精品解析：贵州省遵义市第二中学2024-2025学年高一上学期第2次月考数学试题

（高一）2024年秋第2次月考 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的运算法则即可得出结果. 【详解】由补集的定义可知，， 故选：A． 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答. 【详解】命题“，使得”的否定为“”， 故选：C. 3. 如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合. 【详解】由韦恩图可知，， 因为，， 则，，因此，. 故选：D. 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由是的充分不必要条件即可得出的范围. 【详解】解得：， 是的充分不必要条件， 所以且等号不同时成立，解得：. 故选：A 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故． 故选：D． 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案. 【详解】对于函数． ①令，即，满足恒成立， 因此，只需，即，所以． ②令，即或． 设方程的两根分别为，则． 当时，方程有两个正根， 存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 若，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用基本不等式可判断ABD选项的正误，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项的正误. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，，， 当且仅当时，等号成立，B选项正确； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，由A选项可知，，即，，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别按一次方程、二次方程讨论，即可确定的取值. 【详解】当时，，解得，所以，符合题意； 当时，由题意，得，解得或. 故选：ABD 11. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法比较各式大小，即可确定选项A、D正确，选项B、C错误. 【详解】由可得，. 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，，当时，，故C选项不正确； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 13. 分式不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解 【详解】当时，，此时满足， 当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得， 故的取值集合为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据交集和补集的运算，即可求解； （2）直接由，即可确定实数a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，所以，所以； 【小问2详解】 因为，且，，所以，即实数a的取值范围是． 16. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立 （2）， 当且仅当，即，时等号成立. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或 【解析】 【分析】（1）将不等式化为即可求得结果；（2）将不等式化为；当时直接求得；当时，不等式变为，计算的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当时，不等式变为，根据方程两根大小关系即可得到解集. 【小问1详解】 当时，不等式可化为： 不等式的解集为 【小问2详解】 不等式可化为：， （i）当时，，解得： 不等式解集为 （ii）当时，， 的根为：， ①当时， 不等式解集为 ②当时，，不等式解集为 ③当时， 不等式解集为 （iii）当时： 此时 不等式解集为或 【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整. 18. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米 【解析】 【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 解得或，即x的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当时等号成立． 故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米． 19. 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式. （1）已知，求的最小值； （2）已知正项数列，前n项和为. （i）当时，求证：； （ii）求证：. 【答案】（1）6； （2） （i）因为， 所以由均值不等式可得， ．取，再将之分别累积后得． （ii）因为， 所以 ， 因为， 所以， 从而证明成立． 【解析】 【分析】（1）凑配成三个数的均值不等式； （2）（i）对,应用均值不等式后相乘可证；（ii）首先应用均值不等式，然后由二项式定理展开，再结合不等式可证． 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为6． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题考查均值不等式的应用，解题关键是凑配出个正数的和或积，然后由均值不等式放缩后，再进行变形从而得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （高一）2024年秋第2次月考 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 3. 如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 若，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 11. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 13. 分式不等式的解集为________． 14. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式. 18. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 19. 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式. （1）已知，求的最小值； （2）已知正项数列，前n项和为. （i）当时，求证：； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $