专题02 整式加减（期末复习知识清单+11知识+11题型+5易错+3方法清单）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题02 整式加减（11知识&11题型&5易错&3方法清单） 【清单01】代数式 用运算符号把________或__________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 单个的_______，单个的________都是代数式 注意：这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，开方将在以后学习 【清单02】代数式的规范书写 ①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面 ②在含有字母的式子中若出现除号，通常将除号写作_______ ③字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示.一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写. ④后面带单位的相加或相减的式子要用________括起来 ⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成________的形式 ⑥当“”与任何字母相乘时,“”省略不写；当“”乘以字母时，只要在那个字母前加上“”号. 【清单03】列代数式 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含 有______、_______和_______的式子表示出来，也就是要列代数式. 【清单04】正比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的_______一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值(k是一个确定的值，且k0)，正比例关系可以用()来表示. 【清单05】反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的_______一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用表示它们的积(是一个确定的值，且k≠0),反比例关系，或y=来表示，其中叫作比例系数 【清单06】求代数式的值 一般地，用_______代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 【清单07】单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式. 注意：①.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. ③.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.（单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.） 【清单08】多项式 多项式的定义：几个单项式的________叫作多项式； 整式的定义：_______和________统称整式。 项的定义：在多项式中，___________叫作多项式的项. 常数项：___________的项叫作常数项. 多项式的次数：多项式里__________项的次数就是多项式的次数. 【清单09】同类项 同类项：所含__________相同，并且相同字母的_______也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法 (1)两相同：_______相同，相同字母的_______相同，缺一不可 (2)两无关：与________无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； (3)不要忘记几个单独的数也是同类项. 【清单10】合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并__________，叫作合并同类项. 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的____，_____连同它的_______不变. 【清单11】去括号法则 1.一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2.如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 3.如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【题型一】代数式的定义 【例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，不是代数式的为（　　） A． B． C． D． 【题型二】代数式的规范书写 【例2】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25六年级上·山东·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】（24-25七年级上·广东清远·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】代数式表示的实际意义 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这个工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【变式3-1】（24-25七年级上·河北·期末）用文字语言叙述代数式“”的意义是（   ） A．a与的和 B．a与b的和的2倍 C．与b的和 D．a的平方与b的和 【变式3-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图是一个数值转换机，输入x，输出，下面四种转换口令中正确的是（ ） A．x的6倍减去3 B．x与3的差的6倍 C．x的6倍减去 D．x与的差的6倍 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期末）如果苹果的单价是元/千克，梨子的单价是元/千克，则代数式所表示的意义是 ． 【题型四】列代数式 【例4】(1)（22-23七年级上·北京东城·期末）如图图中长度单位：，阴影部分的面积是 ． (2) （24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙长为米，宽为米，且与之比是，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，其中圆的直径都是背景墙宽的一半，这个背景墙未被遮挡部分的面积为 平方米．（结果用只含字母的代数式表示，并保留） 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某次毕业晚会上，班主任老师要求全班50名同学每两个人握一次手，那么全班同学一共握了多少次手？ 【变式4-3】（24-25七年级上·河南周口·期末）学校计划购买60副羽毛球拍和（不小于120）个羽毛球，某体育用品商店每副羽毛球拍定价100元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了两种优惠方案如下（两种优惠方案不可混用）． 方案一：买一副羽毛球拍赠送2个羽毛球， 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款： (1)若．请计算哪种方案更划算， (2)若．请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来， 【题型五】正比例关系和反比例关系 【例5】（24-25七年级上·四川泸州·期末）（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【变式5-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下面说法正确的是（    ） A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 【变式5-2】（24-25七年级上·福建福州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）与动力臂（单位：m）的关系正确的是（    ） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下面各选项中，两个量成反比例的是_______,两个量成正比例的是_______, ①． ②． ③． ④． 