考点15 平面直角坐标系 2026年中考数学一轮基础通关手册安徽专用

平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的基本概念 -象限划分：平面被x轴、y轴分为四个象限，各象限点的坐标符号特征（第一象限(+，+）、第二 象限(，+)、第三象限(，)、第四象限(+，))；坐标轴上的点坐标特征(x轴上y=O,y轴上 X=0)。 -点的坐标意义：有序数对(x,y)对应平面内唯一一点，反之亦然。 2.点的坐标变换规律 -对称变换：点(x,y)关于x轴对称(x,-y)、关于y轴对称(-x,y)、关于原点对称(-x,y)；关于直 线x=a对称(2a-x,y)、关于直线y=b对称(x,2b-y）。 -平移变换：遵循“左减右加，上加下减”，点(x,y)平移后坐标变化直接对应图形平移。 -旋转变换：绕原点旋转90°、180°的坐标变化规律（如逆时针转90°得(y,x))。 3.距离与中点公式 2 两点间距离公式：若A&y8xy,则B2一+y2一y；平行于坐标轴的线 - 段长度可直接用坐标差计算（如水平线段长x2一x)。 中点坐标公式：B中点坐标为(，学)， 常结合三角形、四边形中点相关题型考查。 4.坐标与几何图形的综合 一几何图形的坐标表示：根据顶点坐标判断三角形形状（直角、等腰）、四边形类型（平行四边 形、矩形等)。 一函数图像与坐标系结合：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，利用坐标求函数解 析式、与坐标轴交点等。 安徽中考高频题型：坐标系中几何图形的面积计算（割补法）、图形变换后的坐标求解、结合 动点问题考查函数与几何综合应用。 点的坐标与位置关系 一、单选题 1.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O(0,0)、A(4,0)、B(4,3),将长方形沿对角线AC 折叠，点B落在点D处，CD与x轴交于点E,则点E的坐标为() B.3,0 C.（2,0) 2.如图，在平面直角坐标系中，ABC为等腰三角形，AB=AC,BC∥x轴，若A(2,4),B(-1,1,则点 C的坐标为() B 0 A.(2,3) B.3,1 C.(5,1 D.(1,5 3.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=√5，AB=√0.若点A的坐标为(L,2),则点B的坐标为() B A.(-1,2) B.(-V5,) C.(-2,1) D.(-2,2) 4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在y轴上，点B,C在x轴上，已知 AB=2,∠BCD=45°，则点C的坐标为() B 衣 A.(2+2,0)B.(2-V2,0) c.(22,0 D.(2,0) 5.在平面直角坐标系中，已知点A(-1,),B(-3,2),点C在坐标轴上，若ABC是等腰三角形，则满足 条件的点C的个数为() A.2个 B.4个 C.7个 D.确定不下来 6.平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0)、B(-3,2)、C(3,2)、D(3,0,则四边形 ABCD是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 7.如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点0，A,B在方格纸的交点（格点）上，在第四 象限内的格点上找点C,使ABC的面积为3，则这样的点C共有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.若A(0,2),B(2,3),C0,4,D(4,6),则下列说法正确的是() A.CD=2AB B.AD=24B C.AD=2BC D.BC=2AC 9.在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为-2，-2)，-2,3)，4,3)，则这个长方形的面 积是() A.24 B.25 C.30 D.28 10.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,B,P的坐标分别为3,5)，(1,1，（4,2).若存在点C,使 得直线AP平分ABC的面积，（6,5)，(6,6)，7,3)，(7,4)这四个点中，可作为点C的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是(-3，-3)，点C是y轴上一动点，要使ABC 为等腰三角形，那么符合要求的点C的位置共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12.点P(a+2,2a-5)在第四象限，则a的取值范围是() A.a<-2 R2<a月 C. 2a<2 13.若点Aa,b)在第二象限，则点B(-a,b+2)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.若点P坐标可表示为(m,-2m+1),其中m为任意实数，点P不可能在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.已知点P(k,b)在第四象限，则一次函数y=x-b的大致图象为() B 图形变换与坐标变化 一、单选题 1.己知ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C'与ABC关于x轴对称，那么点A的对应点 A的坐标为()· -5-4-3-2-19L123456x --- A.（-4,2 B.(-4,-2 C.(4,-2) D.(4,2 2.如图，在平面直角坐标系中，正△OAB的边长为2，顶点B在y轴上，点A在第一象限内，将△OAB沿 直线OA的方向平移至AOAB的位置，此时点B的坐标为2V3,4),则点A的坐标为() A.(25,4B.(25,3 c.(35,4 D.35,3 3.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-2,3),B(2,3),C(1,1),D(-1,1).下列说法正确的是() A.点A与点B关于x轴对称 B.点A与点B关于y轴对称 C.点A与点B关于直线OC对称 D.点A与点B关于直线OD对称 4.己知P(-2,3)关于x轴的对称点为Q(a,b),则a+b的值是() A.5 B.-5 C.-1 D.1 5.在平面直角坐标系中，己知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形，点P的坐标不可 能为(). A.(4,0) B.(13,0) c.0 D.(6,0) 6.己知：点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于x轴对称，则(m+n)的值为() A.0 B.1 C.-1 D.3 7.如图，在平面直角坐标系中，己知点A(0,a),B(b,0),且满足2a2+b2-4a-10b+27=0, C(m+3,2),D(m,2),当四边形ABCD的周长最小时，m的值为() D B C.1 D.4 8.已知点A-2,3)与点B关于点C(4,成中心对称，则点B的坐标是() A.(1,2 B.(10,-1 C.(-1,2) D.(10,1 二、解答题 9.如图，在平面直角坐标系中，M(3,3),A为y轴正半轴上一点，连接MA,作MB⊥MA交x轴正半轴 于点B,求OA+OB, M(3,3) A B 10.综合与探究 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABC为等腰直角三角形，AB=BC,∠ABC=90°，A、B两 点的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、点C在y轴左侧，将点B沿平行于y轴方向向下平移n个单位长度 至点D,连接0D,a-3+n2-2n+1=0. B/O D 图1 图2 (1)a= ,n= (2)如图1，当点B在x轴正半轴时，连接CD,若CD⊥BD,请求出b的值； (3)如图2，当点B在x轴负半轴时，连接CD交x轴于点M,若OB=n,则点M的坐标为 (4)若OD=√5，点P在y轴上，且△ODP是以OD为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标. 11.如图所示，直线AB交x轴于点Aa,0),交y轴于点B(0,b),且a、b满足a2-8a+√a+b+16=0. A M B 图1 图2 (1)填空：a=，b=一； (2)如图1，若C的坐标为-L,0),且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,求点P的坐标； (3)如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD,过D作DN⊥DM交x轴 于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△ow-S△ow的值是否发生改变？如发生改变， 求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值， 12.如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E,F,点E的坐标(8,0)，点A的坐标为6,0).点 P(x,y)是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E,F重合）· A E (1)求k的值. (2)在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式. O)若：0PA的面积为，求此时点P的坐标. 13.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为(a,b),且实数a、满足Va-1+b-3=0,点B在 x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且△OAB为等边三角形. A P D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，直接写出A、B两点的坐标：A--,--),B(-,---: (2)如图2，以BP为边在第一象限内作等边△BPM,连接MA并延长交y轴于点D,求证：OD=AD; (3)如图3，线段PB与线段A0交于点C,记四边形AP0B、△ACP、△BCO的面积依次为S,S,,S2, 且=√S+√S,. ①Q为y轴上一动点，求aAQB周长的最小值； ②当△AQB周长最小时，求△AQB的面积。 14.如图1，点A,B的坐标分别是A(0,3),B(0,-3,点C(m,0)为x轴正半轴上一点. A D M 0 C NB B 图1 图2 (1)求证：AC=BC; (2)如图1，若m=4,过点O作0D⊥AC于点D,求0D·AC的值： (3)如图2，在(2)的条件下，点P为线段OB的延长线上的一动点，当点P在OB的延长线上向下运 动时，作PM⊥AC于点M,PN⊥BC于点N,式子AC·(PM-PN)的值是否发生变化，若不变，求 出其值；若变化，写出其值的取值范围。 15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形0ABC中，点A(10,0),C(0,4),D为OA的中点， P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标. P O A 平面直角坐标系 1． 平面直角坐标系的基本概念 - 象限划分：平面被x轴、y轴分为四个象限，各象限点的坐标符号特征（第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+, -)）；坐标轴上的点坐标特征（x轴上y=0，y轴上x=0）。 - 点的坐标意义：有序数对(x,y)对应平面内唯一一点，反之亦然。 2． 点的坐标变换规律 - 对称变换：点(x,y)关于x轴对称(x,-y)、关于y轴对称(-x,y)、关于原点对称(-x,-y)；关于直线x=a对称(2a-x,y)、关于直线y=b对称(x,2b-y)。 - 平移变换：遵循“左减右加，上加下减”，点(x,y)平移后坐标变化直接对应图形平移。 - 旋转变换：绕原点旋转9的坐标变化规律（如逆时针转得(-y,x)）。 3． 距离与中点公式 - 两点间距离公式：若，则AB=；平行于坐标轴的线段长度可直接用坐标差计算（如水平线段长）。 - 中点坐标公式：AB中点坐标为，常结合三角形、四边形中点相关题型考查。 4． 坐标与几何图形的综合 - 几何图形的坐标表示：根据顶点坐标判断三角形形状（直角、等腰）、四边形类型（平行四边形、矩形等）。 - 函数图像与坐标系结合：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，利用坐标求函数解析式、与坐标轴交点等。 - 安徽中考高频题型：坐标系中几何图形的面积计算（割补法）、图形变换后的坐标求解、结合动点问题考查函数与几何综合应用。 点的坐标与位置关系 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 4．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对边平行、利用坐标轴垂直的特点推导三角形内角是解题的关键． 利用菱形的性质推导角的关系，结合坐标轴垂直的特点，证明为等腰直角三角形，进而求出线段长度确定点坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴是等腰直角三角形． 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴（线段长度为正）． ∵， ∴， ∴点的坐标为 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 6．平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，则四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形、矩形的判定，先画出图形，由，则，，，故有，所以四边形是平行四边形，然后通过矩形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 故选：． 7．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 【详解】解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 8．若，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，坐标与图形．先画图描出点，，，，再结合图形与勾股定理逐一分析即可. 【详解】解：，，，如图所示， ∴，故A符合题意； 如图， ∴，故B不符合题意； 如图， ∴，，故C不符合题意； 如图， ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选A． 9．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 11．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 12．点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 13．若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，由点A在第二象限，得，，进而得，，故点B在第一象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 14．若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：点的坐标为 ． 第一象限要求且，即且，解得，有解； 第二象限要求且，即且，解得，有解； 第三象限要求且，即且，即且，无解； 第四象限要求且，即且，解得，有解． 点不可能在第三象限． 故选：C． 15．已知点在第四象限，则一次函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第四象限内点的符号特征，得到，进一步即可得出结果． 【详解】解：∵点在第四象限， ， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限， B选项图象符合题意． 故选：B． 图形变换与坐标变化 一、单选题 1．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 先与关于轴对称推出点和点也关于轴对称，再通过平面直角坐标系得到点坐标，然后求解点的坐标即可． 【详解】解： ∵与关于轴对称， ∴点和点也关于轴对称， ∵由图可知点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先求得，再根据，，即可得到点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点，再根据平移方式由点A的坐标即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于轴、轴、直线、直线的对称的点的坐标规律，熟练掌握点的变化规律是解题关键． 点与点的坐标比较，横坐标互为相反数，纵坐标相同，符合关于y轴对称点的特征． 点与点的坐标比较，都不符合关于直线、直线的对称点的特征． 【详解】解：∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换；点关于的对称点为,不是点； ∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换后，分别取相反数，点关于的对称点为,不是点 ∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于轴对称，选项错误，选项错误，选项错误，选项正确． 故选：． 4．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，点的坐标不可能为（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题，通过分析为等腰三角形的三种情况，计算所有可能的点P坐标，解题关键是全面考虑等腰三角形的三种情况，并验证选项是否在可能点中． 【详解】解：∵， ， ， ∴，，， 当时，， 解得：或， ∴或； 当时，， 解得：或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴ 选项、、在可能点中，不在，故不可能． 故选：D． 6．已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，解题的关键是掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据点关于x轴对称的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算即可解答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，纵坐标相反：， ∴，， ∴． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，，当四边形的周长最小时，m的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】作，可知四边形是平行四边形，根据将军饮马模型，可知当，，三点共线时，取最小值，即可求解． 本题考查最短路径问题，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的性质，掌握将军饮马模型是解题关键． 【详解】解：过点作交轴于点， ，， ，，， ，，轴， 四边形是平行四边形， ，， ， 当四边形的周长最小时， 则最小， 与为定值， 取最小值，即取最小值， 作点关于对称点， 则 所以当，，三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为：， 将点代入，得， 则． 故选：B． 8．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 二、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先过点作轴交于点，轴交于点，求出、，再通过，求出、、、的值，然后通过，推出，最后证明，通过等量代换求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，轴交于点， ∵轴，轴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 10．综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． (1)_________，_________； (2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值； (3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； (4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据得出，再根据非负数的性质即可求解． （2）先根据题意得出，，证明，得出，结合点在轴正半轴，即可得． （3）根据题意得，，轴，则，，过点C作轴交轴于点H，证明，则，求出，再根据待定系数法求出直线解析式，令，求出，即可解答． （4）分为：当时，当时，结合题意根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：∵，、将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴． （3）解：根据题意得，，轴， ∴，， 过点C作轴交轴于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， 解得：， ∴． （4）解：当时， ∵点在轴上， ∴或； 当时， 根据图1和图2可得， 则， ∴， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】该题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性 ，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数解析式求解，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确理解题意． 11．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)填空：______ ，______ ； (2)如图，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)4， (2) (3)不发生改变，4 【分析】（1）将配方得，根据算术平方根和平方的非负性，即可求得的值； （2）利用可证明，得，则题目可解； （3）利用可证，则 ，所以 ， 则题目可求． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，， 故答案为：，； （2）解：直线交轴于点，交轴于点， 点，点， ， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； ， 的坐标为， ， ， 的坐标为； （3）解：的值不发生改变；理由如下： 如图，，，为的中点，连接 ， ，，， ， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查配方，绝对值和平方运算的非负性，全等三角形的性质和判定，图形和坐标，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 12．如图，直线与轴、轴分别相交于点，．点的坐标，点的坐标为．点是第一象限内的直线上的一个动点（点不与点，重合）． (1)求的值． (2)在点运动的过程中，求出的面积与的函数关系式． (3)若的面积为，求此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数的动点问题以及三角形面积公式． （1）将点坐标代入直线方程求值； （2）根据三角形面积公式结合点纵坐标表示出面积与的函数关系； （3）先根据给定面积列出方程求，再代入直线方程求． 【详解】（1）直线与轴交于点，且点的坐标， ， 解得； （2）， ， 过点作于点，如图： 点是第一象限内的直线上的一个动点， ． 点的坐标为， ； ； （3）的面积为， ， 解得， 将代入得， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且实数a、b满足，点B在x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且为等边三角形． (1)如图1，直接写出A、B两点的坐标：，； (2)如图2，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点D，求证：； (3)如图3，线段与线段交于点C，记四边形、、的面积依次为S，，，且． ①Q为y轴上一动点，求周长的最小值； ②当周长最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由等边三角形的性质和非负数的性质可得出答案； （2）证明，得出，证明，则可得出结论； （3）①作点关于y轴的对称点F，则，连接与y轴的交点即为Q，此时的周长最小，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； ②记的面积为，证出，则，根据可得，求出即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为， 过点A作于点H， ∵为等边三角形， ∴； ∴点B的坐标为， 故答案为： （2）证明：∵与均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①作点关于y轴的对称点F，则，连接与y轴的交点即为Q，此时的周长最小， 由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴周长最小值； ②记的面积为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点和点到轴的距离相等， ∴， ∴轴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，二次根式的混合运算，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识是解本题的关键． 14．如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． (1)求证：； (2)如图1，若，过点O作于点D，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)不变，其值为 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识， （1）结合题意得，，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由三角形面积公式可得，代入数值即可获得答案； （3）连接，由三角形面积公式可得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：若， ， ∴， ； （3）解：不变，其值为， 如下图，连接， ，，， ， ∵， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或或或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，关键是要分情况讨论． 根据等腰三角形的定义，利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】解：∵长方形，， ∴， ∵D为的中点， ∴． （1）当时，点P在的垂直平分线上，点P的横坐标是，点P坐标是； （2）当时， ， ∴点P的坐标是； （3）当时， ①点P在点D左侧，作于E， ， ∴， ∴点P的坐标是； ②点P在点D右侧，作于F， ， ∴， ∴点P的坐标是． 学科网（北京）股份有限公司 $