变式】2．（2025·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 突破二 一元二次方程根的分布（结合二次函数） 【典例】（2025·成都·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 突破三 代数式的最值问题（配方思想、判别式） 【典例】（2025·成都·三模）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【变式】1．（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，则M的最小值为 ． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 突破四 构造一元二次方程求代数式的值 【典例】1．（2025·成都·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·成都·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 2．（2025·四川成都·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 4．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 6．（25-26九年级上·成都·期中）若对x恒成立，则方程的两根之积为 ． 7．（2025·成都·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 8．（2025·成都·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）解方程：(1)；(2)． 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是．(1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 12．（2025·四川成都·二模）某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 1．（2025·四川成都·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 4．（2025·成都·校考三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 5．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 5．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 8．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 10．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值．(2)求证：． 12．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 实数的分类 题型01 一元二次方程及相关概念 题型02 一元二次方程的解 题型03 解一元二次方程 题型04 换元法解一元二次方程 题型05 一元二次方程的判别式（判断根的情况） 题型06 一元二次方程的判别式（根据根的情况求参数） 命题点二 实数的有关概念与性质 题型01 运用根与系数的关系求根 题型02 运用根与系数的关系求代数式的值 题型03 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式对称） 题型04 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式不对称） 命题点三 （算术）平方根、立方根 题型01 一元二次方程的实际应用-增长率与传播问题 题型02 一元二次方程的实际应用-碰面（循环）问题 题型03 一元二次方程的实际应用-营销问题 题型04 一元二次方程的实际应用-几何图形问题 题型05 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 题型06 一元二次方程的实际应用-其他问题 05·重难突破·思维进阶难 33 突破一 一元二次方程中的新定义问题 突破二 一元二次方程根的分布（与二次函数结合） 突破三 代数式的最值问题（配方思想、判别式） 突破四 构造一元二次方程求代数式的值 06·优题精选·练能提分 41 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程与解法 成都卷 T18 成都卷 T20 （判别式） 成都卷 T18 （函数的交点） 成都卷 T25 成都卷 T8 （函数与坐标轴的交点） 成都卷 T18 （函数的交点） 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 根与系数的关系 成都卷 T26 （韦达定理） 成都卷 T20 （韦达定理） 成都卷 T25 （韦达定理） 掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能运用关系解决相关问题。 一元二次方程的应用 能根据具体问题列方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性 预命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系（韦达定理）等，题型一般以选填题和解答题主，分值在10分左右。一元二次方程的解法很少单独命题主要在一次函数与反比例函数交点、二次函数与坐标轴的交点中考查；而根与系数的关系则既有单独考查，也有在二次函数的压轴题中考查；近几年一元二次方程的实际应用则很少出现在真题中，但也需要大家重视，毕竟他也算是一个常规的考点。预计2026年成都中考还是会延续前两年的考试风格。 考点一 一元二次方程与解法 1.一元二次方程的概念 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 （2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适合于或形式的方程。 （2）配方法步骤： 1）整理成一般式，并化二次项系数为1； 2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； 3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4）把方程整理成的形式； 5）运用直接开平方法解方程。 （3）公式法： 1）把方程化为一般形式，即；2）确定的值；3）求出的值，判断有解无解； 4）将的值代入求解即可。 （4）解一元二次方程-因式分解 （1）因式分解法就是用因式分解求出方程的解的方法，此方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法。 （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式。 （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 1）当时，方程有两个不相等的实数根； 2）当时，方程有两个相等的实数根； 3）当时，方程没有实数根。 1．（2025·四川成都·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∴，∴故选：B 2．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，∴且，列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根，∴，∴．故答案为：6． 4．（2025·四川成都·一模）解方程：(1)；(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：，，， 则或，所以， （2）解：，，，， 则或，所以， 考点二 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，（使用前提：）。 注意：要求一元二次方程的两根之和、两根之积，必须先把方程化成一般式，且满足，才用，．求解两根之和、两根之积，否则会导致错误。 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，则 ∴ 故答案为：7 2．（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程两根为、， ∴，，∴，∴，故答案为：． 3．（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，∴，， ∴ ，故答案为：． 考点三 一元二次方程的应用 1.一元二次方程的应用主要类型及常用数量关系式： （1）增长率问题（传播型问题）：增长率=增长量÷基础量． 设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则； 当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）图形面积问题：重点关注平移。 （4）动点问题：主要借助勾股定理或面积列一元二次方程求解。 1．（2025·成都·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设九（1）班共有x名学生，由题意得：，故选：B． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率；(2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为(2)售价应降低元 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：，解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，根据题意列方程得：， 整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：售价应降低元． 3．（25-26九年级上·成都·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示）(2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为8(3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【详解】（1）解：依据题意，，解得，故答案为：； （2）解：根据题意得，即， 化简得，解得，， 当时，，（舍去），； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则，化简得：， ，无解，∴苗圃的面积不可以达到． 命题点一 一元二次方程与解法 ►题型01 一元二次方程及相关概念 满足是一元二次方程的条件有：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【典例】1．（24-25九年级上·成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴，∴，故选A． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（   ） A．3，1 B．，1 C．3， D．1， 【答案】A 【详解】一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1．故选:A． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，∴且，∴．故答案为：． ►题型02 一元二次方程的解 一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）若是方程的解，则常数的值为（   ） A．12 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当方程可化为．∴方程必有一根为． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：．故答案可以是：（答案不唯一）． 【变式】2．（2025·成都·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是．故选：A． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【详解】∵是方程的实数根，∴， ∴将方程两边除以（），得，即． 平方得，展开后为，∴．故选：C． ►题型03 解一元二次方程 一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)，(2)，(3)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 整理，可得 ∴，； （3）解： ∴，． 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 【答案】， 【详解】解∶， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）（1）计算：；         （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）原式 ； （2） 或 解得：． 【变式】3．（24-25九年级上·四川成都·期末）解下列一元二次方程：(1)；(2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴，或， ∴，； （2）解：， 整理得， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． ►题型04 换元法解一元二次方程 换元法是解一元二次方程（或可化为一元二次方程的高次方程）的一种重要技巧，尤其适用于‌结构对称、含有重复代数式‌的方程。换元法的核心思想：将复杂的代数式用一个新变量（如 t）代替，使原方程转化为标准的一元二次方程，解出新变量后，再回代求原未知数。 【典例】1．（2025九年级下·成都·校考培优）已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为 ． 【答案】 【详解】，， 或 （舍去），， 在中，，，（负值舍去）， 该三角形的斜边长为．故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或，解得或，∴新方程的解为，．故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． 【答案】 【详解】解：原方程变形为：， 设，于是原方程变为， 整理，得，解得，， 当时，则，即，解得，； 当时，则，即，，无解， 经检验，，是原方程的根，．故答案为：． ►题型05 一元二次方程的判别式（判断根的情况） 1）在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； 2）在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0. 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：，，，， ，方程没有实数根，故选：C． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程的根的情况是（      ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：，， 方程有两个不相等的实数根．故选：D． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，，，则，故无实数根，不符合题意； B、中，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，则，无实数根，不符合题意； D、中，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D． ►题型06 一元二次方程的判别式（根据根的情况求参数） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是(　　) A． B． C．-4 D．4 【答案】D 【详解】解：由条件可知，解得．故选：D． 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【详解】解：方程化为， 根据题意得，所以， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形．故选：C． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程两边平方并整理，得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根，，． ，且有两个不相等的实数根，方程的两个实数根的积， ，即．实数的取值范围为．故选：D． 命题点二 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 运用根与系数的关系求根 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知方程的一个根是3，则另一个根是 ． 【答案】/ 【详解】解：设方程的另一个根为，则有，∴， ∴方程的另一个根为．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·一模）已知关于的方程的一个根是，则另一个根为 ． 【答案】 【详解】解：设方程的另一个根为，，，故答案为： ． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】/ 【详解】解： ∵是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为 ∴根据根与系数的关系得，解得， 所以方程的另一个根为．故答案为：． ►题型02 运用根与系数的关系求代数式的值 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2029 【详解】解：因为、是一元二次方程的两根，所以， 所以， 故答案为：2029． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个实数根，，，， 故答案为： 【变式】2．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，，∴， ∵．