【题型六】单项式的有关概念 【例6】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【变式6-1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【题型七】多项式的有关概念 【例7】（24-25七年级下·云南丽江·期末）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．它是三次三项式 B．它的一次项系数是 C．它的常数项是6 D．它的二次项系数是2 【变式7-1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【题型八】同类项的有关概念 【例8】（24-25七年级上·河南开封·期中）下列各组中的两个项不属于同类项的是（ ） A．和 B．和 C．和14 D．和 【变式8-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·天津河北·期中）若，则的值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级上·广西梧州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【题型九】整式的运算 【例9】（22-23七年级上·河北保定·期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏·期末）计算或化简： (1) (2) 【变式9-2】（23-24七年级上·山东济南·期末）先去括号，再合并同类项． (1) (2) (3) (4) ． 【变式9-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【题型十】整式的化简求值 【例10】(1)（22-23七年级上·全国·期末）  先化简，再求值： ，其中； (2)（24-25七年级上·全国·期末）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【变式10-1】(1)（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． (2)（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）已知，． (1)若的结果中不含项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求的值． 【变式10-2】（24-25七年级上·山东日照·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【变式10-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，笑笑在化简“”时错将式子中的“”看成“”，算得结果为． (1)计算B的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)若，求代数式的值． 【题型十一】整式的实际应用 【例11】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 【变式11-1】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，这是某居民小区的一块宽为，长为的长方形空地，为了美化环境，准备在这块长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为的扇形花台，然后在花台内种花，其余空地种草． (1)用代数式表示种草的面积． (2)当，时，求种草的面积（用含的代数式表示）． 【变式11-2】（25-26六年级上·全国·期末）振华体育用品商店出售的羽毛球拍和羽毛球的进价、售价如下表： 进价 售价 羽毛球拍 元/副 元/副 羽毛球 元/只 元/只 滨江中学计划从该商店购买副羽毛球拍，只羽毛球. (1)该中学需花费多少元？（用含，的代数式表示） (2)“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副羽毛球拍，赠送只羽毛球； 方案二：每购买只羽毛球，赠送副羽毛球拍． ①分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（用含，的代数式表示） ②当，时，选择哪种方案更划算？ 【变式11-3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【题型一】求代数式的值 【例1】(1)（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，那么的值等于（    ） A． B． C．9 D． (2)（24-25七年级上·陕西西安·期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点到的距离是3，且m位于数轴的负半轴上，求的值． (3)（23-24七年级上·广西梧州·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】(1)（24-25七年级上·湖南永州·期末）若，的值为 ． (2)（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式1-2】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·期末）【阅读理解】根据合并同类项法则，得．类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为整体思想，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【题型二】规律探究 【例2】(1)（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 (2) （25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 (3) （24-25七年级上·甘肃平凉·期末）观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（   ） A．16个 B．个 C．32个 D．个 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． （1） ；（用含的代数式表示） （2） ．（用含的代数式表示） 【题型三】流程图 【例3】（21-22八年级下·重庆秀山·期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为9，则第次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．无法确定 【变式3-1】（24-25六年级上·山东东营·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A． ， B．， C．， D．， 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图所示的数值转化器，如果，输出，则 ． 【题型四】几何图形中的周长 【例4】(1)（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 （2）（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号的正方形边长为1，则2号正方形的边长为 ． 【变式4-1】(1)（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． (2)（23-24七年级上·四川资阳·期末）如图，把四个长为m，宽为n的小长方形按图①和图②两种方式分别拼在一个大长方形和一个正方形上，其中未被覆盖的部分用阴影部分表示．已知大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，则图①中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． (3)（23-24七年级上·浙江丽水·期末）将两边长分别为a和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值（   ） A．0 B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【题型五】数轴上的动点问题 【例5】（22-23七年级上·湖南株洲·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【变式5-1】（22-23七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，数轴上有一点O从原点开始出发，先向左移动（1个单位长度表示）到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)请在题中所给的数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_________；若数轴上的点M表示的数为x，点N表示的数为y（），则_________． (3)若点B以每秒的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t（）秒，试探究的值是否会随着t的变化而变化，请说明理由． 【题型一】不含某一字母 ·适用形式：题中有不含某一项或者代数式的值与某一字母无关或者代数式是一个定值 ·求解方法：①合并同类项，化简式子；②不含某一项前系数为0或者无关字母前系数为0； 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式1-1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知：关于x，y的多项式不含二次项，则的值是（   ） A．0 B．12 C． D．8 【变式1-2】（23-24七年级下·浙江·期末）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【变式1-3】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【题型二】化简绝对值 ·适用形式： ·求解方法：①判断绝对值内的正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示， ． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南·期末）观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： ， ， ； (2)化简： 【变式2-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，求的值 【题型三】非负+非负=0 ·适用形式： ·求解方法： 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则 ． 【变式3-1】（22-23七年级上·甘肃白银·期末）若，则 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式加减（11知识&11题型&5易错&3方法清单） 【清单01】代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 单个的数字，单个的字母都是代数式 注意：这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，开方将在以后学习 【清单02】代数式的规范书写 ①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面 ②在含有字母的式子中若出现除号，通常将除号写作分数线 ③字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示.一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写. ④后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来 ⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式 ⑥当“”与任何字母相乘时,“”省略不写；当“”乘以字母时，只要在那个字母前加上“”号. 【清单03】列代数式 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含 有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式. 【清单04】正比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值(k是一个确定的值，且k0)，正比例关系可以用()来表示. 【清单05】反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用表示它们的积(是一个确定的值，且k≠0),反比例关系，或y=来表示，其中叫作比例系数 【清单06】求代数式的值 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 【清单07】单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式. 注意：①.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. ③.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.（单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.） 【清单08】多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式； 整式的定义：单项式和多项式统称整式。 项的定义：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项. 常数项：不含字母的项叫作常数项. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 【清单09】同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法 (1)两相同：字母相同，相同字母的指数相同，缺一不可 (2)两无关：与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； (3)不要忘记几个单独的数也是同类项. 【清单10】合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 【清单11】去括号法则 1.一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 3.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【题型一】代数式的定义 【例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫作代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，不是代数式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据代数式的定义进行作答，即可求解； 【详解】解：代数式的定义：是指用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也可以被看作是代数式； A．，是代数式； B．，是等式，不是代数式； C．，是代数式； D．，是代数式； 故选：B． 【题型二】代数式的规范书写 【例2】（20-21七年级上·湖南张家界·期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用字母表示数 【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求； 应表示为：，故选项B不符合要求； 应表示为：，故选项C不符合要求； 的书写规范，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解． 【变式2-1】（24-25六年级上·山东·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东清远·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【详解】解：A. ，符合代数式的书写格式，即A项符合题意，     B. ，正确的格式为：，常数项不出现带分数，即B项不合题意，     C. ，书写代数式时，一般不出现除号，除号要变为分数线，正确写法为，因此选项C不符合题意；     D. ，正确的格式为：，乘号往往省略不写，故D选项不合题意， 故选：A． 【题型三】代数式表示的实际意义 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 逐项列代数式，能用表示的即正确，否则就是错误的． 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级上·河北·期末）用文字语言叙述代数式“”的意义是（   ） A．a与的和 B．a与b的和的2倍 C．与b的和 D．a的平方与b的和 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的意义，“”号前面表示的2倍，则原式表示与b的和或的2倍与b的和，据此可得答案． 【详解】解：代数式“”的意义是与b的和或的2倍与b的和， 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图是一个数值转换机，输入x，输出，下面四种转换口令中正确的是（ ） A．x的6倍减去3 B．x与3的差的6倍 C．x的6倍减去 D．x与的差的6倍 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式，将代数式用语言描述出来是解题的关键．将代数式用语言描述出来即可． 【详解】解：可描述为x与3的差的6倍． 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期末）如果苹果的单价是元/千克，梨子的单价是元/千克，则代数式所表示的意义是 ． 【答案】用50元钱买2千克苹果和3千克香蕉还剩多少元钱 【难度】0.85 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．用50元减去买2千克苹果的钱数与上3千克梨子的钱数和即可． 【详解】解：买2千克苹果和3千克梨子共需元， 则所表示的意义是：用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱， 故答案为：用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱． 【题型四】列代数式 【例4】(1)（22-23七年级上·北京东城·期末）如图图中长度单位：，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列代数式 【分析】此题主要考查了列代数式，解题的关键是正确表示出每个阴影部分面积． 先表示出3个阴影部分面积，再求和即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． (2) （24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据顺流速度和逆流速度的公式分别求出甲、乙两船的实际速度，再根据路程公式分别计算出甲、乙两船行驶的路程，最后求出后甲船比乙船多航行的路程．顺流速度等于船在静水中的速度加上水流速度，逆流速度等于船在静水中的速度减去水流速度，路程等于速度乘以时间．本题主要考查了用字母表示数以及整式的加减运算在实际问题中的应用，涉及到顺流速度、逆流速度与船在静水中的速度、水流速度的关系．熟练掌握顺流速度船在静水中的速度水流速度，逆流速度船在静水中的速度水流速度，以及路程速度时间这些知识点是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙长为米，宽为米，且与之比是，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，其中圆的直径都是背景墙宽的一半，这个背景墙未被遮挡部分的面积为 平方米．（结果用只含字母的代数式表示，并保留） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，设圆的半径为，则圆的直径为，可得背景墙被装饰布所占面积为，根据与之比是，可得，所以背景墙的面积为，用背景墙的面积减去装饰布的面积即为背景墙未被遮挡部分的面积． 【详解】解：设圆的半径为，则圆的直径为， 背景墙被装饰布所占面积为， ，， ， 背景墙的面积为， 背景墙未被遮挡部分的面积为． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某次毕业晚会上，班主任老师要求全班50名同学每两个人握一次手，那么全班同学一共握了多少次手？ 【答案】1225 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、列代数式 【分析】本题主要考查了握手问题，解题的关键是掌握握手问题的公式． 根据握手问题的公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， （次） 所以，全班同学一共握了1225次手． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南周口·期末）学校计划购买60副羽毛球拍和（不小于120）个羽毛球，某体育用品商店每副羽毛球拍定价100元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了两种优惠方案如下（两种优惠方案不可混用）． 方案一：买一副羽毛球拍赠送2个羽毛球， 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款： (1)若．请计算哪种方案更划算， (2)若．请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来， 【答案】(1)当时，方案二更划算 (2)方案一的费用为元，方案二的费用为元 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算的应用． （1）根据方案一和方案二的购买方法列式运算出价格后比较即可． （2）根据方案一和方案二的购买方法列式即可． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为． 所以，当时，方案二更划算． （2）解：当时， 方案一；元． 方案二：元， 答：方案一的费用为元，方案二的费用为元． 【题型五】正比例关系和反比例关系 【例5】（24-25七年级上·四川泸州·期末）（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法的实际应用、正（反）比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 【变式5-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下面说法正确的是（    ） A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了辨识正、反比例的量，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、 正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，不符合题意； B、时间×速度=路程（定值），是乘积为定值，符合反比例的意义，则从沈阳到大连的路程一定，行驶的时间与平均速度是成反比例，故该选项正确，符合题意； C、 完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量的乘积不是定值，不符合反比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； D、 钢笔的单价一定，购买的总价与数量，根据总价÷数量=单价（定值），符合正比例的意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级上·福建福州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）与动力臂（单位：m）的关系正确的是（    ） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫作成反比例的量，他们的关系叫作反比例关系，据此即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的成反比例关系， 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下面各选项中，两个量成反比例的是_______,两个量成正比例的是_______, ①． ②． ③． ④． 【答案】③；① 【难度】0.94 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了辨识反比例的量，正确记忆相关知识点是解题关键．判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【详解】解：①中，，两个量是成正比例的； ②中，，两个量的和一定，不成反比例，故选项不符合题意； ③中，，两个量成反比例，故选项符合题意； ④中，，两个量的差一定，不成反比例，故选项不符合题意； 故选：③；①． 【题型六】单项式的有关概念 【例6】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫作多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的相关概念，单项式的系数是除了字母以外的数字部分，单项式的次数是所有字母指数的和. 【详解】解：的系数是，次数是. 故选：D. 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫作多项式，其中每个单项式叫作多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又 ， ， ． 【题型七】多项式的有关概念 【例7】（24-25七年级下·云南丽江·期末）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．它是三次三项式 B．它的一次项系数是 C．它的常数项是6 D．它的二次项系数是2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了多项式，几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数．利用多项式相关定义对选项进行判断即可． 【详解】解：A、它是二次三项式，故A不符合题意； B、它的一次项系数是，故B符合题意； C、它的常数项是，故C不符合题意； D、它的二次项系数是，故D不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫作多项式的次数”可得，确定，结合题意得出，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查的是多项式的次数的含义，乘方运算的含义，根据是齐次多项式，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是齐次多项式， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为： 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的定义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为0．根据已知条件即可得出，进而得出答案． 【详解】解：∵不含三次项及一次项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 【题型八】同类项的有关概念 【例8】（24-25七年级上·河南开封·期中）下列各组中的两个项不属于同类项的是（） A．和 B．和 C．和14 D．和 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵选项A中，和都含有字母和，且的指数均为2，的指数均为1，符合同类项定义； 选项B中，和都含有字母和，且指数均为1（与相同），符合同类项定义； 选项C中，和14都是常数项，符合同类项定义； 选项D中，含有字母，而是常数项9，没有相同的字母，因此不是同类项． ∴不属于同类项的是D． 故选：D． 【变式8-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的原则是解题的关键． 根据合并同类项的原则逐一进行运算判断，即可求解． 【详解】A、，故A选项错误， B、，故B选项错误， C、，故C选项错误， D、，故D选项正确， 故选：D． 【变式8-2】（25-26七年级上·天津河北·期中）若，则的值为 ． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据多项式相等的条件，左边两项必须为同类项才能合并，从而对应字母的指数相等，系数和等于右边系数，据此进行计算求解即可． 【详解】解：由等式可知，左边两项是同类项， 因此的指数相等，即， 解得； 的指数相等，即， 解得， 代入得：． 故答案为：10． 【变式8-3】（24-25七年级上·广西梧州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 3 【难度】0.85 【知识点】同类项的判断、已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，由同类项的定义求出、的值，进而求出的值解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．因此，两个单项式中x的指数和y的指数必须分别相等． 【详解】由同类项的定义，得，， 解得， 所以． 故答案为：3． 【题型九】整式的运算 【例9】（22-23七年级上·河北保定·期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是根据“加数和另一个加数”列出算式并计算． 【详解】解：设所捂的多项式为， 由题意得 ． 故选：A． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏·期末）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）合并同类项，可得到结果； （2）先去括号，再合并同类项，可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】（23-24七年级上·山东济南·期末）先去括号，再合并同类项． (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． (3)解：原式 ． (4) 原式 【变式9-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中） ， ，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 【题型十】整式的化简求值 【例10】(1)（22-23七年级上·全国·期末）  先化简，再求值： ，其中； 【答案】（1），5 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，合并同类项，去括号等运算，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行去括号，再合并同类项进行化简，最后代数求值即可． 【详解】解： （2） 将代入上式得， 原式． (2)（24-25七年级上·全国·期末）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【答案】 见解析 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的化简，通过去括号、合并同类项来化简式子，若化简后的式子中含有的项与正负无关，就是小明抄错的值但结果仍正确的原因． 【详解】解： ∵，即， ∴小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的． 【变式10-1】(1)（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决本题的关键． 去括号合并同类项后，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． (2)（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）已知，． (1)若的结果中不含项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求的值． 【答案】(1)1 (2)46 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后使得项的系数为即可求解； （2）将变形为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得； （2）解：当，，， ． 【变式10-2】（24-25七年级上·山东日照·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，正确的计算是关键： （1）去括号，合并同类项，化简即可； （2）根据互为倒数的两数之积为，得到，代入化简后的代数式，求出的值，进而求出的值即可； （3）根据题意，得到代数式的值与字母无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意，得：，代入，得：， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当，即：时，为定值； 故． 【变式10-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，笑笑在化简“”时错将式子中的“”看成“”，算得结果为． (1)计算B的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查整式的加减-代数式求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）由得，将A代入根据整式的加减计算可得； （2）将A、B代入，根据整式的加减计算可得； （3）先根据非负数的性质得，，再将所求代数式变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 【题型十一】整式的实际应用 【例11】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． （1）用大圆的面积减去5个小圆的面积得出结果即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ． 答：阴影部分的面积为． （2）解：当时， ． 答：阴影部分的面积约为 【变式11-1】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，这是某居民小区的一块宽为，长为的长方形空地，为了美化环境，准备在这块长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为的扇形花台，然后在花台内种花，其余空地种草． (1)用代数式表示种草的面积． (2)当，时，求种草的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题关键是理解题意，列出代数式． （1）根据种草面积长方形面积一个半径为a米的圆的面积，列出代数式进行计算即可； （2）把，代入（1）中所求代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴种草的面积为； （2）解：当，时，种草的面积为： ， 答：种草的面积为． 【变式11-2】（25-26六年级上·全国·期末）振华体育用品商店出售的羽毛球拍和羽毛球的进价、售价如下表： 进价 售价 羽毛球拍 元/副 元/副 羽毛球 元/只 元/只 滨江中学计划从该商店购买副羽毛球拍，只羽毛球. (1)该中学需花费多少元？（用含，的代数式表示） (2)“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副羽毛球拍，赠送只羽毛球； 方案二：每购买只羽毛球，赠送副羽毛球拍． ①分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（用含，的代数式表示） ②当，时，选择哪种方案更划算？ 【答案】(1)元 (2)①方案一:元；方案二元；②方案二更划算 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】此题考查了列代数式表示并计算实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出代数式，并进行化简、计算． （1）表示出该中学购买羽毛球拍和羽毛球的钱数，再求和即可； （2）①按照两种方案分别表示出各自花的钱数即可；②将，分别代入方案一、方案二的花费表达式，进行计算比较即可． 【详解】（1）解： 元； 答：该中学需花费元； （2）①方案一： 元； 方案二： 元； ②当，时， （元）， （元）， ， 选择方案二更划算． 【变式11-3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 【题型一】求代数式的值 【例1】(1)（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，那么的值等于（    ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了比例的性质：若，则．根据比例性质由得到，然后再利用比例性质得到． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． (2)（24-25七年级上·陕西西安·期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点到的距离是3，且m位于数轴的负半轴上，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的概念，倒数的概念及代数式的值． 根据题意，可以求得，和m的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解： 由题得，，， ， ． (3)（23-24七年级上·广西梧州·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据题意准确列出代数式是解决问题的关键． 将代入代数式求得，再利用整体代入法将代入时的代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵ 当时，， ∴， 当时，， 将代入代数式可得，原式， 故选：A． 【变式1-1】(1)（24-25七年级上·湖南永州·期末）若，的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． (2)（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的求值，首先应从题目中获取代数式与的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．将整体代入计算可得． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 【变式1-2】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，将要求的式子变形： 即可得结果． 【详解】（1）解：依题意，当时， ； 故答案为：3； （2）解：当时， ； （3）解：∵，， ． 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·期末）【阅读理解】根据合并同类项法则，得．类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为整体思想，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】（1）（2）（3）5 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）利用合并同类项计算即可； （2）变形，代入计算即可； （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：. （2）解：∵， ∴ . （3）解：∵， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【题型二】规律探究 【例2】(1)（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据图形的变化规律可知，第一个图案需要根小棒，从第二个图案开始都比前一个图案多根，可归纳出第个图案需要小棒根．本题主要考查图形的变化规律，根据图案的变化归纳出第个图案需要小棒根是解题的关键． 【详解】解：根据图形的变化规律可知， 第一个图案需要根小棒， 第二个图案需要根小棒， 第三个图案需要根小棒， ， 第个图案需要根小棒， 即第个图案需要根小棒， ∴第个图案需要小棒的根数为， 故选：C． (2) （25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数的排列规律，能由所给的数列得出两列数相同的数是依次增加6是解题的关键．先找出第2025个相同的数是多少，再判断其在第一列的位置即可． 【详解】解：观察题中2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 是从2开始的连续偶数， 观察题中2，5，8，11，14，17，20，23，26，…． 是从2开始依次增加3的数列， 所以它们第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第4个相同的数是， 所以第2025个相同的数是：， 故选：B． (3) （24-25七年级上·甘肃平凉·期末）观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（   ） A．16个 B．个 C．32个 D．个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、有理数的乘方运算 【分析】题目主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 根据题意得出第个30分钟分裂为个细胞，再由8小时即为16个30分钟，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，1个小时等于2个30分钟，8个小时等于16个30分钟， 1个30分钟后分裂成个细胞， 2个30分钟后分裂成个细胞， 3个30分钟后分裂成个细胞， 个30分钟后分裂成个细胞， ∴16个30分钟后分裂成个细胞， 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意知：第（1）个图形中五角星的个数为；第（2）个图形中五角星的个数为；第（3）个图形中五角星的个数为；得出第（）个图形中五角星的个数为，由此得出答案即可． 【详解】解：第（1）个图形中五角星的个数为； 第（2）个图形中五角星的个数为； 第（3）个图形中五角星的个数为； 第（4）个图形中五角星的个数为； 所以第（）个图形中五角星的个数为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． （1） ；（用含的代数式表示） （2） ．（用含的代数式表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】题目主要考查代数式的规律探索，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意代入计算即可； （2）根据题意，找出规律，求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 所以； 故答案为：； （2）因为， 所以， ， ， ， ， ， …， 所以每6项为一循环． 因为， 所以． 故答案为： 【题型三】流程图 【例3】（21-22八年级下·重庆秀山·期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为9，则第次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值，有理数的混合运算及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．根据题意将x的值代入计算，然后总结规律即可． 【详解】解：若第一次输入x的值为9， 则第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； …， ∵， ∴第次输出的结果为9， 故选：C． 【变式3-1】（24-25六年级上·山东东营·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式的求值．把每个选项的的值代入符合条件的代数式，进行计算，即可作答． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据，的值，列算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图所示的数值转化器，如果，输出，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值，根据题意分两种情况分析，根据输出，分别求得的值，即可求解． 【详解】解： 当时，∵， ∴， ∵输出， ∴， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 综上所述，， 故答案为：． 【题型四】几何图形中的周长 【例4】(1)（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，结合为定值可得出说法③正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较短边为，阴影的较短边为， ∴阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的周长为，阴影的周长为， ∴阴影和阴影的周长之和为， ∴若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法③正确； 综上可知正确的为①③，共2个． 故选：B． （2）（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号的正方形边长为1，则2号正方形的边长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，理解图形是解题的关键．设标注1号、2号的正方形的边长分别为，，分别表示出各个正方形的边长，再根据长方形的对边相等，列出方程，化简，再代入计算即可解答． 【详解】解：设标注1号、2号的正方形的边长分别为，， 则标注为3号的正方形的边长为， 标注为4号的正方形的边长为， 标注为5号的正方形的边长为， 标注为6号的正方形的边长为， 标注为7号的正方形的边长为， 标注为10号的正方形的边长为， 标注为8号的正方形的边长为， 标注为9号的正方形的边长为， 根据长方形的对边相等，可得， 解得：， ， 则2号正方形的边长为． 故答案为：． 【变式4-1】(1)（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，设大长方形的长为，宽为，分别表示出两个阴影部分的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，由图可知： 左下角阴影部分的周长为：， 右上角阴影部分的周长为：， 故左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为； 故选B． (2)（23-24七年级上·四川资阳·期末）如图，把四个长为m，宽为n的小长方形按图①和图②两种方式分别拼在一个大长方形和一个正方形上，其中未被覆盖的部分用阴影部分表示．已知大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，则图①中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减应用，由图示得出阴影部分的长和宽是关键；根据图示，分别列出阴影部分的长和宽，代入周长公式计算即可． 【详解】解：大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等， 左上方阴影部分的宽为，长为m， 左上方阴影部分的周长为：， 右下方阴影部分的长为n，宽为， 右下方阴影部分的周长为， ， 故选： C． (3)（23-24七年级上·浙江丽水·期末）将两边长分别为a和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据长方形的性质证得，根据周长的计算公式，列出式子，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，四边形是长方形， 则， ， ， 则， 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】单项式乘多项式的应用、整式加减的应用、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2） ，， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 【题型五】数轴上的动点问题 【例5】（22-23七年级上·湖南株洲·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式的加减运算 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式5-1】（22-23七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，数轴上有一点O从原点开始出发，先向左移动（1个单位长度表示）到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)请在题中所给的数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_________；若数轴上的点M表示的数为x，点N表示的数为y（），则_________． (3)若点B以每秒的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t（）秒，试探究的值是否会随着t的变化而变化，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)6， (3)的值不会随着t的变化而变化，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上两点的距离、整式的加减，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． （1）根据运动规律“左减右加”，在数轴上表示出A、B、C三点的位置即可． （2）根据两点的距离公式即可求解． （3）根据题意用含t的式子表示出和，再相减即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， （2）解：由（1）可知点C表示的数为3，点A表示的数为， ∴； ∵数轴上的点M表示的数为x，点N表示的数为y（）， ∴； 故答案为：6；． （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： ∵点B以每秒的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒、的速度向右移动， ∴点B表示的数为，点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化． 【题型一】不含某一字母 ·适用形式：题中有不含某一项或者代数式的值与某一字母无关或者代数式是一个定值 ·求解方法：①合并同类项，化简式子；②不含某一项前系数为0或者无关字母前系数为0； 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减是解题的关键．先化简代数式，再根据题意得出，得出n的值． 【详解】解： ， ∵无论x，y取什么值的值都等于定值8， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知：关于x，y的多项式不含二次项，则的值是（   ） A．0 B．12 C． D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的加减，利用多项式不含二次项得到二次项系数为0，据此列方程求出和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵不含二次项， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·浙江·期末）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：∵，，无论x取何值，恒成立， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值、合并同类项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值以及根据代数式的值与某字母无关求参数的值． （1）根据题意先求出的表达式，利用去括号法则去掉括号，再合并同类项得到的最简形式； （2）由于的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，在的最简形式中找出含x的项，令其系数为0，解方程求出y的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式． （2）解：由（1）知，， ∵的值与x的取值无关， ∴含x的项的系数为0， 在中，含x的项为，其系数为， ∴， 解得． 【题型二】化简绝对值 ·适用形式： ·求解方法：①判断绝对值内的正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查化简绝对值，涉及由数轴上点的位置关系表示有理数大小、绝对值的代数式意义、整式加减运算等知识，熟记绝对值代数式意义是解决问题的关键． 由数轴上点的位置可得，从而得到、，由绝对值代数意义去绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 由于，则， ； 由于，都为负数，则， ； ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南·期末）观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： ， ， ； (2)化简： 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先判断数的大小，再判断式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，求的值 【答案】 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，含字母的绝对值的化简，根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【题型三】非负+非负=0 ·适用形式： ·求解方法： 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．先根据，得，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：． 【变式3-1】（22-23七年级上·甘肃白银·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，解题的关键是掌握绝对值的非负性，正确求得，的值． 根据绝对值的非负性可得，，解得，，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，解得，， 将，代入可得， 原式， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $