考点16 函数图像与几何图形综合 2026年中考数学一轮基础通关手册安徽专用

函数图像与几何图形的结合 1.一次函数与几何图形综合 -考点1：一次函数y=kx地的图像与坐标轴交点坐标（与x轴交于(-是，0），与y轴交于(0，b), 结合三角形、四边形求面积（割补法）。 -考点2：利用一次函数的平移、对称变换，求解变换后直线解析式，再结合几何图形的边长、角 度计算。 -常考题型：一次函数图像与三角形全等/相似结合，求点的坐标或参数值。 2.反比例函数与几何图形综合 -考点1：反比例函数y=气中k的几何意义（过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面 积为k,三角形面积为)，安徽中考高频填空/选择题考点。 -考点2：反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，结合几何图形（如直角三角形、平行四边 形)求点坐标或k值。 3.二次函数与几何图形综合（压轴题核心） -考点1：二次函数y=x2+bx十c的图像性质（顶点坐标、对称轴），结合几何图形（三角形、 四边形、圆)求顶点坐标、参数取值范围。 -考点2：二次函数图像上的动点问题，涉及线段最值（如将军饮马模型)、面积最值（铅垂高 法)、图形存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性）。 -考点3：二次函数与相似三角形、切线性质结合，证明线段关系或求解线段长度，是安徽中考数 学压轴解答题的必考类型。 4.函数图像变换与几何图形的关联 -函数图像的平移、轴对称、旋转变换对应几何图形的位置变化，需结合坐标变换规律，求解变 换后函数解析式及几何图形的边长、面积。 关键思路：以坐标为桥梁，将几何问题转化为代数计算。 5.核心解题方法 -坐标法：用坐标表示几何图形的顶点，通过函数解析式建立关系。 -割补法：求不规则图形面积时，将其分割或补全为规则图形（如三角形、矩形）。 函数几何问题 一、填空题 BC中，ACBC),AB上x轴，垂足为A,反比例函数y=r>0 交AB于点D.若OA=AB=4,则k= 0 2.如图，在RtOBD中，∠ODB=90°，边0D在y轴上，边OB,BD与反比例函数y=(x<0)的图象 分别相交于点4，C,连接0C,若8-，且△05C的面积为8，则k的值为 b D O 3.如图，已知A为直线y=x上一点，过点A作BA10A交反比例函数y=《于点B.若O4?-AB=16, 则k的值是· A B 4.如图，反比例函数y=《(k≠0)的图象经过平行四边形ABC0的顶点A,0C在x轴上，若点B-1,4), S。4Bco=4,则实数k的值为， B OCx 5。如图，反比例函数y=《(k≠0)经过菱形0ABC的顶点B,已知该菱形的周长为0 ,面积为20。 ,则 的值为 二、解答题 6.【模型建立】 (1)如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点E.求证：△BEC≌△CDA, 【模型应用】 (2)①如图2，已知直线y=-3x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，点C为第一象限内一点，且 BC⊥AB,AB=BC,过点A,C作直线，求直线AC的解析式： ②如图3，长方形ABCO,O为坐标原点，B的坐标为(8,6，A,C分别在坐标轴上，P是线段BC上动 点，己知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三 角形，请求出所有符合条件的点D的坐标. O B C 图1 图2 图3 7.在平面直角坐标系中，点A(0,6),点B25,0,且∠0AB=30°，将△0AB沿直线AB翻折得到 △CAB,点O的对应点为点C. B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接0C,猜想a0AC为 三角形，证明你的猜想； (2)如图2，在(1)的基础上，过点C作CD垂直于x轴于点D,求点C的坐标： (3)在x轴上存在点E,使SBCE=SC4,则点E的坐标为一； (4)在x轴上有两个动点M、N(点M在点N的左侧)且满足MN=3√3-3，当AM+CN的值最小时， 点M的坐标为 8.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为y=x,直线马的解析式为y=-x+3,与x轴、y轴分 2 别交于点A、点B,直线与交于点C. B (备用图) (1)点A的坐标，点B的坐标： (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与4，Z交于点M、N. ①若线段MN=1.5,请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满 足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 9.如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(m,0),与y 轴交于点B(0,n,满足m-6+√n-3=0,C是线段OA上一点，连接BC A 图① 图② 备用图 (1)求直线AB的函数表达式； (2)如图②，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上，求点C和点D 的坐标： (3)在x轴上是否存在点P,使得以点C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形且腰长≥√10，若存在， 请直接写出点P的坐标. 10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为a,b),且满足(a+22+√b-4=0.在x轴上取B,C两 点，使得ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，AC交y轴于点P. (1)求直线AC的函数表达式及点P的坐标： (2)在y轴上是否存在点Q,使得ABC和△ACQ的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在， 请说明理由 11.如图，抛物线y=(x+1)+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3). OB (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，△ACM的面积最大？求出△ACM的最大面积及此时点M的坐标： ②在抛物线的对称轴上存在一点P,使。AMP是以AM为底的等腰直角三角形，请直接写出点P和点 M的坐标 12.如图，抛物线y=ax2+x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D在第一象限，是抛物 线上的一个动点，点A的坐标为-2,0). (1)求该抛物线的解析式； (2)连接CD,BD,BC,当△BCD的面积最大时，求点D的坐标. 13.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-1,0)和点B(3,0),与y轴正 半轴交于点C,且OC=3.连接BC,若P为BC上方抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式： (2)连接AC,PC,PB,若SABc=2SPBc,求点P的坐标. 3210 14.如图，抛物线y=-4 +2分别与x轴和y轴交于点A和点B,且OA=3. 3 B ①将抛的线)子+ +3x+2向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线 y手+bx+c,求bc的值， (2)连接AB,点C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交线段AB于点D,交该抛物线于 点E,当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时，求所有满足条件的点C的坐标 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.已知 4-2,0),该抛物线的对称轴为直线x=2 1 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)假设将线段AC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点 A、C平移后的对应点分别记为点A,C',当点C在点C右侧时，求以A、C、A'、C'为顶点的四边形 周长的最大值， 16.如图，抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2. 2 (1)求抛物线的解析式： (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由， 17.已知抛物线m:y=ax2-4ax+b与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴交于点C0,-3),顶点为P,将抛 物线m沿y轴平移使其经过点B(5,-7)得到抛物线n,抛物线n与y轴交于点D,顶点为Q. (1)求抛物线m的函数解析式与点P的坐标： (2)在抛物线n上是否存在点E,使得S△EcD=2S△EPe？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说 明理由. 18.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A-1,0),B(4,0,与y轴交于点C.注：抛物线 b y=ax2+bx+ca≠0)的对称轴是直线x=- ，顶点坐标是 b 4ac-b2 2a 2a’4a B (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求△BCP的面积. 19.如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标 为(-3,0)，且点C0,-3)在抛物线y=ax2+bx+c上. -IA (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且SPoc=4S.Boc,求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作OD⊥x轴交抛物线于点D,求三角形ACD面积的最大值和此时点D 的坐标 设0点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0)，则D点坐标为x,x2+2x-3, 0-x-r+2--=+ :当x=时，QD有最大值程 比时5m的最大值为(x。-x,小号号 .19 ×1_27 2 8 当时，(+2》3 点D坐标为》 20,如图，揽物线y2x+专x铀交于A,B两点4在B的左侧），与直线L:y三-3k+4交于 4 E,F两点. E (1)直线L经过定点D,直接写出点D的坐标： (2)求△BEF面积的最小值 21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交 于点C,且tan∠AC0=),OC=OB,AB=3. 2 YA (1)求点A、点B的坐标： (2)求抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在一个点P,使△PAC的周长最小？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 22.如图，一次函数片=c+b的图象交坐标轴于A,B两点，交反比例函数，=m的图象于C、D两点， 已知：A-2,0),C(1,3 (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式： (2)连接D0,CO,求△COD的面积； (3)在一次函数y,=kx+b上找一点M,在平面上找一点N,使四点O,C,M,N能够组成一个菱形， 请直接写出M点坐标. 23.如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过线段0A的端点A(2,4),把线段0A沿x轴正方向平移3个单 位得到线段CB,CB与上述反比例函数的图象相交于点D,点D的横坐标为4， B B 备用图 备用图 (1)求k的值和直线OA的解析式； (2)求△AOD的面积 24.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=《(k>0)与一次函数y=x+b交于点A1,4和点 B(-2,n. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)请直接写出当ax+b>《时x的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点P使得△ABP为直角三角形，且∠BAP=90°，若存在，求出 点P的坐标，若不存在，请说明理由. 25.如图，在矩形04BC中，01=8,0C=6,反比例函数)=(x>0)的图象与BC,4B分别交于M, N两点，且MB=2MC. 函数图像与几何图形的结合 1． 一次函数与几何图形综合 - 考点1：一次函数y=kx+b的图像与坐标轴交点坐标（与x轴交于，与y轴交于(0,b)），结合三角形、四边形求面积（割补法）。 - 考点2：利用一次函数的平移、对称变换，求解变换后直线解析式，再结合几何图形的边长、角度计算。 - 常考题型：一次函数图像与三角形全等/相似结合，求点的坐标或参数值。 2． 反比例函数与几何图形综合 - 考点1：反比例函数中k的几何意义（过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为），安徽中考高频填空/选择题考点。 - 考点2：反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，结合几何图形（如直角三角形、平行四边形）求点坐标或k值。 3． 二次函数与几何图形综合（压轴题核心） - 考点1：二次函数的图像性质（顶点坐标、对称轴），结合几何图形（三角形、四边形、圆）求顶点坐标、参数取值范围。 - 考点2：二次函数图像上的动点问题，涉及线段最值（如将军饮马模型）、面积最值（铅垂高法）、图形存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性）。 - 考点3：二次函数与相似三角形、切线性质结合，证明线段关系或求解线段长度，是安徽中考数学压轴解答题的必考类型。 4． 函数图像变换与几何图形的关联 - 函数图像的平移、轴对称、旋转变换对应几何图形的位置变化，需结合坐标变换规律，求解变换后函数解析式及几何图形的边长、面积。 - 关键思路：以坐标为桥梁，将几何问题转化为代数计算。 5． 核心解题方法 - 坐标法：用坐标表示几何图形的顶点，通过函数解析式建立关系。 - 割补法：求不规则图形面积时，将其分割或补全为规则图形（如三角形、矩形）。 函数几何问题 一、填空题 1．如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，进而得出点的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点代入中得：， 解得． 故答案为：． 2．如图，在中，，边在轴上，边，与反比例函数的图象分别相交于点，，连接，若，且的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像性质，三角形面积的和差运算，掌握反比例函数的几何意义是解题关键． 先由垂直关系判定，利用相似比得面积比，再借助反比例函数的几何意义，表示出、的面积，接着通过表示的面积​列方程求出，最后结合确定． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 4．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据平行四边形的面积列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的纵坐标相同， ∴的纵坐标是4， ∵点在反比例函数图象上， ∴将代入函数表达式中，得到， ， 即，解得． 故答案为：． 5．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质，正确求出点坐标是解题关键．过点作轴于，根据菱形的性质，结合菱形周长和面积得出，，利用勾股定理求出，即可得出，得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵该菱形的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过菱形的顶点， ∴， ∴． 故答案为： 二、解答题 6．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：． 【模型应用】 （2）①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，点C为第一象限内一点，且，，过点A，C作直线，求直线的解析式； ②如图3，长方形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或 【分析】（1）利用“角角边”证明，即可； （2）①先求出点A，B的坐标，作轴于，同理（1），则，可求点C的坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式即可；②设，当点为直角顶点时，分点在长方形内部、在长方形外部两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：①当时，， ∴，即， 当时，， 解得， ∴，即， 如图，作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式； ②∵长方形，O为坐标原点，B的坐标为， ∴， 设， 当点为直角顶点时，分点在长方形内部、在长方形外部两种情况； 如图，点在长方形内部，过作轴于，交于，则，， ∴，， ∵， ∴同理（1）， ∴，即， 解得，， ∴； 如图4，点在长方形外部，过作轴于，的延长线于，则，，                     图4 ∴，， 同理， ∴，即， 解得，， ∴； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，等腰三角形的性质并分情况求解是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，点，点，且，将沿直线AB翻折得到，点O的对应点为点C． (1)如图1，连接，猜想为______三角形，证明你的猜想； (2)如图2，在（1）的基础上，过点C作垂直于x轴于点D，求点C的坐标； (3)在x轴上存在点E，使，则点E的坐标为______； (4)在x轴上有两个动点M、N（点M在点N的左侧）且满足，当的值最小时，点M的坐标为______． 【答案】(1)等边 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由折叠得到，，然后求出，即可证明出为等边三角形； （2）首先得到，，然后求出，然后得到，利用勾股定理求出即可求解； （3）首先根据求出，然后得到，然后求出，然后分两种情况求解即可； （4）如图所示，作点A关于x轴的对称点，将点向右平移个单位，连接， ，， ， ，首先得到当点，，N三点在一条直线上时，有最小值，然后求出所在直线表达式为，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， ∴ ∴为等边三角形； （2）解：∵， ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴点C的坐标为； （3）解：∵，， ∴，，，， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∵在x轴上存在点E， ∴点E的横坐标为或 ∴点E的坐标为或； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，将点向右平移个单位，连接， ，， ， ， ∴ ∴ ∴当点，，N三点在一条直线上时，有最小值， ∵ ∴由折叠得， ∴由平移得， 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， 解得 ∴此时 ∴此时点M的横坐标为 ∴此时点M的坐标为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)点A的坐标_，点B的坐标_； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N． ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、 (2)①或；②点Q的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． （1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可；②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， 故答案为：，； （2）解：①设点、的坐标分别为、， 根据题意可得：， 解得：或， ∴点N的坐标为或； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图： ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图： 则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图： 则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为：； 综上，点的坐标为或或． 9．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，满足，C是线段上一点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)如图②，将线段绕点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，求点C和点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形且腰长，若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为，点D的坐标为 (3)或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m，n的值，从而得到点A，B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证，可求出的长，进而即可得出点C和点D的坐标； （3）设点，分别表示出的长，分三种情况讨论，根据平面直角坐标系中的点的坐标，利用勾股定理求得两点距离，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点，， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点， ∴， 由旋转的性质得：， 过点D作于点E，    ，， ． 