专题04 平面向量的应用（思维导图+9大知识点+12大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版）

专题04 平面向量的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量在平面几何中的应用 4 知识点二：向量在解析几何中的应用 4 知识点三：向量在物理中的应用 5 知识点四、余弦定理 5 知识点五、利用余弦定理解三角形 5 知识点六、正弦定理 5 知识点七、解三角形的概念 6 知识点八、三角形的形状的判定 7 知识点九、解三角形应用题 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：向量在平面几何中的应用 8 题型二：向量在解析几何中的应用 12 题型三：向量在物理学中的应用 16 题型四：余弦定理的实际应用 19 题型五：正弦定理的解题应用 20 题型六：利用正、余弦定理判定三角形形状 22 题型七：正、余弦定理的典型例题应用 24 题型八：三角形的面积与周长求解问题 26 题型九：解三角形中的范围与最值问题 30 题型十：三角形解的个数判定问题 34 题型十一：高、角平分线、中线问题 36 题型十二：解三角形图形类问题 43 05 强化训练 48 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 知识点八、三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识点九、解三角形应用题 1、解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 2、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型一：向量在平面几何中的应用 【典例1-1】（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【解析】（1）由题可知，， 三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，故，共线， 所以，解得． 故当时，A，B，C不构成三角形， （2）当C为钝角时，， 所以，解得且， 当A为钝角时，，，， 即，，所以， 当B为钝角时，，， ，，无解． 所以或且． 【典例1-2】（2025·高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【变式1-1】（2025·高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【变式1-2】（2025·高一·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解析】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 【变式1-3】（2025·高一·贵州贵阳·月考）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【解析】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 题型二：向量在解析几何中的应用 【典例2-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【解析】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 【典例2-2】（2025·高一·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【解析】（1）在平面直角坐标系中，由，知， 又，， 设，则，， 点． 又， ， 点． （2）由（1）可得，，，． ，． 又，， 四边形为等腰梯形． ，，，， 四边形的周长为8． 【变式2-1】（2025·高一·全国·单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【解析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 【变式2-2】如图，四边形是正方形，M是的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为，若正方形面积为64，求的面积. 【解析】如图，建立坐标系，设交于点N，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得，N是的中点，故. 所以， 因为，所以，解得，即， 所以. 【变式2-3】（2025·高一·江苏南通·月考）在长方形中，，.M，N分别是线段，的中点，P是长方形（含边界）内一点. （1）求的值； （2）求的取值范围. 【解析】如图,以点A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, （1）由题意有,,, ,, 所以, 因为, 所以. （2）设 则,, 所以, 因为所以, 所以, 所以, 即的取值范围是. 题型三：向量在物理学中的应用 【典例3-1】（2025·高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】设，，， 由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 【典例3-2】（2025·高一·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 【变式3-1】（2025·高一·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 【变式3-2】（2025·高一·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解析】如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【变式3-3】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 题型四：余弦定理的实际应用 【典例4-1】（2025·高二·陕西渭南·月考）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 【典例4-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 【变式4-1】（2025·高一·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（2025·高一·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 【变式4-3】（2025·高三·湖南长沙·月考）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以. 故选：A. 题型五：正弦定理的解题应用 【典例5-1】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 【典例5-2】（2025·高一·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得． 故选：C 【变式5-1】（2025·高一·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 【变式5-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式5-3】（2025·高一·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 题型六：利用正、余弦定理判定三角形形状 【典例6-1】若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解析】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 【典例6-2】（2025·高一·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 【变式6-1】（2025·高一·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式6-2】（2025·高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 【变式6-3】（2025·高一·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 【变式6-4】（2025·高一·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 题型七：正、余弦定理的典型例题应用 【典例7-1】（2025·高一·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 【典例7-2】（2025·高三·安徽合肥·月考）连接圆形花圃圆周上的三点，，，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则该花圃的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 根据余弦定理可得，所以， 又，则, 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 可得， 故花圃的面积即为外接圆的面积． 故选：B 【变式7-1】（2025·高一·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D 【变式7-2】（2025·高一·甘肃兰州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 【变式7-3】（2025·高一·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 题型八：三角形的面积与周长求解问题 【典例8-1】（2025·高一·福建厦门·期中）在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 【解析】（1），. 在中，，， ， ，又（三角形内角），， 又，. （2）如图，在中，，，， 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）. 是边上的三等分点，或. 当时， ； 当时，. 故的面积为或. 【典例8-2】（2025·高一·福建三明·期中）如图，在中角、、所对的边分别为、、.已知：，点在的延长线上，，. (1)求角； (2)若的面积，求线段的长. 【解析】（1）， 由正弦定理得：， 即， ，， ，. ，； （2）设， 中，由正弦定理得：. 中，由正弦定理得：， ， ，， ，， ，， ，，，即， 又，， . 【变式8-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 【变式8-2】（2025·高一·贵州贵阳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B的大小； (2)若的面积为求的周长. 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 而，所以，所以，所以. （2）由（1）知，，由的面积为，得，解得， 由余弦定理及得， 解得，所以的周长为. 题型九：解三角形中的范围与最值问题 【典例9-1】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【解析】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 【典例9-2】（2025·高一·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 【变式9-1】（2025·高一·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 【变式9-2】已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【解析】（1）由得，所以， 又为锐角三角形，所以． 故角的大小为. （2）因为，，由正弦定理，即. 再由正弦定理得， 又因为在锐角中，，. 所以，. 所以的取值范围． （3）由（2）知，，则   不妨令. 又因为在锐角中，， ， 即. 故的取值范围为 题型十：三角形解的个数判定问题 【典例10-1】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 【典例10-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 【变式10-1】（2025·高一·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 【变式10-2】（2025·高一·安徽·月考）在中，角的对边分别为，则的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为，， ， 因为，所以， 所以的值有两个， 即的解有2个， 故选：C 【变式10-3】（2025·高一·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由有两解，得即解得， 故选：A． 题型十一：高、角平分线、中线问题 【典例11-1】（2025·高一·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 【典例11-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【解析】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 【变式11-1】（2025·高三·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 【变式11-2】（2025·高一·湖南衡阳·期末）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【解析】（1）∵， 由余弦定理：， ∵，∴． （2）∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． （3）设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． 【变式11-3】（2025·高一·山东青岛·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若的平分线交于D，且，求的值. 【解析】（1）由，得, 即，则, 则，即， 由于，故， ，故； （2）由的平分线交于D，可得, 即， 即，则， 结合，得. 【变式11-4】（2025·高一·广东肇庆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求b； (3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理，得， ，，，， ，，， ，又，． （2）由（1）知，，，则． ． 由正弦定理得，， ，． （3）由（1）知，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即． 平分，． ，． ， ， 化简得：， 代入，得， ，， ，的周长为． 题型十二：解三角形图形类问题 【典例12-1】（2025·高一·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【解析】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 【典例12-2】（2025·高一·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【解析】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示： 过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 【变式12-1】（2025·高一·湖北·月考）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【解析】（1）方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 【变式12-2】（2025·高一·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【解析】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 【变式12-3】（2025·高一·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【解析】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 1．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 2．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 4．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【解析】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 7．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 8．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【解析】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 9．（多选题）（25-26高三上·河南·月考）在中，下列一定正确的有（   ） A．若为锐角，则 B．若为锐角，则 C．若为钝角，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】CD 【解析】取时，则，可知A错误； 取时，，可知B错误； 若为钝角，则所以，则，故C正确； 由于，且， 由得，可得或, 当时，得，此为等腰三角形； 当，故，此为直角三角形，故D正确． 故选：CD． 10．（多选题）（23-24高一下·福建厦门·月考）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 【答案】BD 【解析】选项A，，无解，故A错误； 选项B，根据已知条件，由正弦定理得：. 设，，（），则最大角为（大边对大角）. 由余弦定理知：， 又，所以，故B正确； 选项C，因为，所以，即角为锐角， 但无法确定角，为锐角，故C错误； 选项D，，则， 因为，所以，又，所以， 因为，， 所以， 即， 整理得，即， 又因为，则，所以， 所以，即一定是等边三角形，故D正确. 故选：BD. 11．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 整理得，即 又因为，所以， 即， 整理得：， 因为，所以. 选项A： ，与推导结果一致.  正确. 选项B：由，得， 因为， 因此，即.  正确. 选项C： 由，可知均为锐角； 又因为， 又因为， 即，所以.  C正确. 选项D：因为，（因）， 得且，但无法确定和的大小，故无法推出.  错误. 故选：ABC. 12．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【解析】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 13．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以， 由余弦定理可得， 又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京朝阳·月考）在锐角中，，则的一个可能的取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的值可取. 故答案为：（答案不唯一） 15．（25-26高一上·江苏南通·月考）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底； (2)求出所用篱笆长度的最小值． 【解析】（1） 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则 所以梯形面积, 所以, 即. （2）设，上底， 则， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即， 时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时， 所用篱笆长度最小，其最小值为． 16．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，角所对的边长分别为，且. (1)求角的大小 (2)若为边上一点，，且是的平分线，求的周长 【解析】（1）在中，由，得，则， 即，而，即，则， 所以. （2）由为边上一点，且是的平分线，得， 则，而，， 因此，即，由及余弦定理，得， 则，即，而，解得， 所以的周长为. 17．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知的内角所对的边长分别为. (1)求 (2)当，求的面积 【解析】（1），则， ； （2）， 解得， 又， ， ． 18．（2025·四川德阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【解析】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以， 所以，解得，解得或， 又，解得，于是. 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【解析】（1）在中，，因为为的中点，所以， 两边平方得， 解得，所以. （2）因为平分，所以， 又， 即， 即，可得， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量在平面几何中的应用 4 知识点二：向量在解析几何中的应用 4 知识点三：向量在物理中的应用 5 知识点四、余弦定理 5 知识点五、利用余弦定理解三角形 5 知识点六、正弦定理 5 知识点七、解三角形的概念 6 知识点八、三角形的形状的判定 7 知识点九、解三角形应用题 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：向量在平面几何中的应用 8 题型二：向量在解析几何中的应用 9 题型三：向量在物理学中的应用 11 题型四：余弦定理的实际应用 12 题型五：正弦定理的解题应用 12 题型六：利用正、余弦定理判定三角形形状 13 题型七：正、余弦定理的典型例题应用 14 题型八：三角形的面积与周长求解问题 14 题型九：解三角形中的范围与最值问题 15 题型十：三角形解的个数判定问题 16 题型十一：高、角平分线、中线问题 17 题型十二：解三角形图形类问题 19 05 强化训练 22 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 知识点八、三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识点九、解三角形应用题 1、解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 2、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型一：向量在平面几何中的应用 【典例1-1】（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【典例1-2】（2025·高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【变式1-1】（2025·高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2025·高一·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【变式1-3】（2025·高一·贵州贵阳·月考）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 题型二：向量在解析几何中的应用 【典例2-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【典例2-2】（2025·高一·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【变式2-1】（2025·高一·全国·单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【变式2-2】如图，四边形是正方形，M是的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为，若正方形面积为64，求的面积. 【变式2-3】（2025·高一·江苏南通·月考）在长方形中，，.M，N分别是线段，的中点，P是长方形（含边界）内一点. （1）求的值； （2）求的取值范围. 题型三：向量在物理学中的应用 【典例3-1】（2025·高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【典例3-2】（2025·高一·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式3-3】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 题型四：余弦定理的实际应用 【典例4-1】（2025·高二·陕西渭南·月考）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【变式4-1】（2025·高一·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（2025·高一·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】（2025·高三·湖南长沙·月考）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型五：正弦定理的解题应用 【典例5-1】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【典例5-2】（2025·高一·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式5-3】（2025·高一·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 题型六：利用正、余弦定理判定三角形形状 【典例6-1】若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【典例6-2】（2025·高一·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-1】（2025·高一·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-2】（2025·高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【变式6-3】（2025·高一·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式6-4】（2025·高一·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 题型七：正、余弦定理的典型例题应用 【典例7-1】（2025·高一·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【典例7-2】（2025·高三·安徽合肥·月考）连接圆形花圃圆周上的三点，，，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则该花圃的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·甘肃兰州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【变式7-3】（2025·高一·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型八：三角形的面积与周长求解问题 【典例8-1】（2025·高一·福建厦门·期中）在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 【典例8-2】（2025·高一·福建三明·期中）如图，在中角、、所对的边分别为、、.已知：，点在的延长线上，，. (1)求角； (2)若的面积，求线段的长. 【变式8-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 【变式8-2】（2025·高一·贵州贵阳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B的大小； (2)若的面积为求的周长. 题型九：解三角形中的范围与最值问题 【典例9-1】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【典例9-2】（2025·高一·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【变式9-1】（2025·高一·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【变式9-2】已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 题型十：三角形解的个数判定问题 【典例10-1】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·高一·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·高一·安徽·月考）在中，角的对边分别为，则的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式10-3】（2025·高一·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十一：高、角平分线、中线问题 【典例11-1】（2025·高一·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【典例11-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【变式11-1】（2025·高三·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【变式11-2】（2025·高一·湖南衡阳·期末）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【变式11-3】（2025·高一·山东青岛·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若的平分线交于D，且，求的值. 【变式11-4】（2025·高一·广东肇庆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求b； (3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 题型十二：解三角形图形类问题 【典例12-1】（2025·高一·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【典例12-2】（2025·高一·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【变式12-1】（2025·高一·湖北·月考）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【变式12-2】（2025·高一·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【变式12-3】（2025·高一·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 1．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 8．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 9．（多选题）（25-26高三上·河南·月考）在中，下列一定正确的有（   ） A．若为锐角，则 B．若为锐角，则 C．若为钝角，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 10．（多选题）（23-24高一下·福建厦门·月考）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 11．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    13．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 14．（24-25高一下·北京朝阳·月考）在锐角中，，则的一个可能的取值为 . 15．（25-26高一上·江苏南通·月考）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底； (2)求出所用篱笆长度的最小值． 16．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，角所对的边长分别为，且. (1)求角的大小 (2)若为边上一点，，且是的平分线，求的周长 17．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知的内角所对的边长分别为. (1)求 (2)当，求的面积 18．（2025·四川德阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $