考点09 三角形 讲义 2026年中考数学一轮基础通关手册 （安徽专用）

三角形 1.三角形的基本性质 -三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（常考线段能否构成三角形）。 -内角和定理：三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角和（角度计算高频考点）。 -三角形的分类：按角（锐角、直角、钝角）、按边（等腰、等边、不等边）。 2.等腰/等边三角形 -等腰三角形：等边对等角、等角对等边，三线合一（顶角平分线、底边上的高、中线重合）。 -等边三角形：三边相等，三角均为60°；判定（三边相等/三角相等/有一个角为60°的等腰三 角形)。 ~常考题型：结合全等、勾股定理求边长或角度。 3.直角三角形 -勾股定理及逆定理：a2+b2=c2(己知两边求第三边，判定直角三角形)。 -含30°/45°角的直角三角形性质：30°角对的直角边是斜边的一半；等腰直角三角形两直角边 相等。 -斜边上的中线等于斜边的一半（高频填空/选择题考点）。 4.三角形全等(SAS,ASA,AAS,SSS,HL) -判定定理：牢记5种判定方法，SSA不能判定全等。 -常考题型：证明线段相等、角相等，或结合四边形、圆综合出题。 5.三角形相似 -判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。 -性质：对应角相等，对应边成比例：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 一安徽中考常结合坐标几何、函数图像出题，难度中等偏上。 6. 三角形的中位线 -定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 -应用：常与平行四边形判定、线段长度计算结合。 7.三角形的高、角平分线、中线 -角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（逆定理也常考），。 -中线：重心（三条中线交点）分中线为2：1两段；面积相关计算（等底同高三角形面积相 等)。 全等三角形的判定与性质 一、单选题 1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,若AC=6,连接CE,则CE的长为() B A.3 B.6 C.6√2 D.12 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键， 根据旋转和全等的性质可得4CME=6,∠BE1C=90°，再根据勾股定理可得CB=VAC+AE=65 【详解】解：，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,AC=6, ∴.△ABC≌△ADE,∠EAC=90°， .AC=AE=6 :CE=√AC2+AE=6√2 故选：C 2.给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部：②周长相等的两个三角形全等：③全等三角形 的面积相等：④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高、全等三角形的定义等知识点.根据三角形的高、全等三角形的 定义逐个判定，最后统计即可解答， 【详解】解：钝角三角形有两条高在三角形的外部，故①错误： 周长相等的三角形不一定全等，故②错误； 全等三角形的面积一定相等，即③正确： 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称，故④正确，⑤错误， 综上正确的只有2个 故选：B. 3.如图， △ABCDBE AB=7,BE=3 ,若 则CD的长为() D B A.3 B.3.5 C.4 D.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等。 根据全等三角形的对应边相等可知BC=BE=3,AB=BD=7,进而可求解· 【详解】解：△ABC三DBE, ∴.BC=BE=3,AB=BD=7, ∴.CD=BD-BC=7-3=4, 故选：C. 4.如图，在△ABC与△ADE中，AC=AE,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC,BC与DE交于点F,AB与 DE交于点G,BC与AD交于点H,以下结论：①AG=AH;②∠BFD=∠EAC;③AH⊥CF;④ △BGF≌△DHF:⑤GF=HF,其中一定正确的是() G A.①②④ B.①③④ C.②④⑤ D.①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定(AAS、ASA、SAS)与性质的综合运用，同时考查角的和差运 算与等量代换、对顶角性质及三角形内角和定理的应用，先通过角的等量代换推出∠BAC=∠DAE,用 AAS证△ABC≌△ADE得到边的等量关系：再依次用ASA、SAS证多组三角形全等，逐一验证①②④⑤ 结论成立，根据已知条件排除③，结合选项确定最终答案为①④⑤. 【详解】解：∠BAE=∠DAC, ∴.∠BAE+∠BAD=∠DAC+∠BAD. ∠DAE=∠BAC, 在△ABC与△ADE中， 「∠B=∠D ∠BAC=∠DAE AC=AE :△MBC≌aADE(AHS ∴AB=AD,LC=∠E, 在△ACH与△AEG中， 「∠C=∠E AC=AE ∠CAH=∠EAG' ,△ACH≌△AEG(ASA ·.AG=AH,∠AGE=∠AHC,故①正确： :∠BFD=∠EFC,如解图，连接EC D 根据题目已知条件，无法判断△AEC和△FEC全等， 则∠EAC不一定等于∠EFC, ∴.∠BFD不一定等于∠EAC,故②不一定正确： ,题目条件并未体现∠AHC和∠AHF、∠AHF和∠DHF之间的角度关系，故③不一定正确： 又.AB=AD, ∴AB-AG=AD-AH,即BG=DH, 在△BGF与△DHF中， ∠BFG=∠DFH ∠B=∠D BG=DH △BGF≌△DHF(AAS) .GF=HF,故④⑤正确， 综上所述，一定正确的是①④⑤. 故选：D. 5.如图，若△ABC≌aDEB,点E在AB上，∠D=30°，∠EBD=65°，则∠DBC的度数是() B A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出∠DEB=85°， 再根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DEB=85°，即可求解，掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解：：∠D=30°，∠EBD=65°， ∴.∠DEB=180°-∠D-∠EBD=85°， ,△ABC≌△DEB, 、.∠ABC=∠DEB=85°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠EBD=85°-65°=20°， 故选：B 6.第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”， 如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.若EF:AH=1:3 ,则Cos∠ABE=() B 图1 图2 4.6 5 B.3 c. 0.2⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以 上知识是解题的关键， 设EF=x,则AH=3x,根据全等三角形，正方形的性质可得AE=4x,再根据勾股定理可得AB=5x ,即可求出cos∠ABE的值. 【详解】解：根据题意，设EF=x,则AH=3x, ,△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形， ∴AH=BE=3x,EF=HE=x, ∴.AE=4x, :∠AEB=90°， AB=VAE+BE2=5x cos∠ABE= BE 3x3 AB5x5· 故选：B. 7.如图，在△ABC中，点D,E分别是边BC,AC上的点，若△AEB≌△DEB≌aDEC,则∠C的度数为 () A.30° B.25° C.20° D.150 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理. 先根据全等三角形的性质求出∠CDE=∠BDE=∠A=90°，∠ABE=∠DBE=∠C,进而可得 ∠ABE+∠DBE+∠C=180°-∠A,进而计算出∠C的度数， 【详解】解：'△AEB≌△DEB≌△DEC, ∴.∠A=∠BDE=∠CDE,∠ABE=∠DBE=∠C, :∠BDE+∠CDE=180°， .∠BDE=∠CDE=90°， :∠A=90°， .∠ABC+∠C=180°-∠A=90°， 即∠ABE+∠DBE+∠C=90°， .3∠C=90° ∠C=30°， 故选：A. 8.如图，∠A=∠B=90°，AB=6,E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点 A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为1：2，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G,使△AEG与△BEF全等，则AG的长为() D G B E A.2 B.3 C.2或3 D.2或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键。 设BE=a,则BF=2a,使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况： 情况一：当BE=AG,BF=AE时，列方程解得a,可得AG的长度： 情况二：当BE=AE,BF=AG时，列方程解得a,可得AG的长度. 【详解】解：点E与点F运动速度之比为1：2， ∴时间相同时，BE:BF=1:2, 令BE=a,BF=2a, ,AB=6,则AE=6-a, 若△AEG≌△BFE, 则有AE=BF(全等三角形对应边相等)， 则6-a=2a, 解得：a=2, 此时AG=BE=2: 若△AEG≌ABEF, 则有AE=BE(全等三角形对应边相等)， 则6-a=a, 解得a=3, 此时AG=BF=6, 综上所述，如果使△AEG与△BEF全等，则AG的长为2或6. 故选：D. 9.一个三角形的三边长分别为3,5,7，另一个三角形的三边长分别为3,3a-2b,a+2b,若这两个三角形 全等，则a+b=() A.4 B.5 C.4或5 D.3或5 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确 定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论 由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对 应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求a和b，再计算a+b 【详解】解：：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， ∴此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：3a-2b=5且a+2b=7, 相加得4a=12, .a=3,代入a+2b=7得b=2, .a+b=5: 情况二：3a-2b=7且a+2b=5, 相加得4a=12, a=3,代入a+2b=5得b=1, .a+b=4; .a+b=4或5. 故选：C. 二、解答题 10.如图，等边△ABC,在BC边延长线上取点D,连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到 线段DE,连接CE,AE B (1)求∠ECD的度数： (2)若AB=6,CD=2,求AD的长 【答案】(1)60° ②23 【分析】(1)由旋转的性质可得AD=DE,∠ADE=60°，再由等边三角形的性质可得 AB=AC,∠BAC=60°，再证明△1BD2A1CE(SAS),再由全等三角形的性质求解即可： (2)过点E作EH⊥CD交CD的延长线于点H,由全等三角形的性质可得CE=BD=8,再求得 ∠CBH=30°，由直角三角形的性质可得CH=4,EH=45,最后由勾股定理求解即可。 【详解】(1)解：将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE, AD=DE,∠ADE=60°， 即△ADE是等边三角形， .∠DAE=60°，AD=AE, ,△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°， ∴.∠BAC=∠DAE, .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ABDACE(SAS) ·.∠ACE=∠ABD=60° ∴.∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60° (2)解：如图，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于点H, H AB=6,CD=2, .'BC=AB=6, .BD=BC+CD=8, :△ABD≌△ACE, .CE=BD=8. :∠ECD=60°， ∴.∠CEH=30°， .CH-CE-4.EH-CE-CHE4 DH=CH-CD=2, DE=VDH+EH=V22+43=23, :D=23 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理 及直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题. 11.如图，在正方形ABCD中，点E是线段BC上的一点（不与点B重合），连接AE,过点E作 EN⊥AE,过点N作NM⊥BC交BC的延长线于点M,BE=MW,求证：AE=EN.三角形 1.三角形的基本性质 -三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（常考线段能否构成三角形）。 -内角和定理：三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角和（角度计算高频考点）。 -三角形的分类：按角（锐角、直角、钝角）、按边（等腰、等边、不等边）。 2.等腰/等边三角形 -等腰三角形：等边对等角、等角对等边，三线合一（顶角平分线、底边上的高、中线重合）。 -等边三角形：三边相等，三角均为60°；判定（三边相等/三角相等/有一个角为60°的等腰三 角形)。 -常考题型：结合全等、勾股定理求边长或角度。 3.直角三角形 -勾股定理及逆定理：a2+b2=c2(已知两边求第三边，判定直角三角形)。 -含30°/45°角的直角三角形性质：30°角对的直角边是斜边的一半；等腰直角三角形两直角边 相等。 -斜边上的中线等于斜边的一半（高频填空/选择题考点）。 4.三角形全等(SAS,ASA AAS,SSS,HL) -判定定理：牢记5种判定方法，SSA不能判定全等。 -常考题型：证明线段相等、角相等，或结合四边形、圆综合出题。 5.三角形相似 -判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。 -性质：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 一 安徽中考常结合坐标几何、函数图像出题，难度中等偏上。 6.三角形的中位线 定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 -应用：常与平行四边形判定、线段长度计算结合。 7.三角形的高、角平分线、中线 -角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（逆定理也常考)。 -中线：重心（三条中线交点）分中线为2：1两段；面积相关计算（等底同高三角形面积相等）。 全等三角形的判定与性质 一、单选题 1.如图，将ABC绕点A逆时针旋转90°得到ADE,若AC=6,连接CE,则CE的长为() D E B A.3 B.6 C.62 D.12 2.给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形 的面积相等；④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，△ABC9DBE,若AB=7,BE=3,则CD的长为() D E B A.3 B.3.5 C.4 D.6 4.如图，在ABC与ADE中，AC=AE,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC,BC与DE交于点F,AB与 DE交于点G,BC与AD交于点H,以下结论：①AG=AH;②LBFD=∠EAC;③AH⊥CF;④ △BGF≌△DHF;⑤GF=HF,其中一定正确的是() E G A.①②④ B.①③④ C.②④⑤ D.①④⑤ 5.如图，若△ABC≌△DEB,点E在AB上，∠D=30°，∠EBD=65°，则∠DBC的度数是() B A.15 B.20 C.259 D.30° 6.第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”， 如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.若EF:AH=1:3, 则c0s∠ABE=() D ICmE-14 B 图1 图2 4.⑤ 5 c. D.25 7.如图，在ABC中，点D,E分别是边BC,AC上的点，若△AEB≌△DEB≌△DEC,则∠C的度数为 () A.30° B.25° C.20° D.159 8.如图，∠A=LB=90°，AB=6,E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点 A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为1：2，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G,使△AEG与△BEF全等，则AG的长为() D E A.2 B.3 C.2或3 D.2或6 9.一个三角形的三边长分别为3,5,7，另一个三角形的三边长分别为3,3a-2b,a+2b,若这两个三角形 全等，则a+b=() A.4 B.5 C.4或5 D.3或5 二、解答题 10.如图，等边ABC,在BC边延长线上取点D,连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到 线段DE,连接CE,AE. E D (1)求∠ECD的度数； (2)若AB=6,CD=2,求AD的长. 11.如图，在正方形ABCD中，点E是线段BC上的一点（不与点B重合），连接AE,过点E作 EN⊥AE,过点N作NM⊥BC交BC的延长线于点M,BE=MN,求证：AE=EN. 4 B E 12.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点 E. (1)求证：△ACD≌△AED; (2)求CD的长. 13.如图，在ABC中，∠ABC=LACB,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且 AD=CE. D (1)求证：DE=BD+CE; (2)判断ABC的形状，并说明理由. 14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB上一点，作等腰Rt△MCN,且∠MCN=90°， 连接BN. M (1)求证：△CNB≌△CMA; (2)若AM=5,BM=12,求MN的长 15.如图，ABC与ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AC⊥DE于点F,连接CE. (1)求证：AD1BC. (2)求∠AEC的度数， 16.在菱形ABCD中，∠B=a(90°≤a<180),点E是边BC上一点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针 旋转o得到线段EF,连接CF. D M 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数； (2)如图2,90°<a<180°，用∠DCF的度数（含a的代数式表示）； (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上 一点，且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值. 17.已知AOB和△M0N都是等腰直角三角形，∠A0B=∠M0N=90°， O B 图① 图② (1)如图①，连接AM,BN,求证：△AOM≌△BON; (2)如图②，将△M0N绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边AB上时，求证：BN2+AN2=2ON2. 18.综合与探究 如图，在ABC中，∠C=90°，BC=m,AC=n,且m,n满足Vm-6+n-8=0,D,E分别是 边AC,BC上的动点，连接DE·将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE,点F恰好落在边AB上. 6 D 图1 图2 (1)求边AB的长 (2)如图1，若D为AC的中点.求证：∠BFE=∠DEF. (3)如图2，若F为AB的中点. ①试猜想线段BE,AD与DE之间的数量关系，并说明理由. ②直接写出线段BE的长. 19.如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出 发，相向而行，速度均为2cm/s,运动时间为t(0≤1≤5)s. 备用图 (1)若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠2.5，求证：以E,G,F,H为顶点的四边形始终是平行 四边形. (2)在(1)的条件下，当t为何值时，以E,G,F,H为顶点的四边形是矩形？ 20.如图1，四边形ABCD是长方形，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD=BC,AB=CD,AD=6, AB=IO,点E是AB边上一点，连接DE,过点E作DE的垂线，交BC于点F,将△BEF沿EF所在 直线翻折得到△EFG,其中点G是点B的对应点. 图1 图2 图3 (1)如图2，连接CG,若∠AED=45°，直接写出CG的长为 (2)连接DG,若△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长； (3)如图3，连接CG,若FG的延长线正好经过点D,直接写出aCDG的面积为 相似三角形的判定与性质 一、单选题 1.如图，在矩形ABCD中，E,F是AB边上的三等分点，连接CE,DF相交于点G,连接BG,若 AB=6,BC=4,则tan∠GBF的值是() G A E B A.10 C.3f0 10 R君 10 0 3 2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F,连接AC、CF,连接 BF分别交AC、CD于点H、G,若CE=CF,S.CEF=30,CF=10,则线段EG的长度为() 0 E G 432 B.4 C.0 D.30 3.如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为 1.5m2,直角边AB=1.5m,则这个正方形木板的边长为() E B▣ B.Z 3 6 C.m 3m 4.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点F在AD边上，连接CF并延长交BA的延长线于点E,CE交BD 于点G,若AD=4AE,CE=18,则CG的长是() E G A.4 B.8 C.12 D.16 AE AF 2 5.如图，矩形ABCD,AC=20cm, BEFD,则EF长为() 4 E B A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 二、解答题 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,E是边AB上一点，DE与AC交于点G,如果CE平 分∠ACB,且DE⊥CE. G ER B (1)求证：AE2=AG·AC; (2)求证：AG·GC=EG·ED. 7.如图，已知点D,E分别在ABC的边BA,CA的延长线上，且DE∥BC. E B F (1)如果AD=3,BD=9,DE=4,求BC的长； 2)如果C4=3 CE=5 4D=4,sinB=10 4 ,过点D作DF上BC,垂足为点F,求DF的长. 8.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，满足AC2=AD·AB,点E是AC的中点，连 接ED并延长交CB的延长线于点F,求证： D B (1)CD⊥AB; (2)BC·CF=AC·DF. 9.如图，在平面直角坐标系中，宜线y+2与y能交于点4，与反比例函数y=冬（必为常数，且k0 ,x>0)的图象交于点B(6,m,点C在x轴上，连接AC、BC,AC⊥BC. (1)求反比例函数的表达式； (2)过点B作BD⊥x轴于点D,求OC的长. 10.四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=8,AB=2V10,BC=10.点P在直线BC上运动， 连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ,设BP=x, 图1 图2 图3 (1)AP的最小值为 ,此时x= (2)在点Q随点P运动的过程中， ①若点Q恰好落在边CD上，如图2，求x的值； ②连接AC,若PQ∥AC,如图3，求x的值； (3)当点Q到BC的距离为1时，直接写出tan∠BAP的值. 11.如图①.在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2.动点P从点E出发，沿折线 EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q,连接 PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0) BP E B 图① 图② (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE; (3)当点P在边AD上运动时，POE的形状始终是等腰直角三角形，如图②.请说明理由；