考点11 圆 专项练习 2026年中考数学一轮基础通关手册（安徽专用）

圆 1.圆的基本性质 -圆的对称性：轴对称（过圆心的直线)、中心对称（圆心为对称中心）。 -垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂 直于弦。 -弧、弦、圆心角的关系：同圆或等圆中，等弧对等弦、等圆心角；三者知一推二。 一圆周角定理及推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半；直径所对的圆周角 为直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 2.点、直线、圆与圆的位置关系 -点与圆的位置关系：设圆半径为r,点到圆心距离为d,d>r(外)、d=r（上)、d<r（内)。 -直线与圆的位置关系：d>r(相离)、d=r(相切)、d<r(相交)；切线判定（经过半径外端且 垂直于半径)和性质（切线垂直于过切点的半径）。 一圆与圆的位置关系（了解层面)：外离、外切、相交、内切、内含，根据圆心距与两圆半径和 差判断。 3.切线的相关证明与计算 -切线证明：连半径，证垂直（常见思路：利用全等、直角三角形、平行线性质）。 -切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹 角。 -常考题型：切线证明+线段长度计算（结合勾股定理、相似三角形）。 4.圆与三角形、四边形的综合 -三角形的外接圆与内切圆：外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点；内切圆圆心（内心） 是三条角平分线的交点。 -圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 5.弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 弧长公式：1=需(n为圆心角度数，R为圆半径)。 扇形面积公式：S=器=R。 - 圆锥的侧面展开图：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；圆锥侧面积S=πr】(为底面半径， 1为母线长)。 -安徽中考高频考点：扇形面积、圆锥侧面积的实际计算（填空/解答题）。 圆的基本概念与性质 一、单选题 1.下列命题中，正确的结论有() ①顶点在圆周的角是圆周角；②相等的圆心角，所对的弧也相等； ③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在以AB为直径的OO中，C为OB上一点.以点C为圆心，BC长为半径画弧，与AB相交于点 D:分别以点8，D为圆心，大于)D为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点E:画直 线EC与⊙0相交于点F,G,连接AG.若OA=5,BC=2,则线段AG的长为() E B G A.4V5 B.8 C.5v3 D.10 3.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，点C在线段AB上，AC=2BC,以AB,AC,BC为直径的三个圆的面积分别为s,S,S2,则 S+S2的值为(） S 2 C. 9 D. 5.下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等； ⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.正确的是() A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②④⑤ 6.下列说法中正确的是() A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径一定垂直于弦 C.过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7.下列说法正确的个数有() ①半径相等的两个圆面积也相等；②用4个圆心角均为90°的扇形，一定可以拼成一个圆；③将3：5的 前项和后项都加上4，则比值不变；④一件商品进价120元，商场先按进价提价10%，然后再降价10% 销售，商场不赔不赚；⑤若苹果和桔子的重量之比为4：5，则苹果比桔子少 5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列说法错误的是() A.半径相等的两个半圆是等弧 B.面积相等的两个圆是等圆 C.长度相等的两条弧一定是等弧 D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 9.下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.相等的圆心角所对的弧是等弧 C.在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等D.三角形的外心是三个内角平分线的交点 10.下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等： ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.扇形0AB中，∠AOB=90°，点C是OB上一点，CB=1,OC=2,连接AC,将a0AC绕点C顺时针 旋转，得到△EFC,使点E刚好落在AB上，则AF的值为() D. 12.下列命题正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.等弧对等弦 C.长度相等的弧是等弧 D.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 13.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接PA,PB,PC,若 ∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是() D B A.2-5 B.213-4 C.6 D.6-V5 垂径定理、圆周角定理 一、单选题 1.将半径为10的O0如图折叠，折痕AB长为16，C为折叠后AB的中点，则0C的长为() A.1 B.2 C.5 D.2 2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材 埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题.如图，CD为OO的直径，弦AB⊥CD于点E,ED=4, AB=16,则OE的长是() E D A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图，线段AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E.若LODC=50°，则∠BAC的度数为() C 夕 A.50° B.25° C.40° D.20° 4.如图，在O0中，CD是⊙0上的一条弦，直径AB⊥CD,连接AC,OD,∠A=26°，则∠D的度数是 () A.30° B.38° C.48 D.64° 5.如图，在平面直角坐标系中，以点G(0,)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于C, D两点，E为OG上一动点，CF⊥AE于点F,则点E在OG上运动过程中，线段FG的长的最小值为 () E D A.V5-2 B.1 C.5-1 D.√2-1 6.如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于E点，BE=1,AE=5,∠BED=30°，则CD的长为() BE A.2√2 B.3V2 C.4W2 D.52 7.如图，AD是O0的直径，弦BC⊥AD于点E,若AB=BC=12,则0C的长为() A E A.2 B.25 C.4 D.45 8.下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.相等的圆心角所对的弧也相等 C.等弧所对的弦相等 D.过平面上三点可以画一个圆 9.如图，直径为260mm的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB=240mm,若油面下降 70mm后，截面上有油部分的宽度是() A -240mm→ A.50mm B.100mm C.120mm D.130mm 1O.如图，AB是OO的直径，点D是AC的中点，过点D作DF⊥AB于点E,交O0于另一点F.若 AC=12,AE=3,则⊙0的半径是() C E k月 C.6 D.10 11.如图，OA交⊙0于点B,AD切⊙0于点D,点C在⊙0上.若∠A=40°，则∠C为() C D A.15° B.20 C.25 D.30° 12.如图，在O0中，弦AB与直径CD相交于点F,点F为AB的中点，连接AD,点E在O0上，且 BE=BC,连接AE,交CD于点G,若LD=a,则LDGE=() D E B A.30°+a B.15°+a C.90°-a D.90°-2a 13.如图，AC、BD是O0的弦，延长AC、BD交于点P,连接OA、OB,若LP=40°，∠A0B=120°， 则CD所对的圆心角的度数是() C D Q B A.50° B.60° C.30° D.40° 14.如图，四边形ABCD内接于O0,延长AD至点E,己知∠A0C=140°，则LCDE=() D E B A.60° B.70° C.80° D.1009 15.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠BCD=132°，则∠BOD的大小为() A A.96° B.90° C.76° D.48 16.如图，PA,PB分别与O0相切于A,B两点，点C在⊙0上，若∠C=55°，则∠P的度数为() A P Q B A.55° B.110° C.80° D.70° 二、填空题 17.如图，ABC内接于⊙O,AB是O0的直径，D为劣弧AC上的点，连接AD、CD,且AD=CD,连 接0D,与AC交于点M.若⊙0的半径是6.CB=4.则AD的长是· D 18.如图，点O为平行四边形ABCD内一点，以点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过点B和点C,且 0A1AD,AB=13,AD=10,则O0的半径为· D B 19.如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=6m,高CD=8m,则此圆的半径长 为m. 20.如图，在⊙0中，点C在弦BD上，半径0A∥BD,AC∥OD,若BC=2,AC=4,则ABC的面 积为 B 21.如图，在半径为3的O0中，AB是直径，AC是弦，OD⊥AC交O0于点D,AC与BD交于点E. 若E是BD的中点，则AF的长是 B 22.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC,BC分别相 交于点D,E,则DE的长度为 23.如图，PA,PB分别与圆O相切于AB两点，点C为圆O优弧AMB上一点，连接AC,BC,若∠P=84°， 则∠ACB的度数为 。0 C B 24.如图，AB是O0的直径，AB=6,C为半圆O的三等分点（靠近点A),P为00上一动点.则 ∠ABC的度数是 ；若D为AP的中点，则线段CD的最小值为· D 25.如图，⊙0是ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点D,E,F,∠B=42°，P是⊙0上一点， 则∠DPE的度数是· 切线的判定与性质 一、解答题 1.如图，AC与O0相切于点C,AB经过O0上的点D,BC交O0于点E,DE∥OA,CE是OO的直 径. D B (I)求证：AB是OO的切线； (2)若BD=4,CE=6,求AC的长. 圆 1． 圆的基本性质 - 圆的对称性：轴对称（过圆心的直线）、中心对称（圆心为对称中心）。 - 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦。 - 弧、弦、圆心角的关系：同圆或等圆中，等弧对等弦、等圆心角；三者知一推二。 - 圆周角定理及推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 2． 点、直线、圆与圆的位置关系 - 点与圆的位置关系：设圆半径为r，点到圆心距离为d，d>r（外）、d=r（上）、d<r（内）。 - 直线与圆的位置关系：d>r（相离）、d=r（相切）、d<r（相交）；切线判定（经过半径外端且垂直于半径）和性质（切线垂直于过切点的半径）。 - 圆与圆的位置关系（了解层面）：外离、外切、相交、内切、内含，根据圆心距与两圆半径和差判断。 3． 切线的相关证明与计算 - 切线证明：连半径，证垂直（常见思路：利用全等、直角三角形、平行线性质）。 - 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 - 常考题型：切线证明+线段长度计算（结合勾股定理、相似三角形）。 4． 圆与三角形、四边形的综合 - 三角形的外接圆与内切圆：外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点；内切圆圆心（内心）是三条角平分线的交点。 - 圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 5． 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 - 弧长公式：（n为圆心角度数，R为圆半径）。 - 扇形面积公式： - 圆锥的侧面展开图：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；圆锥侧面积（r为底面半径，l为母线长）。 - 安徽中考高频考点：扇形面积、圆锥侧面积的实际计算（填空/解答题）。 圆的基本概念与性质 一、单选题 1．下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 2．如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可． 【详解】解：连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 3．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 4．如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的比例，圆的面积公式，得到各圆半径是解题的关键． 设，则，，再根据圆的面积公式的计算求解即可． 【详解】解：设， ， ，， 则，，， ． 故选：C． 5．下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断． 根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤． 【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确； 弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误； 等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误； 因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确； 正确的是①④⑤． 故选：C． 6．下列说法中正确的是（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于弦 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查圆、矩形和平行四边形的性质．选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；选项B错误，因为平分弦的直径不一定垂直于弦（如弦为直径时）；选项C不正确，只有在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；选项D正确，因为对角线互相平分可得平行四边形，对角线相等可得矩形． 【详解】∵ A： 长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，故不是等弧，∴ A错误，不符合题意； ∵ B∶ 当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴ B错误，不符合题意； ∵ C∶ 在同一平面中，过一点（无论点在直线上还是外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，∴原说法没有限制在同一平面内， C错误，不符合题意； ∵ D∶ 对角线互相平分的四边形为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 7．下列说法正确的个数有（   ） ①半径相等的两个圆面积也相等；②用4个圆心角均为的扇形，一定可以拼成一个圆；③将的前项和后项都加上4，则比值不变；④一件商品进价120元，商场先按进价提价，然后再降价销售，商场不赔不赚；⑤若苹果和桔子的重量之比为，则苹果比桔子少． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形的知识，比的应用以及百分数的应用，判断每个说法的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①∵圆的面积公式为，半径相等则面积相等，∴正确． ②∵扇形的半径可能不相等，即使圆心角均为，也不一定能拼成一个圆，∴错误． ③∵原比值，加4后为，∴比值是变化的，错误． ④∵提价后为元，再降价为 元 元，∴亏损，错误． ⑤∵苹果与桔子重量比为，设苹果重，桔子重。苹果比桔子少的重量为，占桔子重量的 ，∴ 正确． 综上，正确说法有①和⑤，共2个． 故选B． 8．下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，逐项判断正误． 【详解】解：∵ 选项A：不共线的三点确定一个圆，共线的三点不能确定一个圆，∴ A错误； ∵ 选项B：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴ B错误； ∵ 选项C：在同圆中，半径相等，相等的弦所对的圆心角相等，∴ C正确； ∵ 选项D：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，内心才是角平分线的交点，∴ D错误． 故选：C． 10．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 11．扇形中，，点是上一点，，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，使点刚好落在上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由旋转性质可知，，，所以，证明，故有，通过勾股定理得，然后代入即可求解． 【详解】解：连接， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．等弧对等弦 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念和三角形内心的性质，根据圆的性质和三角形内心的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，该选项命题错误，不符合题意； 、等弧所对的弦相等，该选项命题正确，符合题意； 、长度相等的弧不一定是等弧，该选项命题错误，不符合题意； 、内心是角平分线交点，到三边距离相等，到顶点距离不一定相等，该选项命题错误，不符合题意； 故选：． 13．如图，在矩形中，，，点P在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、圆外一点到圆上点的距离最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 由矩形性质得，结合，推出，故点在以AB为直径的半圆上；取AB中点，连接OC，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值，得PC的最小值为． 【详解】解：在矩形中，，即． 因为， 所以， 故． 取AB的中点，则，即点在以为圆心、为半径的半圆上． 连接，在中，，， 由勾股定理得：． 根据圆的性质与三角形三边关系得：， 当、、共线时，PC取得最小值（如下图），最小值为． 故选：B． 垂径定理、圆周角定理 一、单选题 1．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选：D． 2．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 连接，利用垂径定理可知，故可得出，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：，， ， 连接， ∵线段是的直径，弦于点E． ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解本题的关键．连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解． 【详解】解：连接， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂径定理， 连接，作，连接，由垂径定理得，再根据勾股定理求出即可求出，然后根据“等边对等角”得出，可得，接下来说明点F在以为直径的上运动，根据三角形的三边关系得，即点F在的延长线上时，的长最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，过点G作，于点M，连接， ∵ ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 点F在以为直径的上运动， ∴， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：C. 6．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的对称性和解直角三角形，根据垂径定理可知，，结合圆周角定理，进而可求得，，据此即可求得答案． 【详解】∵是的直径，弦， ∴，． ∴． ∴在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 故选：D 8．下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、等弧的性质以及确定圆的条件． 根据圆的基本性质，垂径定理、圆心角与弧的关系，逐一判断即可． 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误； 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确； 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误； 故选：C． 9．如图，直径为的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽，若油面下降后，截面上有油部分的宽度是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定圆的半径，再通过原油面的弦长求出原弦心距；然后根据油面下降的高度得到新弦心距，最后利用勾股定理求出新弦长的一半，进而得到新弦长． 【详解】解：如图所示，过圆心作于点， ∵圆柱形油槽截面圆的直径为， ∴半径， ∵油面宽， ∴， 在中，由勾股定理， 若油面下降后，设下降后油面为，过圆心作于点， ∴新的油面到圆心的距离变为， 在中，由勾股定理， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的结合应用．通过垂径定理将弦长转化为直角三角形的直角边，再利用勾股定理计算弦心距或弦长，关键在于理解油面下降时弦心距的变化规律． 10．如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 11．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直于切线，圆周角定理及直角三角形两锐角互余的性质．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的推理，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 13．如图，、是的弦，延长、交于点，连接、，若，，则所对的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）和三角形外角性质，熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 通过圆周角与圆心角的关系，结合三角形外角性质，建立已知角与所求弧对应圆心角的联系． 【详解】解：连接、、． ∵所对的圆心角是， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角． 故选：D． 14．如图，四边形内接于，延长至点，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 15．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 16．如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则． 故选D． 二、填空题 17．如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 18．如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 19．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据题意，可知，易得，设此圆的半径长为，则，，在中，由勾股定理可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 根据题意，可知， ∵，， ∴， 设此圆的半径长为，则， ∴， ∴在中，可有， ∴，解得， 即此圆的半径长为． 故答案为：． 20．如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定是解题的关键；过点作于点，则有，然后可得四边形是菱形，则有，，进而根据勾股定理及三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 21．如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．由是的直径，得到，由得，，则，通过证明，得到 ，， 从而求得的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：是的直径，的半径为， ，， 交于点， ，， 是的中位线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 22．如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，则有，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； 故答案为． 23．如图，分别与圆相切于两点，点为圆优弧上一点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接切点和圆心是解题的关键．连接，根据切线的性质得，由四边形的内角和求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 24．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是________；若D为的中点，则线段的最小值为________． 【答案】 /30度 【分析】如图所示，连接，首先求出，然后利用圆周角定理即可求出的度数；连接，，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图所示，连接， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴ ∴； 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，， 当点D在上时，的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴． ∴线段的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆上一点到圆外一点最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 25．如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是______． 【答案】/69度 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆，分别切，，于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵P是上一点， ∴； 故答案为：． 切线的判定与性质 一、解答题 1．如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 3．如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1），利用等腰三角形性质可知，，因为是的切线，所以，则可证，题目可解； （2）设半径为，在中用勾股定理可求出半径，设，在中利用勾股定理求出，则可求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵在上， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中， ∵ ∴， 解得， ∴， 设，在中， ∵， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴． 4．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 5．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆的切线的性质定理和判定，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用圆的半径相等得到，根据切线的性质得，即可证明； （2）连接，由，，得到，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的切线，切点是点D， ∴， ∴； （2）连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． 7．如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为E，如图， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点B， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， 根据勾股定理，得， ∵，均为的切线，切点分别为点B和点E， ∴， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得，即， ∴． 8．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 是等腰三角形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 9．如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得垂直平分，得到，进而可证，得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴， ∵是半径， ∴ 与相切． 10．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 11．如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查圆的切线判定定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，即，再由，为半径，得到是的切线，即可解答； （2）连接，证明是等边三角形，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∵，为半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图 ∵是的直径 ∴， 则 ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴． 13．如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，先根据菱形的性质可得，根据圆的切线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，记与的另一个交点为，连接，先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵切于点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接， ∵为的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵切于点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 14．如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是上的一点， 是的切线； （2）解：如图，连接， 、是的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 15．如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2）解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 弧长与扇形面积的计算 一、单选题 1．如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，熟练运用数形结合思想是解题的关键．由为的直径，是的切线，可得，进而有，由，得，从而有，则有，，根据阴影部分的面积=半圆面积计算出即可． 【详解】解： ∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：D． 2．如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形面积、勾股定理、含直角三角形、等边三角形的判定与性质． 先利用勾股定理得到矩形长、宽，再判定是等边三角形，求出，间接表示不规则图形面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及扇形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：，， 在中，由可知， 则勾股定理可得， ， 连接交于，如图所示： 由矩形性质可知，则是等边三角形， ， 要打掉墙体的面积是：， 故选：B． 3．如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键，进而再利用底面积与侧面积公式之比解决问题．设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形为正六边形，得到，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得 ，再根据与，整理后即可得到答案。 【详解】解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形为正六边形， ， 根据题意得， 。 ，， 即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为． 故选：B． 4．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式的应用． 过点作于点D，先解直角三角形求出，即可求解等边三角形的面积，然后由扇形面积减去等边三角形的面积求出一个阴影部分的面积，再乘以3即可求解阴影部分总面积． 【详解】解：过点作于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 6．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 7．如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 8．如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥侧面展开后为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面周长，由此列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 故选：C． 二、填空题 10．如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、圆锥表面积公式，连接，，，连接交于点，由切线的性质可得，由垂径定理可得，，由题意可得，由勾股定理可得，，从而得出，最后由圆锥的表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，连接交于点， 由切线的性质可得：， 由垂径定理可得：，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此“不倒翁”上方圆锥的表面积为， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及扇形面积公式的应用，解题的关键是求出直角三角形面积与两个扇形面积之和，再作差得到阴影部分面积． 先由勾股定理求的长，得扇形半径；再算的面积，结合，求两个扇形组成的扇形面积；最后用三角形面积减去该扇形面积，得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，， ，， 剩余（阴影）部分的面积为． 故答案为：． 12．如图所示，点E是正方形内一点，把绕点C顺时针旋转至位置，，则在旋转过程中线段所扫过的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据旋转的性质得，再根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由旋转的性质得：， ， 在旋转过程中线段所扫过的面积是， 故答案为：． 13．如图，在正六边形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角问题，弧长公式． 根据正多边形内角公式求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆分别交于点D，E，连接，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．取的中点，连接，先证出和都是边长为1的等边三角形，则，，，，，再求出的面积，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵在等边三角形中，， ∴，，， ∵， ∴和都是边长为1的等边三角形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，为的直径，F为弦的中点，连接并延长交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）欲证明是的切线，只要证明，即可； （2）由，推出，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵F为弦的中点， ∴． ∵， ∴． ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵F为弦的中点， ∴，． ∴ ∵， ． ． ． ． 在中，， ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为弦的中点， ∴点是的中点， ∴， ∴， ． 16．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理求得和的长度，利用的面积扇形的面积求得阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．如图，是的直径，，． (1)求证：是的切线． (2)若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了扇形面积、切线的判定等知识． （1）证明，又由是的直径即可证明是的切线； （2）根据求出答案即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ． 是的直径， 是的切线． （2）解：设与相交于点C，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 18．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； (2)请计算出在（1）的运动过程中扫过的扇形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，勾股定理，求图形扫过的面积，熟知扇形面积公式和旋转的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接、C即可； （2）根据题意可得扫过的扇形面积即为扇形的面积，利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，扫过的扇形面积即为扇形的面积， 由网格的特点和勾股定理可得， 由旋转的性质可得， ∴扫过的扇形面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解． （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：、、， ， 线段所扫过的图形的面积为． 20．如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）连接，，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，利用勾股定理计算即可． （2）设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 21．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，容易证明，因此，命题得证； （2）先根据三角函数求出，结合可得，．根据直角三角形的性质和勾股定理，计算出，分别计算和扇形的面积，阴影面积为两者的差． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）解：在直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握相关的知识是解题关键． 圆的综合应用 一、解答题 1．如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的切线，则有，，从而可得，所以，又，所以，故有，从而求证； （2）先由勾股定理得，设的半径为，证明，得，所以，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，，， ∴， 设的半径为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． 2．如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，设与交与点F，求． 【答案】(1)见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可； （3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分 （2）解：∵半径， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， （3）由（1）得， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点M，使．连接．求证：是的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理，弧与圆心角之间的关系，切线的判定，做出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； 4．如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． (1)求证：； (2)若点G为的中点，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了垂径定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理可得，从而得到，再由切线的性质可得，即可解答； （2）连接，证明，可得，再由垂径定理可得，，根据勾股定理可得，进而得到，，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的半径，点D为弦的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于点B，且为的半径， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵点G为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点O为的中点，点D为的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴． 5．如图，点在的平分线上，与相切于点． (1)求证：直线与相切； (2)的延长线与交于点，若的半径为6，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作于点，如图所示，结合切线性质得到，再由题中条件，结合角平分线的性质得到，从而由切线的判定即可得到答案； （2）设交于，连接，如图所示，先求出相关线段及角度，然后由相似三角形的判定得到，再由相似比得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，作于点，如图所示： 与相切于点， ， 点在的平分线上，，， ， 直线与相切； （2）解：设交于，连接，如图所示： 与相切于点， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可得， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则， 又， ， 则， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即 解得， 则． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线性质、切线的判定、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记圆的相关性质，切线的判定、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 6．如图，是的直径，C是上异于A，B的点，点D在的延长线上，连接交于点E，过点E作的切线交于点F，且，连接交于点H，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，切线的性质，得到，推出，进而得到，等边对等角，得到，进而推出，即可得证； （2）证明，求出的长，圆周角定理结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴，， ∴． 7．如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． (1)连接，求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； 【详解】（1）证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． （2）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，再根据平行线的性质，结合可得出，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出的长，根据（1）的结论可证明四边形是矩形，根据垂径定理可求出的长及是的中位线，即可求出、，由可得出，根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质． 9．如图，分别与相切于两点，是的直径．过点作交于点，交于点． (1)求证：； (2)若的半径为10，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质得到，则可证明，再由垂径定理即可证明结论； （2）连接，由切线长定理得到，证明垂直平分， 由勾股定理可得，可证明，则可证明，利用相似三角形的性质可求出，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点B，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵分别与相切于两点， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； ∵的半径为10，， ∴； 由（1）得，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵与相切于点B，是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质，勾股定理，切线长定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． 10．如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角；________． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由圆周角定理得，得到问题的答案；（另外，，可知答案不唯一） （2）连接，则，所以，由切线的性质得，而是的直径，所以，推导出，则，进而即可得到结论； （3）求得，证明，得，则，且，由，即可求得． 【详解】（1）解：根据圆周角定理得， 故答案为：（答案不唯一）： （2）证明：如图，连接，则， ， 与相切于点， ， 是的直径， ， ， ， ∵， ∴； （3）解：，，， ，， ，， ， ， ，且， ， 解得， 线段的长是． 11．已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图：连接，根据是直径且，可得，由则，可得，由相似比及勾股定理即可求出的长； （2）由垂径定理和圆周角定理可得，易证，再运用相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵是直径，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴由勾股定理可知：． （2）证明：如图：连接， ∵是直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 12．如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由推断出，根据圆周角定理可得，，通过证明，可证； （2）连接，根据垂径定理可得，，使用勾股定理计算出．由三角形的面积公式，可计算出，再次使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵直径， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键． 13．如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 15．在中，，点O在上，以为半径的与相交于点P，且； (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）连接，则由半径相等得到，由外角可得，继而证明得到，再由直角三角形的性质即可求证； （2）先由勾股定理求解，设半径为，则，证明即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设半径为，则， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴的半径为． 16．如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，利用平行线的性质即可求出，从而可知是的切线； （2）设，由于，所以，在△中，由勾股定理可知：，解得，所以半径；根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：已知是△的外接圆，，．如图，连接， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 的半径为5， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 学科网（北京）股份有限公司 $