又， ， ，． 设，则点D的坐标为， 点D在直线上， ， ， 点C的坐标为，点D的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， 此时（舍去）； 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为或； 当时，， 解得：或1（舍去）， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，一次函数的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，非负数的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，且满足．在轴上取，两点，使得为等腰直角三角形，且，交轴于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．点的坐标为 (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由非负性可求出的值，得到点的坐标，进而可得的长，运用等腰三角形的性质可得的长，进而求得点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；将代入表达式即可求出点的坐标； （2）设点，则，利用列方程求解即可； 本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，利用三角形的面积求点的坐标，设点，表示出是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 即点的坐标为，，． ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 即点的坐标为． 设的函数表达式为， 把点和分别代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． 将代入得， 故点的坐标为． （2）存在． 设点， ． ∵点的坐标为， ∴， ∴ ， 由题意可得， 解得或， 故点的坐标为或． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 14．如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且． (1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值； (2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，． (2)点的坐标为或． 【分析】 本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度， 得到新的抛物线为． ，． （2）解：将代入，得． ． ． ，， 是直角三角形． 设， ①当时，， ． ． 解得（舍去）或， ． ②如图，连接，当时，过点作轴于点． ，， ． ． ，即， ． ． ， 解得（舍去）或． ． 综上所述，点的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点平移后的对应点分别记为点，当点在点右侧时，求以为顶点的四边形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由平行线的判定得到四边形为平行四边形，分两种情况，作出图形即可得到在点右侧时，四边形周长最大，设，由点的平移规律得到，将代入抛物线解方程求出，最后由两点之间距离公式求出，利用平行四边形性质求出最大周长即可得到答案 【详解】（1）解：抛物线图象过，且该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，该抛物线的函数表达式为， 抛物线与轴交于点， 当时，，即， 抛物线与轴交于两点， 当时，， 则， 解得或， ， ， 将线段平移，点平移后的对应点分别记为点，则，且， 四边形为平行四边形， 当点在点右侧时，分两种情况，如图所示： 由平行四边形性质可知，以为顶点的四边形周长为， 两种情况中不变，第一种情况的显然比第二种情况的小， 第二种情况，即在点右侧时，四边形周长最大， 设， ，， 由点的平移规律可得， 将代入抛物线，得， 则， 或（与在点右侧矛盾，舍去）， 则， ， ， 以为顶点的四边形周长的最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、图形平移、平行四边形的判定与性质、两点之间距离公式（勾股定理）、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质、平行四边形周长、二次函数综合问题求解方法是解决问题的关键． 16．如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 17．已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的函数解析式与点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）将点和代入抛物线m的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值；将抛物线m的解析式化为顶点式，其中即为顶点P的坐标； （2）根据抛物线沿y轴平移的性质，设n的解析式为，将点代入求出t的值，得到n的解析式及顶点Q的坐标；由平移性质可知，将转化为“边上的高是边上的高的2倍”，设，分E在对称轴右侧、对称轴与y轴之间、y轴左侧三种情况列方程求，代入n解析式求，排除矛盾情况得到E的坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴抛物线m的函数表达式为． ∴点P的坐标为； （2）设抛物线n的函数表达式为， 把点代入：， ∴， ∴抛物线n的函数表达式为， ∴抛物线n的顶点Q的坐标为， 由平移可知， ∴要使只需要上的高是上的高的2倍． 设点，抛物线m或n的对称轴均为直线． ①当点E位于对称轴右侧时，则有． ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ②当点E位于对称轴与y轴之间时，则有． ∴， ∴． ∴点E的坐标为； ③当点E位于y轴左侧时，则有． ∴，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在， 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的平移性质、二次函数顶点坐标的确定以及三角形面积与线段长度的关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线沿y轴平移时“上加下减常数项”的规律，并能将三角形面积关系转化为对应高的数量关系进行分析． 18．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的概念、用待定系数法求二次函数的一般式，以及利用割补法求三角形面积． （1）根据抛物线经过、两点，即可求得二次函数的一般式，即可求出其顶点坐标； （2）根据割补法求面积，． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 解得 抛物线对应的解析式为， ． （2）解：连接， ， ， ， ， ， ． 19．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P的坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求三角形面积的最大值和此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②的最大值为，点坐标为 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，求出点的坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与点在抛物线上， 则 解得∶， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 令， 解得， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为， ∵， ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标为或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据即可求解； （2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵k为任意不为0的实数， ∴，， 解得: ，， ∴直线L经过定点D，其坐标为； （2）解：设E、F的横坐标分别为，， 则，为方程的两根， 整理得， ∴，， ∴， 当时，有最小值，最小值为8， 当时，， 解得：，， ∴， 作轴交直线于点D，如图， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 21．如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 22．如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)在一次函数上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【答案】(1)一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： (2)4 (3)M的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）先求出，利用求出即可． （3）分两种情况，①当为菱形的边时，或，②当为菱形的对角线时，，分别求解可得． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得， 解得， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； （2）解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意，， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． （3）解：∵ ∴ ∵点M在直线上， ∴设， ①当为菱形的边时，则， ∴， 即， 解得或1（不合题意舍去）， ∴， ∴； 或， 即 ∴ 解得或 ∴或； ②当为菱形的对角线时，， 即， ∴， 整理得， 解得， 则 ∴ 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 23．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ． (1)求的值和直线的解析式； (2)求的面积 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、一次函数与几何的综合、待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式． (1)把点的坐标代入即可求出的值；用待定系数法求出直线的解析式； (2)利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，延长交轴于点，连接，根据直线的解析式求出点的坐标，即可得到的长度，根据即可求出结果，其中的高是点的纵坐标，的高是点的纵坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点， ， 解得：， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； （2）解：如下图所示，延长交轴于点，连接， 由(1)可知反比例函数的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 点的坐标是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的解析式求解，函数值大小的数形结合分析，直角三角形存在性的几何模型应用，利用“一线三垂直”模型构造相似三角形是解题关键． （1）直接代入点坐标求反比例函数的，再代入点求出其坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据函数图像的交点，划分区间，观察“一次函数图像在反比例函数图像上方”的区域，需要注意反比例函数的定义域限制； （3）用“一线三垂直”模型将转化为相似三角形的条件，通过相似比设未知数表示点坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 故反比例函数为， 将代入中，得， 则点坐标为， 把和代入中， 可得：， 解得：， 故一次函数的表达式为． 答：，． （2）解：由图像以及，可得：或． （3）解：过作轴的垂线，过和分别作直线的垂线，垂足分别为和． ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 则， 把代入中， 可得，解得：（不合题意，舍去），， 故的坐标为． 答：存在，． 25．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 26．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象直接写出当x取何范围时，有？ (3)若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入，求得，再将代入求出k即可； （2）观察图象即可的答案； （3）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为，得到，根据的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为； （2）解：观察图象可知时，x取何范围是或； （3）解：∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4， ∴，即 设点P的坐标为， ∵一次函数的图象与y轴交于点C． ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得或 ∴点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $