考点10 四边形 2026年中考数学一轮基础通关手册安徽专用

四边形 1． 四边形的基本性质 - 内角和为360°，外角和为360°；多边形内角和公式、外角和恒为360°（常考填空/选择）。 - 四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（含等腰梯形、直角梯形）。 2． 平行四边形 - 性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。 - 判定：两组对边分别平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 - 常考题型：结合三角形全等、相似证明平行四边形，或求边长、面积。 3． 矩形、菱形、正方形 - 矩形：具有平行四边形所有性质；四个角都是直角；对角线相等。判定：有一个直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。 - 菱形：具有平行四边形所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直且平分内角。判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形。 - 正方形：兼具矩形和菱形性质（四条边相等、四个角直角、对角线相等且垂直平分）。判定：邻边相等的矩形；有一个直角的菱形。 - 安徽中考高频考点：矩形折叠问题（求线段长度、角度）；正方形与坐标系、函数结合的综合题。 4． 梯形（含等腰梯形、直角梯形） - 等腰梯形：两腰相等；同一底上的两个角相等；对角线相等。判定：两腰相等的梯形；同一底上两角相等的梯形；对角线相等的梯形。 - 直角梯形：有一个角是直角的梯形，常结合勾股定理、三角函数计算。 5． 四边形与三角形的综合 - 连接对角线将四边形转化为三角形，利用全等、相似、勾股定理求解。 - 三角形中位线定理在四边形中的应用（如证明线段平行/相等）。 6． 四边形的面积计算 - 平行四边形：底×高；矩形：长×宽；菱形：底×高或对角线乘积；正方形：边长平方或对角线乘积；梯形：。 平行四边形的性质与判定 一、解答题 1．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 2．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 3．爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点，用尺规过点作垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：如图，在平行四边形中，于点，于点，．求证：平行四边形是菱形． 证明：， ， ____________________①． 四边形为平行四边形 ____________________②． 在与中 ____________________④． 四边形为平行四边形， 平行四边形是菱形 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么__________⑤，则可证明该平行四边形是菱形．． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；该平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的性质，作垂线段，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图； （2）根据菱形的定义证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，在平行四边形中，于点，于点，． 求证：平行四边形是菱形． 证明：，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ， ． 四边形为平行四边形，且， 平行四边形是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立． 因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，那么该平行四边形是菱形． 故答案为：，，．，该平行四边形是菱形． 4．如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 则， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 5．已知，为平行四边形的边上的一个动点（不与重合），连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），当为的中点且于点时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图（2），当且的面积为1时，求平行四边形的面积． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等． （1）先证，进而证明四边形是平行四边形，再根据得出，进而可证平行四边形是菱形； （2）先证，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）解：菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图2中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，点M在边上，连接，与交于点N，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若点F为的中点，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，再根据菱形的性质可得，再解直角三角形可得、，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形，                四边形是平行四边形， ， ，                                是的平分线， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：点F为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，                  ，   ，               由（1）得：四边形是菱形， ， ，                         在中，， ∴，    ，                        ． 7．如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 8．已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图．在中，，过点B作于点D．点E为的中点，连接，过点E作交的延长线于点F．若，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】本题考查了三角形的中位线，平行四边形和菱形的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，等边三角形的性质和判定；根据等腰三角形“三线合一”的知识，得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到，，再根据平行四边形判定定理证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，得到，即证明得，得到是等边三角形，再根据菱形判定定理即可证明. 【解答】 证明：∵在中，，过点作于点， ∴为中点，， ∵点为的中点， ∴为中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴, ∵中，， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形. 10．在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接． (1)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点E的坐标为； (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据矩形性质，以及线段的中点坐标特点得到点D的坐标，将其代入反比例函数解析式求解，即可求出m的值，再求出当时的函数值，即可得到点E的坐标； （2）利用割补法求出，设点M的坐标为，根据的面积等于的面积，建立方程求解，即可解题； （3）根据四点顺次连接构成平行四边形，分三种情况，①当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作轴于点，②当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作轴于点，延长交的延长线于点，③当为对角线时，如图有四边形为平行四边形，过点作垂直于的延长线于点，结合平行四边形性质，全等三角形性质与判定，以及坐标与图形分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， 点B坐标为，D为的中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数为， 当时，， 点E的坐标为； （2）解：点B坐标为，点D的坐标为，E的坐标为， ； 点M为y轴正半轴上一点， 设点M的坐标为， 又的面积等于的面积， ， 解得， 点M的坐标为； （3）解：存在， 四点顺次连接构成平行四边形， ①当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， ， 延长至，使得， ， 过点作轴于点，有， ， ， 即， ， ， ， ； ②当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， ， 过点作轴于点，延长交的延长线于点， ， ， ， ； ， ③当为对角线时，如图有四边形为平行四边形， 过点作垂直于的延长线于点， 由②同理可证， ， ； 综上所述，N的坐标分别为或或． 【点睛】本题考查了矩形性质，线段的中点坐标，求反比例函数解析式，反比例函数性质，反比例函数与几何综合，平行四边形性质与判定，全等三角形性质与判定，以及坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 12．（）如图，在矩形中，点分别是边的中点，连接，求证：； （）如图，在四边形中，，，点分别是边的中点，连接，与相交于点，若，求的长； （）如图，在四边形中，，，连接，点是边的中点，点在边上，，连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由题意结合矩形的性质，对应边成比例且夹角相等即可证得； （2）先证明四边形为平行四边形，进而得到边的平行关系，证明，得出线段的比例关系，利用线段之间的比例关系求解线段的长度即可； （3）过作于点，取的中点，连接，先根据已知条件得到相关线段的长度，再利用，求出线段的比值即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， 点分别是边的中点， ， ， ； （2）解：点是边的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 又， ， ， 是的中点，， ， ， 又， ； （3）解：过作于点，取的中点，连接， 则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， ， ， ，点是边的中点， 垂直平分， ， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线以及勾股定理的应用；解决第（3）问的关键是正确添加辅助线． 矩形的性质与判定 一、解答题 1．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 2．如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ，，，， ， ， 由勾股定理得， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于，则四边形是矩形， ，，， ． 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 4．如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明，可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求，的长，由矩形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∴点，点，点三点共线， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解： ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 7．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是菱形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 8． 如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据即可证明； （2）由（1），可得，证明四边形为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又 ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形，证明如下： ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又四边形为菱形， ， 即， 四边形为矩形． 9．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，沿方向匀速向点B运动，速度为，同时，点M从C出发，沿方向匀速向点A运动，速度为，，交于点N，当点P，M中有一点停止运动时，另一点也停止运动，连接，回答下列问题： (1)如图1，当t为何值时，使得？ (2)如图2，连接，，设的面积为y，求y与t之间的函数关系式（）． (3)如图3，过点B作，设的中点为G，是否存在t使得的中点G在线段上，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数，待定系数法，正确运用三角函数的定义，建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）先求出，用t表示出，然后根据平行线分线段成比例定理回答即可； （2）分两种情况：或进行计算； （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求出的解析式，将的中点G的坐标代入，列方程求解即． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 运动t秒时，，，，， 由，则， 得， ， 解得； （2）解：过点M作，交于点E，交于点F，则， 在矩形中，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， 在中，，， 在中，，， ， ，，， 当点P与点F重合时，，则， 解得，， 当时， ， ， ， ， ； 即当时，； 当时，如图，在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， 当时，； 综上， （3）解：存在，．理由如下： 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ，，的坐标为， 设的解析式为， ，解得，， 的解析式为， ，， ， 在中，，， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 中点的坐标为：，即的坐标为， 当点在上时， ，解得 存在t使得的中点G在线段上． 11．在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 12．如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，求的最小值． 【答案】最小值是． 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，将沿着的方向平移长的距离，得到，连接， 则四边形是平行四边形， ，， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于长， 连接，交于， 由轴对称的性质，可得垂直平分， 又矩形中，， 是的中点， 是的中位线， ， ， 又， ， 中，， 的最小值是． 菱形的性质与判定 一、解答题 1．如图，在中，，为的中点，垂直平分，交于点． (1)请判断四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理，线段的垂直平分线等知识点． （1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由垂直平分线得到，那么，则四边形是菱形； （2）先由勾股定理求解，然后根据菱形的性质得到为的中位线，即可求解，即可求解，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵，为的中点， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴ ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 2．如图，是正方形的对角线所在直线上的两点，，连接，．若，四边形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，根据正方形的性质和，可证明四边形是菱形，然后由四边形的周长和，根据勾股定理即可求得，从而得到的长． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是正方形的对角线所在直线上的两点，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 4．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 5．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 6．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． (1)求的长； (2)过点作，交于点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理推导出是直角三角形，且，再由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答； （2）连接，交于点，推导出四边形是平行四边形，得到，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理，得，则，继而求出菱形的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵是边的中点， （2）解：如图，连接，交于点． ∵四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∴菱形的面积为． 8．如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由点是的中点，得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进一步得到，证明，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论； （2）根据（1）可得，得到，再证明是直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形内角和定理、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】（1）证明：点E是的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：， 根据（1）可得， ， ，， ， ， ， 9．（1）解方程：． （2）如图，在平行四边形中，，求的长． 【答案】（1），；（2）5 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质和判定； （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）由平行四边形的对角线互相平分和勾股定理逆定理可得，进而得出平行四边形是菱形，最后由菱形四边相等得出. 【详解】解：（1）原方程可变形为：， ∴， ∵， ∴， 解得：． （2）∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴． 10．如图， 在平行四边形中， 对角线与相交于点O， ，过点B作交于点 E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先证明四边形是菱形，根据菱形的性质得，再根据同角的余角相等得，即可证明； （2）先由勾股定理求得，再由，根据相似三角形的性质列比例式代值求解即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是菱形， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 11．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； (2)根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 四边形的周长是， ， 设、， 则有，，， ， 在中，， ， ， ， 整理可得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式． 12．如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E，F．与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)填空：若，，则四边形的周长为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形特点，利用特殊角度，在直角三角形中求出的长，进而求出周长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴、互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴菱形周长为． 故答案为：． 13．如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形、平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据条件得到，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴四边形的周长． 正方形的性质与判定 一、解答题 1．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． （1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明； （2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线， ∴，平分． 又∵， ∴，． ∴四边形是正方形． （2）解：如图，作于点F． ∵四边形是边长为1的正方形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ． ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 由（1）知四边形是正方形， ∴ ∴， 即 整理得， 其中自变量x的取值范围为． 3．如图，矩形中，点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动，两点到达，两点时停止运动，已知，．设运动时间为秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； (3)当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)①9，②5 (3)或 【分析】题目主要考查矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质得出，，再由题意确定，利用平行四边形的判定即可证明； （2）①根据题意得：，确定，当时，四边形为矩形，建立方程即可求解；②根据菱形的性质得出，利用勾股定理求解即可； （3）过点Q作，根据矩形的判定和性质得出，再由勾股定理表示出，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①根据题意得：， ∵矩形，，， ∴，， ∴， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：； ②∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：过点Q作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半， ∴， 即， 解得：或． 4．如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，延长交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，请直接写出图中的余弦值为的角． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据翻折的性质证明，即可解决问题． （2）设，可得，，然后证明，可得，可得，进而可得余弦值为的角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由翻折而成， ， 是的中点， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 由（1）同理可得：， 设， 则， ， ∵， ， 由翻折而成， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 余弦值为的角是 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 5．在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及正方形的面积计算，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得和，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可得，再利用正方形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）解：证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，，D是的中点， ∴在中，，， ∴平行四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知，， 在中，， ． 6．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 7．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． (1)若E点为对角线的中点，则_； (2)求证：矩形是正方形； (3)求的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）若E点为对角线的中点，根据正方形的性质得出，进而解答即可； （2）如图，作于M，于，只要证明即可解决问题； （3）证明，可得，即可解决问题． 【详解】（1）解：若E点为对角线的中点， 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）证明：如图，作于M，于， 四边形是正方形， ， 于M，于N， ， ∵， 四边形是矩形， ， ∴， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （3）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∴． 8．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 9．综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点，是所在平面内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，，的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： （1）如图1，当，点与点重合时，证明：； 操作探究： （2）如图2，当，点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； 类比探究： （3）如图3，当，点与点不重合时，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质结合旋转的性质可得，可得四边形是正方形，即可得出结论； （2）延长至，使，由“”可证，可得，由旋转的性质可得，，，可求，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解； （3）连接并延长，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，作于点，推出四边形是菱形，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，由“”可证，可得，可得结论． 【详解】解：（1）由题意得是等腰直角三角形，是边的中点，点与点重合时 ，，，， 由旋转的性质，得，， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ； （2），理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即：； （3），理由如下， 如图，连接并延长，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，作于点， 由题意得，是等边三角形，则四边形是菱形，， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ，， ， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．在某次数学兴趣小组活动中，小星同学遇到了如下问题：如图①，在正方形中，，分别是，上的点，且，求的度数． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，如图①所示，即可求出的度数．请同学们根据此想法解决小星同学的问题． (2)【理解应用】如图②，在边长为的正方形中，，分别是，上的点，且，，求的长． (3)【延展应用】如图③，在矩形中，，分别是，上的点，，，且则的长为_______ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）证明，推出； （2）利用（1）中结论，利用勾股定理构建方程求解； （3）如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设．利用（2）中结论，再利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图①中，四边形都是正方形， ， 是由顺时针方向旋转得到， ，，， ， ，， ， ； （2）如图2中，设，则，， ，， ， 在中，， ， ， ； （3）如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 由（2）可知， ，， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 11．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）延长交于，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，即可求解； （2）连接、，结合矩形的性质和相似三角形的判定方法得， ，由相似三角形的性质得即可求解； （3）设，，，则，，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，由勾股定理得，再判定，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ，， 四边形、是正方形， 是正方形的对角线， 是正方形的对角线， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）解：连接、， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ． （3）解：，， 设，，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；能熟练利用勾股定理、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 12．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 13．【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点P在边上，点E、F分别在边、上，连接、，，点G为上一点，连接，且；求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段修建隔离防护栏，将区域设立成花卉观赏区，分别在线段、、上取点P、E、F，将区域设立成烧烤区，，已知，米，求烧烤区的面积． 【答案】（1）见解析；（2）烧烤区的面积为 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定方法，利用三角形相似的判定和性质解决问题，还涉及到正方形的性质和判定；解题关键是根据已知条件找到相似的两个三角形； （1）由已知条件得出，由得出角相等，利用外角定义得出，再由已知条件，得出角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似，得出结论即可． （2）首先过点作两条垂线，构造直角三角形，再根据已知条件判定四边形是正方形，得出45度角，利用两角相等判定出相似三角形有两对，利用比例的传递性得出的长度，从而求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）证明，， ， ， ， ，． ， ， ， ； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 烧烤区的面积． 四边形的综合应用 一、解答题 1．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．   （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 3．如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用中位线定理证明，,，，从而可得，，于是得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得与互相平分； （2）先证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，从而可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，， ，． 四边形为平行四边形． 与互相平分； （2）解：，理由如下： 与互相平分，和垂直， 四边形为菱形， ∴， ， 即． 4．如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 5．凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④；①③④ (2)详见解析 (3)存在， 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合特殊的平行四边形的性质，进行判断即可； （2）根据三角形的中位线定理，结合正方形的判定方法，即可得证； （3）连接，由题意得：，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，再根据四边形为菱形时，四边形为“十字形”，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直， ∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； （2）证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”， ， ， ， 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形菱形，     又， 菱形FGMH是正方形； （3）解：如图2， 连接， 由题意得：，则，     中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”， ， ，即：当时，四边形为“十字形”． 6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析；（4）①四边形是垂美四边形；理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式可求解； （3）根据“”证明即可； （4）①根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 7．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 8．某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据正方形的性质结合垂线的定义得，再根据可得，结合证明，即可证明结论； （2），根据菱形的性质可得，，再结合，利用等边对等角可得，由三角形内角和定理可证，根据可得，证明，即可证明结论； （3）同理（1）（2）可得：，易证是等腰三角形，推出，设，则，，求出，利用勾股定理求出；证明，利用相似三角形的性质求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）如图，点在直线上， 同理（1）（2）可得：， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 9．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． (1)请在图中再找出一对这样的角来：_____________； (2)如图，中，，以为一边向外作菱形，为菱形对角线的交点，连接． 四边形______损矩形；（填“是”或“不是”） 当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由； 若，，，求的长． 【答案】(1)，或， (2)①是；②四边形为正方形，理由见详解；③ 【分析】（1）根据损矩形的性质进行判定即可求解； （2）①根据菱形的性质得到，由损矩形的定义即可求解； ②根据角平分线的性质可得，由损矩形的性质可得，结合正方形的判定即可求解； ③如图所示，过点作延长线于点，由菱形的性质得到，由损矩形的性质得到，根据含角的直角三角形的性质可得的值，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：和有公共边，在同侧有和， 此时，， 和有公共边，在同侧有和， 此时，， 故答案为：，或，； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是损矩形， 故答案为：是； ②四边形是正方形，理由如下， ∵，平分， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； ③如图所示，过点作延长线于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是损矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合运用，掌握损矩形的定义和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用等知识的综合运用是解题的关键． 10．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 11．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是_． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 12．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形和正方形，这四种图形中是垂美四边形的是______； (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的说法是否正确，并说明理由； (3)问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则______． 【答案】(1)菱形和正方形 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；理解新定义，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，结合垂美四边形的定义，即可求解； （2）根据垂美四边形的定义得出对角线互相垂直，再根据勾股定理进行证明即可； （3）根据正方形的性质证明，得到对应角相等，再证明，得出四边形是垂美四边形，利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴是垂美四边形的是菱形和正方形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得, ， ， ， ∵， ， ∴； （3）解：如图，连接，相交于点，相交于点， ∵四边形和为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得,， ， ∴， ∴． 13．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 14．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：_（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为_（填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是_； ②四边形与菱形的面积关系是_； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 【答案】（1）；1；（2）①；②；（3）①，理由见解析；②见解析 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，根据三角形中位线定理可得，可得到是等边三角形，再证明，可得，即可解答； ②根据，可得，即可解答； （3）①过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则，先证明，可得，再证明，可得，即可解答； ②连接，延长交于点Q，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，再由菱形的性质可得到是边的中线，是等边三角形，，然后在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再结合等边三角形的性质可得是的中线，即可解答． 【详解】解：（1）小明：∵四边形是正方形，，边长为1， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，； 小丽：过点O分别作于点G，于点H， ∴， ∵四边形是正方形，边长为1， ∴，，，， ∴四边形为矩形，，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：；1； （2）①如图，取的中点E，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图，过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，连接，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 是边的中线， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴点P恰为的重心． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $四边形 1. 四边形的基本性质 -内角和为360°，外角和为360°；多边形内角和公式(1-2)×180°、外角和恒为360°（常考 填空/选择)。 -四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（含等腰梯形、直角梯形）。 2.平行四边形 -性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。 -判定：两组对边分别平行相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 -常考题型：结合三角形全等、相似证明平行四边形，或求边长、面积。 3.矩形、菱形、正方形 -矩形：具有平行四边形所有性质；四个角都是直角；对角线相等。判定：有一个直角的平行四 边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。 - 菱形：具有平行四边形所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直且平分内角。判定：一组邻 边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形。 -正方形：兼具矩形和菱形性质（四条边相等、四个角直角、对角线相等且垂直平分）。判定： 邻边相等的矩形；有一个直角的菱形。 -安徽中考高频考点：矩形折叠问题（求线段长度、角度）；正方形与坐标系、函数结合的综合 题。 4.梯形（含等腰梯形、直角梯形) -等腰梯形：两腰相等；同一底上的两个角相等；对角线相等。判定：两腰相等的梯形；同一底 上两角相等的梯形；对角线相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形，常结合勾股定理、三角函数计算。 5.四边形与三角形的综合 -连接对角线将四边形转化为三角形，利用全等、相似、勾股定理求解。 -三角形中位线定理在四边形中的应用（如证明线段平行/相等）。 6.四边形的面积计算 -平行四边形：底×高；矩形：长×宽；菱形：底×高或×对角线乘积；正方形：边长平方或 ×对角线乘积；梯形：专×（上底+下底）×高。 平行四边形的性质与判定 一、解答题 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，,BC于点E,F,垂 足为0. E B (1)求证：四边形AFCE为菱形： (2)在BC的延长线上取一点G,使CG=OC,连接OG.若F为BC的中点，且∠G=15°，AB=8, 求△FOG的面积. 2.如图，在口ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF,BF,过点B作BG∥AF交 FE的延长线于点G,连接AG, F E (1)求证：△AEF≌△BEG; ②)若EF=CD,请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论. 3.爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想 法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平 行四边形是菱形.根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： B A (I)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E,用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F(不写 作法，保留作图痕迹)； (2)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E,AF⊥BC于点F,AF=AE.求证：平 行四边形ABCD是菱形， 证明： AF⊥BC,AE⊥DC ∠AFB=90°，∠AED=90 ①. :四边形ABCD为平行四边形 ②. 在△ABF与ADE中 ∠AFB=∠AED ∠B=∠D ③ .△ABF≌AADE(AAS ④. :四边形ABCD为平行四边形， ·平行四边形ABCD是菱形 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交时，结论仍然成 立，因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线） 相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么 ⑤，则可证明该平行四边形是菱形.· 4.如图，ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接 CF. E (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE=2,四边形BCFE的面积为8，求四边形BCFE的周长. 5.己知，F为平行四边形ABCD的边CD上的一个动点（不与C、D重合），连接并延长AF交BC的延长 线于点E. D D B C B 图(1) 图(2) (1)如图(1)，当F为CD的中点且AE⊥AB于点A时，连接AC、DE,试判断四边形ACED的形状， 并说明理由； (2)如图(2)，当DF=2CF且△CEF的面积为1时，求平行四边形ABCD的面积. 6.如图，在ABCD中，∠ABC的平分线BE与CD的延长线交于点E,与AD交于点F,点M在BC边上， 连接AE、AM、MF，AM与BF交于点N,己知AW=MN,BN=BF 2 B (1)求证：四边形ABMF为菱形； (②)若点F为AD的中点，AM=6,tan∠AEN=,求四边形ABMF的面积. 6 7.如下图，在ABCD中，E,F分别是DC,AB上一点，∠AEC=∠AFC.求证：四边形AECF是平 行四边形. D E F B 8.己知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，CD=2AB，,E是CD的中点. D A E B (1)求证：四边形ABCE是平行四边形； (2)若AC=4,AD=5,求四边形ABCE的面积. 9.如图.在△ABC中，AB=BC,过点B作BD⊥AC于点D.点E为AB的中点，连接DE,过点E作 EF∥BD交CB的延长线于点F.若∠C=30°，求证：四边形DEFB是菱形. D B 10.在ABC中，AB=AC,LB=a(0°<a<45),D,E分别是BC,AC的中点.M是线段BD上的动点 (不与B,D重合)，连接DE,EM,将线段EM绕点E顺时针旋转2a得到线段EN,连接AN. A E B M D M D 图1 图2 (1)如图1，求证：AN=DM; (2)如图2，连接MN交AB于点F,当MF=NF时，用等式表示线段FB与FA的数量关系，并证明. 11.已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半 轴上，已知点B坐标为(3,6)，反比例函数y=”(x>O)的图象经过AB的中点D,且与BC交于点E, X 顺次连接O,D,E. AD B (1)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于aODE的面积，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O,D,E,N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直 接写出N的坐标；若不存在，请说明理由. 12.(1)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接BDEF,求证： △BCD∽△FBE; M B F 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,点E、F分别是边AB、BC的中点，连接 DE、EF,EF与BD相交于点M,若BD=I2,求BM的长； (3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，连接BD,点E是边AB的中点，点F 在边BC上，AD=2FC,连接AF、EF,EF交BD于点G,连接AG,若AD=CD,AG=BG,求 二的 矩形的性质与判定 一、解答题 1.如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O,O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、D作 CE∥BD,DE∥AC,CE和DE交于点E. (1)求证：四边形0DEC是矩形； (2)若0F=1,∠CAE=30°时，求AC的长. 2.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF=9 (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)求线段EF的长. 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD交AB的延长线于点E, AC=CE. D B E (1)求证：四边形BDCE是平行四边形： (2)若∠ADB=30°，AC=4,求四边形ABCD的面积. 4.如图，在ABCD中，对角线BD⊥AB,E为BC的中点，分别延长AB和DE交于点F,连接AE,CF. B E (1)求证：四边形BFCD是矩形； (2)若AB=1,BC=2,求AE的长 5.如图，在ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，连接BE,将线段BE绕着 点E顺时针旋转180°到EF,连接AF,CF. (1)求证：四边形ADCF是矩形： (2)若BC=2AE,AC=5√5，求BF的长. 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线， 两直线相交于点E. (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)当∠ABC=°时，四边形OBEC是正方形，并证明你的结论. 7.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、E、C、G在同一条直线上，且 BE=EC=CG,AE延长线交DC延长线于F. (1)求证：△ABE≌△FCE; (2)条件：①AC=BD；②BC=2CD.请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形DEFG的 形状 8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点，连接OE,过点C作CF∥BD 交OE的延长线于点F,连接DF, (1)求证：△ODE≌△FCE; (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程. 9.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点，AC、DE交于点F,AF=FC, BF∥CD. D (1)求证：四边形BCDF为矩形： (2)若CD=DE=3,求AB的长， 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A出发， 沿AB方向匀速向点B运动，速度为1cm/s,同时，点M从C出发，沿CA方向匀速向点A运动，速 度为2cm/s,MN∥CD,交AD于点N,当点P,M中有一点停止运动时，另一点也停止运动，连接 PM(0<t<5),回答下列问题： D M P 图1 图2 图3 (1)如图1，当t为何值时，使得PM‖AD? (2)如图2，连接DM,DP,设△PMD的面积为y,求y与t之间的函数关系式(0<t<3)· (3)如图3，过点B作BE⊥AC,设PM的中点为G,是否存在t使得PM的中点G在线段BE上，若 不存在，请说明理由. 11.在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5,BC=AD=4. 0 D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点， 当点Q落在CD边上时，求PB的长。 (2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F,将△BEF沿直线EF翻折得 △B'EF,连接DB,当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长： (3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A,当 A,M,C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长 12.如图，O为矩形ABCD对角线AC,BD的交点，AB=6,M,N是直线BC上的动点，且MN=2, 求OM+ON的最小值. D 0 B M N 菱形的性质与判定 一、解答题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AC垂直平分ED,AC交ED于点O. (1)请判断四边形AECD的形状： (2)若AB=10,AC=6,求四边形AECD的面积。 2.如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，DE=BF,连接AE,AF,CE,CF.若 BD=6,四边形AECF的周长为8V7,求EF的长. E 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，CE∥AB,DE是∠CDB的角平分线，连接AE、 BE· C (I)求证：四边形CDBE是菱形； (2)若AC=AD=3,求AE的长. 4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,延长CD至点E,使得CE=2BC,连接BE交AD边 于点F,点D、F分别是CE、BE的中点，DF=与AD, E (1)求证：四边形ABCD是菱形；