第4章 概率（复习课件）数学湘教版九年级下册

单元复习课件 第4章 概率 湘教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 4.运用概率的知识解决实际问题。 1．掌握本章重要知识，能灵活运用列举法求概率，会用频率估计概率。 2．通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的由特殊到一般的思想和转化的思想过程，加深对本章知识的理解。 3.回顾本章知识点，构建知识体系。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、随机事件与可能性 事件 确定性事件 随机事件：可能发生，也可能不发生的事件。 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件。 不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件。 事件通常用大写英文字母…表示 考点串讲 考点二、概率及其计算 1．概率： 一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作。 0 1 事件发生的可能性越来越大 事件发生的可能性越来越小 不可能事件： 必然事件： 概率为 考点串讲 考点二、概率及其计算 2．概率的计算公式： 一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是. 如果事件包括其中的种可能的结果，那么事件发生的概率 个 事件包含的可能结果数 一次试验所有可能出现的结果数 考点串讲 考点三、列表法求概率 1．列表法：当事件A发生的可能性为两个，且可能性情况明确时，可用列表法列出所有可能的情况，再看其中适合题意的情况占总数的比值，借此确定该事件A发生的概率； 一个因素所包含的可能情况，即 另一个因素所包含的可能情况，即。 两个因素所组合的所有可能情况,即 2.列表法中表格构造特点: 考点串讲 考点四、树状图法求概率 1．树状图法：当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”。 2.树形图的画法: 一个试验 第一个因数 第二个 第三个 如一个试验中涉及2个或3个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况;第三个因数中有2种可能的情况. A B 1 2 3 1 2 3 考点串讲 考点五、用频率估计概率 1．当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率。 2．频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件可能性的大小，但频率与试验次数及具体的试验有关，具有随机性；概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性。 考点串讲 题型一、事件的分类 例1 （23-24八年级下·江苏南京·期中）下列事件中属于必然事件的个数是（   ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件； 事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件； 事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件； 事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件， ∴ 只有事件④是必然事件，共1个， 故选：B 解析：考查了必然事件．必然事件是指一定发生的事件，逐项分析即可。 B 题型剖析 题型一、事件的分类 方法总结： 概念的理解。明确三类事件的定义： 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，概率为 1。 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率在 0~1 之间。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率为 0。 题型剖析 题型一、事件的分类 练一练 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列事件：①打开电视机，正在播广告；②从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰好是白球；③在学校操场上抛出的篮球会落下；④抛掷硬币 10 次，第 10 次正面向上．其中为随机事件的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 解：根据随机事件的定义得，是随机事件的有：①④， 故选：B． 解析：考查了随机事件，解题的关键是掌握随机事件的定义．根据随机事件的定义逐项进行判断即可． B 题型剖析 题型二、判断可能性的大小 例2 （2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件；C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件；故选A． A 解析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 方法总结： 简单概率的计算，可以结合生活实际进行联想。 题型剖析 题型二、判断可能性的大小 练一练 （24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（    ） A．他第11次摸到的一定还是黄球 B．他第11次摸到的可能还是黄球 C．盒子里一定都是黄球 D．盒子里一定还有其它颜色的球 解析：考查了可能性，逐项分析即可。 解：．他第11次摸到的不一定还是黄球，故该选项不符合题意； ．他第11次摸到的可能还是黄球，故该选项符合题意； ．盒子里不一定都是黄球 ，故该选项不符合题意； ．盒子里不一定还有其它颜色的球．，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型剖析 题型三、利用概率公式求概率 例3 （25-26九年级上·广东·期中）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（   ） A． B． C． D． B 解：三个开关，随机闭合两个有，，三种情况，其中能使得灯泡发光的接法只有闭合这一种情况， 根据题意，得能让灯泡发光的概率是， 故选：B． 解析：跨学科融合，考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 题型剖析 题型三、利用概率公式求概率 方法总结： 易错点 重复计数：在计算事件数时，避免把同一结果多次计入； 忽略等可能性：当试验结果不是等可能时，不能直接用此公式（如不均匀的骰子）； 混淆 “或” 与 “且”：“事件 A 或 B” 的事件数为 A+B−A∩B，需用容斥原理。 题型剖析 题型三、利用概率公式求概率 练一练 （25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． A 解析：考查了概率公式的应用。 题型剖析 题型四、求几何概率 例4 （25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 解析：考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． D 题型剖析 题型四、求几何概率 方法总结： 角度已知型：直接用角度比计算概率（如本题）。 面积已知型：若给出各区域面积，直接用面积比计算。 多区域组合型：多个扇形区域时，将目标区域的角度 / 面积相加再除以总角度 / 面积。 易错点：注意转盘是否 “均匀”，只有均匀转盘才能用角度 / 面积比计算概率。 题型剖析 题型四、求几何概率 练一练 （25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 解析：考查了相似三角形的性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）以及三角形面积的比例关系，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率是解题的关键． 题型剖析 题型四、求几何概率 练一练 （25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 解：∵，∴， ∵，∴，，∴， ∴， ∴在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率． 故答案为：． 题型剖析 题型五、利用概率求个数 例5 （2025·湖南湘潭·模拟预测）一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（   ） A． B． C． D． 解题思路：考查了概率公式的应用。 解：设袋子中蓝色玻璃球有x个，则， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴随机摸出一个为红色玻璃球的概率为：． 故选：C 题型剖析 题型五、利用概率求个数 方法总结： 已知部分概率求总数：通过设未知数建立方程，求出总球数是解题的关键。 多颜色球组合：先确定各颜色球的数量关系，再利用概率公式计算。 易错点：注意 “除颜色外其余都相同” 说明每个球被摸到的概率相等，符合等可能事件的概率公式。 题型剖析 解：设袋子中红球的个数为． 由题意，可知， 解得， 即袋子中红球的个数为6．故答案为：6． 题型五、利用概率求个数 练一练 （2025·湖南长沙·模拟预测）一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为 ． 解题思路：考查概率的应用，解题关键是根据概率公式建立方程求解． 题型剖析 题型六、游戏公平性问题 例6 （25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 解题思路：考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 题型剖析 题型六、游戏公平性问题 (1)解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率，这个游戏不公平． 题型剖析 方法总结： 列表 / 树状图的选择：两步试验用列表法更清晰，三步及以上试验用树状图更直观。 游戏公平性判断标准：双方获胜的概率相等则公平，否则不公平。 易错点：注意 “不放回” 与 “放回” 的区别，不放回时第二步的结果数会减少。 计算概率时要确保所有结果是等可能的。 题型六、游戏公平性问题 题型剖析 练一练 （24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 题型六、游戏公平性问题 题型剖析 （1）解：∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率为． （2）解：这个游戏规则对双方不公平；理由如下： ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， ∴能构成等腰三角形的概率为； ∵构成的三角形的周长小于10的结果有1种， ∴构成的三角形的周长小于10的概率为； ∵， ∴小圆赢的概率小梦赢的概率， ∴这个游戏规则对双方不公平． 题型六、游戏公平性问题 题型剖析 题型七、用树状图求概率 例7 （2024·湖南长沙·模拟预测）颜料三原色是指红、黄、蓝三色，又称为基色，即用以调配其他色彩的基本色．配色规律如图所示（例如：红和黄按一定比例混合可以呈现橙色）．在一次美术课上，甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合，那么得到紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 解题思路：考查了利用树状图求概率，熟练掌握树状图法是解题关键． 题型剖析 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，甲同学从颜料三原色中随机同时选择其中两种按一定比例进行混合共有6种等可能的结果，其中，得到紫色的结果有2种， 则得到紫色的概率是，故选：B． 题型七、用树状图求概率 方法总结： 熟练掌握树状图，不要漏项。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·浙江温州·期中）九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， (1)若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； (2)若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 解题思路：考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 题型七、用树状图求概率 题型剖析 （1）解：根据题意画图如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有4种， 小朱同学表演节目的概率 （2）解：根据题意得： （名） 答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目． 题型七、用树状图求概率 题型剖析 题型八、用列表法求概率 例8 （2024·湖南·模拟预测）在不透明的口袋中装有3颗除颜色外无差别的小球，其中红球、黄球、白球各1颗，从袋中随机抽取两次，每次抽取一颗，抽完后放回摇匀，则两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率是 ． 解题思路：考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 题型剖析 题型八、用列表法求概率 例8 （2024·湖南·模拟预测）在不透明的口袋中装有3颗除颜色外无差别的小球，其中红球、黄球、白球各1颗，从袋中随机抽取两次，每次抽取一颗，抽完后放回摇匀，则两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率是 ． 解：设红球、黄球、白球分别为，列表如右： 由表格可得，共有9种等可能的结果，其中两次抽取中刚好只抽到一次红球的情况有4种， 两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率． 故答案为：． 方法总结： 适用于只有两个因素题型；熟练掌握列表法，不要漏项。 题型剖析 练一练 （24-25九年级下·四川·期中）湖南省拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的概率为 ． 题型八、用列表法求概率 解：将“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点分别记为：，，，，在这四个景点中选择两个景点去游玩，列表如下： 共有种等可能结果，其中他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的结果有：，两种结果， ∴，故答案为：． 题型剖析 题型九、统计与概率的综合问题 例9 （2025·江苏苏州·一模）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次调查的学生共有______________人， C组占扇形统计图中圆心角度数为________度． (2)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到 敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率． 题型剖析 题型九、统计与概率的综合问题 解题思路：考查了列表法求概率以及扇形与条形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：（1）由题意得本次调查的学生共有， 组占扇形统计图中圆心角度数为， 故答案为：100，126 （2）依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下： 由以上，可得共有12种等 可能的结果，其中 选中C，D小组的结果有 共2种， 题型剖析 题型九、统计与概率的综合问题 方法总结： 综合题型，需要规范答题， 统计部分：写出计算总人数、圆心角的公式和过程，确保单位和百分比转换正确。 概率部分：用清晰的列表或树状图展示所有结果，再计算概率，避免遗漏。 结论部分：明确回答题目问题，如 “该游戏不公平”“概率为” 等。 题型剖析 练一练 （2025九年级·湖南·学业考试）为全面贯彻落实湖南省教育厅印发的《学年全省中小学全员体育活动实施方案》通知精神 ，进一步推动素质教育，促进学生全面发展，某校积极响应政策号召，高度重视学校体育教育工作的创新与发展．学校精心设定体育课程体系，规划了四个特色鲜明的项目群：A田径、B球类、C体操、D武术 ．学校为了更好地安排课程，对学生最喜欢的项目群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： 题型九、统计与概率的综合问题 题型剖析 (1)本次调查中，一共调查了__名学生，其中选择“C体操”的女生有__名； (2)补全上面的条形统计图，求扇形统计图中“D武术”所对应的圆心角的度数； (3)学校想从选择“C体操”的学生中随机选取两名学生作为“校园体育节”的示范员，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率 ． 题型九、统计与概率的综合问题 （1）解：（人）， ∴一共调查了20人； ∴C体操组人数为：（人）， ∴C体操组女生有：（人）； 故答案为：20；2； （2）解：D类的百分比为， D类的男生人数为（人），补全图形如下： 题型剖析 题型九、统计与概率的综合问题 “D武术”所对应的圆心角的度数． （3）解：用A，B，C表示3名男生，用D，E表示两名女生，列表如下： 共有20种等可能的结果， 其中所选的学生恰好是 一名男生和一名女生的结果 有12种， ∴． 题型剖析 题型十、用频率估计概率 例10 （25-26九年级上·贵州贵阳·期中）一个不透明的袋中装有10个除颜色外完全相同的小球，搅匀后小星从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验．通过多次摸球试验后发现从袋中摸出1个红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数约为（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 解题思路：考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值， 解：由题意，得 袋中红球的个数约为：个．故选D． D 题型剖析 题型十、用频率估计概率 方法总结： 已知频率求数量：直接用 “数量 = 总数 × 频率” 计算。 已知数量求频率：用 “频率 = 数量 ÷ 总数” 计算。 放回试验的特点：放回试验中，每次摸球的总球数不变，频率稳定后仍可用上述公式。 易错点：注意 “放回” 与 “不放回” 的区别，但在频率估计概率的题型中，两者的计算方法一致，因为频率是大量试验的结果。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·河北张家口·期中）“二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十、用频率估计概率 解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为．故选：B． 题型剖析 1. （2025九年级·湖南·学业考试）下列说法中正确的是（    ） A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件 C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 解：A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，适宜采用抽样调查，故该选项不符合题意； B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是随机事件，故该选项不符合题意； C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是，故该选项符合题意； D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故该选项不符合题意．故选：C． 考查概念 针对训练 2. （24-25六年级下·全国·单元测试）下列事件可能性大小正确的是（   ） A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是 D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 解：A、从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是，原说法错误，不符合题意； C、从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是，原说法正确，符合题意；故选：D． 考查可能性的计算 针对训练 3. （2025·浙江杭州·一模）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 考查概率公式 解：解方程， 分解因式得：，方程的解为：，， 数字、、、、中只有是方程的解， 摸出的数字中恰好是方程的解的概率是． 故选：A． 针对训练 4. （2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 考查频率估计概率 针对训练 考查频率估计概率 解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为： ∴米粒落在圆内的概率为； ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误； ③米粒落在圆内的概率＝，故③正确； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即， ∴的值接近于，故④正确； 故答案为：①③④． 针对训练 5. （23-24九年级下·湖南衡阳·自主招生）在一个不透明口袋中放着5只红球，其余是黑球和白球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个黑球的概率是摸出一个白球的概率是则黑球与白球的个数和是 ． 解：设球的总数为个，则由题意可得，红球的概率为， ∴，解得， 经检验，是方程的解且符合题意； 即球的总数为个， ∴黑球的个数为，白球的个数为， ∴黑球与白球的个数和是， 故答案为： 针对训练 6. （25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 考查游戏公平性 （1）解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． 针对训练 6. （25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 考查游戏公平性 （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率， 这个游戏不公平． 针对训练 7. （2025·湖南长沙·一模）小明与小雅玩一种比较数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，小明的卡片上分别标有数字1，4，9，小雅的卡片上分别标有数字2，5，8，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则“小雅所抽数字大于小明所抽数字”的概率是 ． 考查树状图求概率 解：画树状图如下： 总共有9种可能，小雅抽数字大于小明所抽数字的情况有：2，1；5，1；5，4；8，1；8，4，共5种可能， 故．故答案为：． 针对训练 8. （25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种结果发生的可能性大小相同，请利用列表格或画树状图的方法，求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率． (1)事件A：两辆车全部继续直行； (2)事件B：一车向右，一车向左． 考查列表法求概率 （1）解：列表格得： 由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件A包含的结果数为1种； ∴； （2）解：由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件B包含的结果数为2种． ∴． 针对训练 9. （24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： 考查列举法求概率 针对训练 (1)本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； (2)频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； (3)若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； (4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 考查列举法求概率 针对训练 考查列举法求概率 （1）解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； （2）解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； 针对训练 考查列举法求概率 （3）解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； （4）解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果， 其中抽到一名男生和一名女生的 结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 针对训练 10. （25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求的值． 考查频率估计概率 解：由题意，摸到黄球的频率稳定在，因此摸到黄球的概率为 即 ， 所以 ． 解得 ． 针对训练 事件 随机事件 确定性事件 用列举法求概率 用频率估计概率 树状图法 列表法 不可能事件 必然事件 概率的概念 课堂总结 感谢聆听! $