故答案为：． ►题型03 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式对称） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 【典例】1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，， ∵，∴，∴， 整理得：，解得：，， 当时，原方程为，∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为，∴，符合题意舍去， 综上所述：，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且， ∴，解得． 又是方程的两个根，则，， ∵，∴，∴， 解得，（舍去），故．故答案为：3． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，解得：， 根据根与系数的关系得, ，， ，解得：， ，，故答案为：． 【变式】3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 【答案】(1)且(2)的值为 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，，即，解得，∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵，∴， ，，∴或， 解得（且，故舍去），，∴的值为． ►题型04 运用根与系数的关系求参数值（已知代数式不对称） 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，∴， 又∵，得，解得：，∴，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中一根是另一根的2倍，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：设其中一根为，另一根为， 则，解得，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴或， ∵，∴， ∵，∴，解得．故选：C． 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的实际应用-增长率与传播问题 增长率的问题：，其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量。 传播问题：每一轮传播中，每个个体都会将影响传递给若干新个体，导致总数呈“指数增长”趋势，最终通过建立一元二次方程求解轮数或初始人数‌。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【答案】(1)每张零售电影票的原定价为元(2)原定零售票价平均每次的下降率为 【详解】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得， ，解得：，经检验，是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为元． （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m， 由题意得：，解得，（不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人(2)人 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即，解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人），故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式】1．（2025·成都·二模）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校年给贫困学生每人元补贴，年给贫困学生每人元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为，由题意得，，故选：． 【变式】2．（2025·成都·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得：．选：C． 【变式】3．（24-25九年级上·成都·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，故选D． ►题型02 一元二次方程的实际应用-碰面（循环）问题 排列型（有序）——互赠、写信、打电话‌：每两人之间‌发生两次‌相互作用（A→B 和 B→A）。 公式：‌总次数=n(n−1)。 组合型（无序）——握手、比赛、互不认识‌：每两人之间‌只发生一次‌相互作用。 公式：‌总次数=。 【典例】1．（2025·成都·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1)(2)45个 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手， 则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍）答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式】1．（2025·成都·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3(2)(3)10人(4)琪琪的思考是对的，见解析 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次，故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次，则，解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设兴趣小组有人，每名成员需要给其他人各赠送一张卡片，因此每人赠送张卡片．全组共有人，总赠送卡片数为． 根据题意，总卡片数为306张，故方程为，故选：B． ►题型03 一元二次方程的实际应用-营销问题 一元二次方程在营销问题中应用广泛，核心是‌通过调整售价和销量的关系，建立利润方程‌。 利润问题核心公式‌：总利润 = 单件利润 × 销售数量；单件利润 = 售价 - 进价。 常见场景‌：商品降价促销、涨价控量、阶梯定价等。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．(1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 【答案】(1)(2)售价应为元． 【详解】（1）解：根据题意可得，，即 （2）设售价为元，每天能售出斤， 由题意可得，，解得 ∵要获利，∴，不符合题意，舍去，∴售价应为元． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件．(1)直接写出y与x的函数表达式；(2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量． 【答案】(1)；(2)这天该服装的销量为50件． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：由题意得：， 整理得：，解得：，不合题意，舍去， ，答：这天该服装的销量为50件． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 【答案】(1) (2)30元 【详解】（1）解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价元/盆 18 20 22 26 30 日销售量盆 54 50 46 38 30 观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为盆，售价为元， 日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式为， 把，代入得，解得， 日销售量（盆与售价（元盆）间的关系式； （2）解：根据题意得：，解得， 小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为30元时，每天能够获得利润450元． ►题型04 一元二次方程的实际应用-几何图形问题 几何图形问题核心是‌通过面积、周长或体积关系建立方程‌。 【典例】1．（2025·成都·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示）(2)若饲养场的面积为，求的值． 【答案】(1)米(2) 【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米，故答案为：米； （2）解：由题意得，，整理得，，解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意；∴的值为． 【变式】1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【答案】 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组，解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵，∴，即，可得方程组，无解； ③如图3，设，则， ∵，∴，即.可得方程组 解得或（不成立）． ， ∴；综上所述，的长为．故答案为：. ►题型05 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 动点问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。 【典例】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：，即，整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，，的值为．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形．(2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，，依题意，，∴， ∵，∴，∴ 当时，四边形是平行四边形∴解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵，∴，∴， 又，则，∴． ∵，∴四边形是梯形，，∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的．∴． ∴．解得：或． ∵．∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时，∵，∴ ∵，∴，∴， 又，则，解得：．∴当时，． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．()。(1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似?(2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似(2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【详解】（1）解：在中， ∵ ，∴当时，△CQP∽△CBA，则，即，解得； 当时，△CQP∽△CAB，则 ，即，解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵，∴，∴ ，即∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ，∴ ，整理得, ∵，∴此时方程无实数解，∴四边形与的面积不能相等． ►题型06 一元二次方程的实际应用-其他问题 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 【答案】D 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得： ，整理得：， ∴，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得：，解得：， ∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确；故选：D． 【变式】1．（2025·成都·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_；(2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)；(2)的值为． 【详解】（1）解：故答案为：； （2）解：由题意得，，整理得：， 解得：，（舍去），∴的值为． 【变式】2．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：，整理得：， 解得：（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5． 突破一 一元二次方程中的新定义问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）法国数学家韦达在探究二次项系数为的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为），且其中一个根等于另外一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于，两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．若是“倍根方程”，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：，解得或， 是“倍根方程”，或， 解得或．故答案为：或． 【变式】1．（2025·成都·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．(1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析(2) 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下：由方程可得，，，， ∴，∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程，∴，∴． 【变式】2．（2025·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或；(2)，该方程的“幸运数”为(3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即，故答案为：； 依题意，， 整理得，，解得，，故答案为：或； （2）解：∵，∴， ∵，∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数， ∴或或，解得或或， ∵为整数，∴，当时，方程化为， ∴；∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程”∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴∴∴，∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时，综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时，∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为：解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为：解得：综上所述，或 突破二 一元二次方程根的分布（结合二次函数） 【典例】（2025·成都·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，∵，∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值，∴， 对于一元二次方程，解得，，∴，故选：A． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴且， ∴，解得， ∵，，又∵，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴a的取值范围是．故选：D． 【变式】2．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 【答案】B 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，，∴，∴ 设，则，， 假设，，，， ，∴， ∵，，，∴，， ∴，与产生矛盾，所以假设不成立，故C错误； 假设，，，，，∴， ∵，，，∴，， ∴，与产生矛盾，所以假设不成立，故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于，设， ∵∴可设，此时，，故选：B. 突破三 代数式的最值问题（配方思想、判别式） 【典例】（2025·成都·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析(2)当时，y有最大值，最大值为(3)见解析 【详解】（1）解： ． （2）解：， ，当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 【变式】1．（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c均为正实数，且， ∴，，∴b，c是方程的两根， ∵方程有两个实数根，∴，即 ∵，∴，即， ∵，∴，即，即正实数a的最小值为．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：，，， 当时，原式取最小值2，故答案为：2． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；③7；（3）存在， 【详解】解：（1），∴，解得：，（满足）， ∴这个方程的衍生点M的坐标为，故答案为：； （2）①∵，∴， ∴，解得，（满足）， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ②∵该方程的衍生点M的坐标为， ∴所有衍生点M都在同一条直线上，这条直线的解析式为，故答案为：； ③∵，， ∴， ∵，∴，∴，∴的最大值为7； （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上， 则关于x的方程的两个根为，，∴，解得：， 故存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，此时 突破四 构造一元二次方程求代数式的值 【典例】1．（2025·成都·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根，解方程得， ∴分情况讨论：①若，则； ②若，则若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【详解】解：①当时：∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时：∵a和b是方程的两个根，∴，， 原式， ∵，∴分子，分母， ∴原式，综上所述，原式的值为2或．故选：C． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵①，②， 由②得③，得，， ，，， ∵，∴，∴．故选：C． 1．（2025·成都·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 【答案】D 【详解】解：方程化为， ∵，∴方程有两个不相等的实数解，∴选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为，∴若方程有一个根为，则另一个根为， ∴选项、选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为，∴选项的说法不正确，符合题意，故选：． 2．（2025·四川成都·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，，，，故选：A． 3．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． 4．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【详解】解：，方程有两个不相等的实数根， 设是一元二次方程的两个实数根， ，，两根的符号相反， 故ABD错误，不符合题意；C正确，符合题意．故选：C． 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，即． 将其代入，得，即， ∵m，n是一元二次方程的两根，∴，． 将其代入，得．解得，故答案为． 6．（25-26九年级上·成都·期中）若对x恒成立，则方程的两根之积为 ． 【答案】 【详解】解：∵对x恒成立， ∴，，解得：，， 代入方程得：， 所以方程的两根之积为，故答案为：． 7．（2025·成都·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 【答案】 分式 验根 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：，即，解得：， 检验：当时，， 当时，，所以原方程的解为； 这个方程是分式方程，需要验根，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将一无所有． 8．（2025·成都·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时，则方程有一个根是，可得：，解得：； 当等腰的底边长是时，则有，则方程有两个相等的根， ，解得：； 当时，三边长为1、3、3，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为2、2、3，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1） ∴ ∴，； （2） ∴或 ∴，． 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：，解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵，∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)(2)100套 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元，∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套，由题意得：， 整理得：，解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 12．（2025·四川成都·二模）某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)售价应降低30元(2)商家每天获得的最大利润为2025元 【详解】（1）解：设售价应降低元，由题意得． ，，解得，， 又要减少库存，，答：售价应降低30元． （2）解：设商家每天获得的利润为元， ，当时，元， 答：商家每天获得的最大利润为2025元． 1．（2025·四川成都·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 【答案】5或-1 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意； 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意．综上所述，或． 2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、令， ∵二次项系数，抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即，选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为，则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为，选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即，选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为，则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于，选项结论错误，不符合题意；故选：A． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ．故答案为：2030． 4．（2025·成都·校考三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，，解得，， 又因为n为正整数，所以，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案：12． 5．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【答案】 / 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根，∴ 即∴故答案为：． 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此．故判别式恒为负数，方程无实数根，故选：C． 2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：，故选：B． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 4．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，，∴， ∴，故选：C． 5．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上，此时，， ∴，∴，故①正确； ②当时，点M在上，此时，， ∴，∴， ∵，∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时，∵的面积为，∴， 解得：（舍去），∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，，∴，即， 此时，解得：，∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．故选：C 6．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，∴，故答案为：． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 8．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ，，，， 将两式相加得， ，，，，解得：， ，故答案为：． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 10．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值．(2)求证：． 【答案】(1)，；(2)详见解析． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ，∴，即， 解方程得，，，故，； （2）证明：方程可化为， ∵，∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵，∴． 12．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1)(2)60元 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得，∴． 整理，得．解得，． ∵，∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $