专题07 基本立体图形（思维导图+7大知识点+5大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版）

专题07 基本立体图形 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：棱柱的结构特征 4 知识点二：棱锥的结构特征 5 知识点三：圆柱的结构特征 5 知识点四：圆锥的结构特征 6 知识点五：棱台和圆台的结构特征 6 知识点六：球的结构特征 7 知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台 7 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：简单几何体的结构特征分析 9 题型二：几何体的基本度量计算问题 9 题型三：简单几何体组合体的识别与分析 10 题型四：简单几何体的表面展开与折叠综合问题 12 题型五：几何体中线段和的最值求解问题 13 05 强化训练 15 知识点一：棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识点诠释： 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 知识点二：棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识点诠释： 棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 知识点三：圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识点诠释： （1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面． （2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面． （3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 知识点四：圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识点诠释： （1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 知识点五：棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 知识点诠释： （1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点． （2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方． （3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成． （4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方． 知识点六：球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． 知识点诠释： （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 题型一：简单几何体的结构特征分析 【典例1-1】（2025·高二·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例1-2】（2025·高一·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【变式1-1】（2025·高一·安徽合肥·月考）下列命题中成立的是（    ） A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【变式1-2】（2025·高一·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【变式1-3】（2025·高一·陕西西安·月考）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：几何体的基本度量计算问题 【典例2-1】（2025·高一·全国·单元测试）长方体共于一个顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体对角线的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【典例2-2】如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2025·高一·天津·月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高三·湖南长沙·月考）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （     ）    A． B． C．4 D． 【变式2-3】若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 题型三：简单几何体组合体的识别与分析 【典例3-1】已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【典例3-2】（2025·高一·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【变式3-1】如图所示的几何体是长征五号运载火箭的顶端部分，则该几何体的构成是（    ） A．一个棱锥，一个圆柱 B．一个圆锥，一个圆柱 C．一个圆锥，一个圆台 D．两个圆台 【变式3-2】如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 题型四：简单几何体的表面展开与折叠综合问题 【典例4-1】（2025·高一·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·上海·月考）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【变式4-1】（2025·高二·吉林四平·期中）2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，为了纪念这一伟大历史事件，义乌商品市场接到一批正方体纪念品订单，该正方体的一个面印有党徽图案，相对面上印有“二十大”字样，正方体的展开图如图所示，则“二十大”字样应该在哪个面上（  ） A．② B．③ C．④ D．⑤ 【变式4-2】（2025·高一·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【变式4-3】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 题型五：几何体中线段和的最值求解问题 【典例5-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高一·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·山西运城·月考）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（   ） A．4 B． C． D．8 1．（2025·高一·陕西·开学考试）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 2．（2025·高一·江西南昌·开学考试）如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 3．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·北京·开学考试）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     5．（2025·高一·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 6．（2025·高一·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 7．下列说法中正确的是（    ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 8．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·高一·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（2025·高一·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 11．（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 12．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 13．（2025·高一·河南郑州·期末）若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 14．（2025·高一·贵州·月考）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 15．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·高一·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 17．（2025·高一·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 18．（2025·高一·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2025·高一·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 基本立体图形 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：棱柱的结构特征 4 知识点二：棱锥的结构特征 5 知识点三：圆柱的结构特征 5 知识点四：圆锥的结构特征 6 知识点五：棱台和圆台的结构特征 6 知识点六：球的结构特征 7 知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台 7 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：简单几何体的结构特征分析 9 题型二：几何体的基本度量计算问题 12 题型三：简单几何体组合体的识别与分析 14 题型四：简单几何体的表面展开与折叠综合问题 16 题型五：几何体中线段和的最值求解问题 19 05 强化训练 24 知识点一：棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识点诠释： 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 知识点二：棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识点诠释： 棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 知识点三：圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识点诠释： （1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面． （2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面． （3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 知识点四：圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识点诠释： （1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 知识点五：棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 知识点诠释： （1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点． （2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方． （3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成． （4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方． 知识点六：球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． 知识点诠释： （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 题型一：简单几何体的结构特征分析 【典例1-1】（2025·高二·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 【典例1-2】（2025·高一·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【解析】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（2025·高一·安徽合肥·月考）下列命题中成立的是（    ） A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【答案】A 【解析】对A，以三棱柱为例，如图，若侧面和侧面为矩形，则. 又平面ABC，所以 面， 又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直. 所以此三棱柱为直三棱柱，故A正确； 对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故B不正确； 对C，如图所示的三棱锥中有，满足侧面是全等的等腰三角形， 但它不是正三棱锥，故C不正确； 对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故D不正确. 故选：A 【变式1-2】（2025·高一·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 【变式1-3】（2025·高一·陕西西安·月考）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 题型二：几何体的基本度量计算问题 【典例2-1】（2025·高一·全国·单元测试）长方体共于一个顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体对角线的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】D 【解析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c， 因长方体的三个面的面积分别是，，， 令，解得， 所以长方体的体对角线长为. 故选：D. 【典例2-2】如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】1个是水平时，2个是倾斜时（条件对称）. 故选：C. 【变式2-1】（2025·高一·天津·月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 正四棱锥的高PO，斜高PE， 底面边心距OE组成直角， 由题意可知：，则斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故选：A. 【变式2-2】（2025·高三·湖南长沙·月考）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （     ）    A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得， 即，解得，所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的高为. 故选：B. 【变式2-3】若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，所以，设圆锥的内接正方体棱长为a，则该正方体面对角线的一半为，则， 解得． 故选：B. 题型三：简单几何体组合体的识别与分析 【典例3-1】已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】A 【解析】正四面体各棱中点连线构成正八面体，如图18 在正四面体中，平面，共面， 故把正四面体和正八面体合成后只有7个面． 故选：A 【典例3-2】（2025·高一·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【解析】由题意可知形成如图的几何体， 该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 【变式3-1】如图所示的几何体是长征五号运载火箭的顶端部分，则该几何体的构成是（    ） A．一个棱锥，一个圆柱 B．一个圆锥，一个圆柱 C．一个圆锥，一个圆台 D．两个圆台 【答案】B 【解析】由题图可知，该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱， 故选：B 【变式3-2】如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 【变式3-3】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 题型四：简单几何体的表面展开与折叠综合问题 【典例4-1】（2025·高一·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体， 而D中的平面图形折起后，最下一行的三个不能构成正方体的三个面， 折起后是缺少一个面的正方体，且多出一个面. 故选：D. 【典例4-2】（2025·高二·上海·月考）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【解析】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 【变式4-1】（2025·高二·吉林四平·期中）2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，为了纪念这一伟大历史事件，义乌商品市场接到一批正方体纪念品订单，该正方体的一个面印有党徽图案，相对面上印有“二十大”字样，正方体的展开图如图所示，则“二十大”字样应该在哪个面上（  ） A．② B．③ C．④ D．⑤ 【答案】B 【解析】把正方体的展开图还原后，得到： ②是正方体的下底面，①和⑤分别是正方体的后面和前面， 党旗和③分别是正方体的左面和右面，④是正方体的上底面， 所以“二十大”字样应该在③的面上． 故选：． 【变式4-2】（2025·高一·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【解析】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 【变式4-3】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 【答案】C 【解析】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体， ③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体． 故选：C． 题型五：几何体中线段和的最值求解问题 【典例5-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示： 则即为的周长的最小值，又因为， 所以，在中，，由勾股定理得： ． 故选：C． 【典例5-2】（2025·高一·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分以下几种情况讨论： （1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示： 易知、均为等边三角形，延展后，，， 所以，四边形为菱形，所以，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，此时； （2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示： 连接，则，且，，， 因为，由余弦定理可得； （3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示： 则，，， 由余弦定理可得； （4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示： 易知、、三点共线，且，，， 由余弦定理可得. 综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为. 故选：C. 【变式5-1】（2025·高一·山西运城·月考）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 【变式5-2】（2025·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【解析】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【解析】绘制题目示意图，如图所示： 绘制展开图： 情况一：如下展开： 求得. 情况二：如下展开： 求得， 情况三：如下图所示将侧面展开： 则， 对比可知沿正方体表面从点到点的最短距离为, 故选：B. 1．（2025·高一·陕西·开学考试）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 【答案】A 【解析】对于A：一个平面只能截出三角形，圆与圆锥曲线，所以一个平面截圆锥，截面不可能为长方形，故A是； 对于B：作一个轴截面，如图，截面即为长方形，故B不是； 对于C：做一个直五棱柱，做出如图的截面，截面即为长方形，故C不是； 对于D：做出如图的体对角面，截面即为长方形，故D不是. 故选：A 2．（2025·高一·江西南昌·开学考试）如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 【答案】C 【解析】将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是扇形. 故选：C 3．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 4．（2025·高一·北京·开学考试）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     【答案】B 【解析】四边形是矩形，， ，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体． 故选：B． 5．（2025·高一·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【解析】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 6．（2025·高一·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【解析】      图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 7．下列说法中正确的是（    ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 【答案】D 【解析】对于A，图1符合条件但不是棱柱，故A不正确． 对于B，以的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，不正确． 对于C，图2满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点， 故不是棱台，C不正确. 对于D，三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，正确. 故选：D． 8．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 9．（2025·高一·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故①错误； 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误； 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误； 故命题①②③都是假命题. 故选：D. 10．（2025·高一·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【解析】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 11．（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【解析】在长方体中，由可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 12．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 【答案】D 【解析】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误； 对于B：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误； 对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形不一定三角形，还可能是圆等其它图形，故C错误； 对于D：因为棱台是用平行与底面的平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确. 故选：D. 13．（2025·高一·河南郑州·期末）若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 【答案】C 【解析】对于A，六棱柱有18条棱，A不是； 对于B，五棱锥的10条棱，B不是； 对于C，四棱柱有12条棱，C是； 对于D，三棱台有9条棱，D不是. 故选：C 14．（2025·高一·贵州·月考）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【答案】D 【解析】 如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面. 故选：D. 15．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 16．（2025·高一·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【解析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个. 故选：C. 17．（2025·高一·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【答案】D 【解析】对于A中，例如：正四棱柱中，相对的两个侧面互相平行，所以A不正确； 对于B中，根据棱台的定义，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以B不正确； 对于C中，根据棱锥的定义，三棱锥是由一个底面和3个侧面组成，所以一个多面体有5个面，一定不是三棱锥，所以C错误； 对于D中，根据圆锥的定义，可得以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，所以D正确. 故选： 18．（2025·高一·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为. 故选：A. 19．（2025·高一·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $