2026年浙江省杭州市中考数学复习微专题：正方形专题

同类型专题练习 2026年浙江省杭州市中考复习微专题：正方形专题 1.如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B．（y+1）（x+1） C．xy D．x2+y2 2.如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 5.如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F在以AE为直径的半圆上，EF＝EB，延长EF，AF分别交CD于点G，H，则DG：HC的值为（　　） A．2：1 B．4：3 C．5：4 D． 6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H． （1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ 　 　 ； （2）若，则 　 ． 7.如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为　 　 ． 8.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则 　 ． 9.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 10.已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF． （1）求证：∠ABE＝∠CBF； （2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H． ①求证：； ②设BD的中点为点O，如果BH＝1，求的值． 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H． （1）求证：AE＝HF． （2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明． 12.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）求证：△ABE≌△BCF． （2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值． 13.综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H． 【初步分析】 （1）线段EG与BF的数量关系为 ，位置关系为 ； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长． 14.已知正方形ABCD内接于⊙O，边CD以点C为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交⊙O，边CD于点F，G． （1）如图1，若CE是⊙O的切线， ①求∠E的度数； ②连结DF，求证：BG＝2DF． （2）如图2，连结AF，DE，求证：AF∥DE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同类型专题练习 2026年浙江省杭州市中考复习微专题：正方形专题 1.如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B．（y+1）（x+1） C．xy D．x2+y2 【解答】解：由正方形的性质可得AD＝BC＝CD＝1，∠D＝∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得B'F＝BF，∠A'B'F＝∠B＝90°， 设CF＝m，则B'F＝BF＝BC﹣CF＝1﹣m， 在Rt△B'FC中，由勾股定理得B'F2＝CF2+B'C2， ∴（1﹣m）2＝m2+x2， ∴， ∴， ∵∠DGB'+∠DB'G＝∠DB'G+∠CB'F， ∴∠DGB'＝∠CB'F， ∴△DGB'∽△CB'F， ∴， ∴， ∴， ∵AD＝AG+DG＝1， ∴， ∴2x+xy+y＝1+x， ∴xy+x+y＝1， ∴（x+1）（y+1）＝2， 故选：B． 2.如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点B作BE⊥BP，交PC的延长线于点E，如图所示： ∴∠PBE＝90°， 在Rt△ABE中，∠E+∠BPC＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠BPA+∠BPC＝90°， ∴∠E＝∠BPA， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝BA，∠ABC＝90°， ∴∠PBE＝∠ABC＝90°， ∴∠PBE﹣∠PBC＝∠ABC﹣∠PBC， 即∠CBE＝ABP， 在△BCE和△BAP中， ， ∴△BCE≌△BAP（AAS）， ∴EB＝PB，CE＝AP， ∴PE＝DE+PC＝PA+PC， 在Rt△BPE中，由勾股定理得：PEPB， ∴， 即， ∴为定值． 故选：D． 3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°， ∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形， ∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°， ∵点Q、B、F三点共线， ∴∠QBN＝∠EBF＝45°， ∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形， ∴QN＝BN， ∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠QEN， 在△ENQ和△CBE中， ， ∴△ENQ≌△CBE（AAS）， ∴EN＝CB，QN＝EB， ∵QN＝BN， ∴EN＝CB＝2EB， ∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG， 设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a， ∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°， ∴∠DCP＝∠BCE， 在△CBE和△CDP中， ， ∴△CBE≌△CDP（ASA）， ∴BE＝DP＝a， ∴PA＝2a﹣a＝a， ∴PA＝QN， 在△PAM和△QNM中， ， ∴△PAM≌△QNM（AAS）， ∴， ∴， 在Rt△PAM中，， 在Rt△BCM中，， ∵tanα＝ntanβ， ∴， ∴， 故选：A． 4.如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【解答】解：①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝CD，AG＝AE，∠GAE＝∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠GAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠GAB＝∠EAD， 在△GAB和△EAD中 ， ∴△GAB≌△EAD（SAS）， ∴BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°， ∴∠ABG+∠ABC＝180°， ∴点G，B，C在同一条直线上， ∵AF是正方形AEFG的对角线，点M为AF的中点， ∴EG经过点M， ∴GM＝EM＝MA，AF⊥GE， ∴△AME是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AEEM， ∴EMAE， 在Rt△CGE中，CM是斜边GE上的中线， ∴CM＝EM＝GM＝AM， ∴CMAE， 即2CMAE， 故结论①对； ②在△ADM和△CDM中， ， ∴△ADM≌△CDM（SSS）， ∴∠ADM＝∠CDM∠ADE＝45°， ∵EP∥BC， ∴∠DEP＝∠BCD＝90°，∠BGM＝∠PEM， ∴△EDP是等腰直角三角形， ∴PE＝DE， ∵BG＝DE， ∴BG＝PE， 在△BGM和△PEM中， ， ∴△BGM≌△PEM（SAS）， ∴∠BMG＝∠PME， ∵AF⊥GE， ∴∠AMG＝∠AME＝∠AMP+∠PME＝90°， ∴∠AMP+∠BMG＝90°， ∴∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°， 即∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°， ∴点B，M，D三点共线， 故结论②对， 综上所述：结论①，②都对． 故选：A． 5.如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F在以AE为直径的半圆上，EF＝EB，延长EF，AF分别交CD于点G，H，则DG：HC的值为（　　） A．2：1 B．4：3 C．5：4 D． 【解答】解：连接BF，AG，HE，BF交AE于点J．设AE的中点为O，连接OB．设正方形ABCD的边长为2a． ∵点E为BC的中点， ∴EC＝EB， ∵EF＝BE， ∴EF＝EC， ∵AE是直径， ∴∠AFE＝∠EFH＝90°， ∵四边形ABC都是正方形， ∴∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AD＝AB， ∴∠EFH＝∠C＝90°， ∵EH＝EH， ∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL）， ∴FH＝CH， ∵AE＝AE，EF＝EB，∠AFE＝∠ABE＝90°， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF， ∵AG＝AG，∠D＝∠AFG＝90°， ∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）， ∴DG＝FG， ∴tan∠GHF， ∵AF＝AB，EF＝EB， ∴AE垂直平分线段BF， ∴BJ＝FJ， ∵AB＝2a，EB＝a， ∴AEa， ∵•AE•BJ•AB•BE， ∴BJa， ∵OA＝OE， ∴OBAEa， ∴OJa， ∴tan∠BOJ， ∵AB∥CD， ∴∠GHF＝∠HAB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠BOJ＝∠OAB+∠OBA，∠BAE＝∠EAF， ∴∠BOJ＝∠HAB＝∠GHF， ∴tan∠GHF＝tan∠BOJ． 故选：B． 6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H． （1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ 　　 ； （2）若，则 　　 ． 【解答】解：（1）∵点A与点H关于直线BE对称， ∴∠AEB＝∠HEB， ∵点B与点B'关于EG对称， ∴∠EBB'＝∠EB'B， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBB'， ∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B， ∵∠HEB+∠EBB'+∠EB'B＝180°， ∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°， ∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBB'＝30°， ∴， 故答案为：； （2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N， ∵在正方形ABCD中，AB∥DC， ∴△NFH∽△MBH，， ∴设FN＝a，MB＝12a， ∵由（1）有∠ABC＝90°，∠BB'E＝60°，∠ABE＝30°， ∴∠M＝180°﹣∠ABC﹣∠BB'E＝30°＝∠ABE， ∴EM＝EB， ∵在正方形ABCD中，DA⊥AB， ∴， ∴在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝6a， 设DE＝DF＝x，则AE＝AD﹣DE＝6a﹣x，DN＝FN+DF＝a+x，NC＝CD﹣DN＝6a﹣（a+x）＝5a﹣x， ∵点B与点B'关于EG对称， ∴EG⊥BB'，BB'＝2BG， ∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形AEGB是矩形， ∴BG＝AE＝6a﹣x， ∴BB'＝2BG＝2（6a﹣x）＝12a﹣2x， ∴CB'＝BB'﹣BC＝（12a﹣2x）﹣6a＝6a﹣2x， ∵AD∥BC， ∴△DEN∽△CB'N， ∴，即， 解得x1＝2a，x2＝﹣3a（不合题意，舍去）， ∴CB'＝6a﹣2x＝6a﹣4a＝2a， ∴， 故答案为：． 7.如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为　9　 ． 【解答】解：连接DF和CE交于点G． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD． ∴∠BAF+∠DAF＝90°． ∵AL⊥ED， ∴∠ALD＝90°． ∴∠DAF+∠ADE＝90°． ∴∠BAF＝∠ADE． 在△ADE≌△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（ASA）． ∴AE＝BF． ∵AB＝BC， ∴BE＝CF． 在△BEC和△CFD中， ， ∴△BEC≌△CFD（SAS）． ∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF． ∴∠FGC＝∠GDC+∠GCD＝∠GCF+∠GCD＝∠DCF＝90°． ∴DF⊥EC． ∵S四边形EFCD＝S△EDF+S△DFC， ∴． ∴． ∴DF2＝130． ∴， 故答案为：9． 8.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则 　　 ． 【解答】解：连接AF，DF，过点G作直线PQ⊥AD于点P，交MN于点Q，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，点M，N是AB，CD的中点， ∴AB＝AD＝CD，DN＝AM，AD＝2DN，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°， ∴四边形ADNM是矩形， ∴MN∥CD， ∵PQ⊥AD， ∴PQ⊥MN， ∴∠GPA＝∠FQG＝∠DAB＝90°， ∴四边形AMQP和四边形PDNQ都是矩形， ∴DN＝PQ，NQ＝DP， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AG＝GF，∠AGF＝90°，DE是AF的垂直平分线， ∴FD＝AD， ∵∠GAP+∠AGP＝90°，∠FGQ＝∠AGP＝90°， ∴∠GAP＝∠FGQ， 在△GAP和△FGQ中， ， ∴△GAP≌△FGQ（AAS）， ∴设PG＝QF＝a，AP＝GQ＝b，则a＞0，b＞0， ∴PQ＝DN＝a+b， ∴FD＝AD＝2DN＝2a+2b，NQ＝DP＝AD﹣AP＝2a+2b﹣b＝2a+b， ∴NF＝NQ+QF＝2a+b+a＝3a+b， 在Rt△FDN中，由勾股定理得：FD2＝DN2+NF2， ∴（2a+2b）2＝（a+b）2+（3a+b）2， 整理得：b2＝3a2， ∵a＞0，b＞0， ∴b， ∴AD＝2a+2b， 正方形ABCD的面积n＝AD2， 在Rt△AGP中，由勾股定理得：AG2＝PG2+AP2＝a2+b2＝4a2， ∴正方形AEFG的面积m＝AG2＝4a2， ∴． 故答案为：． 9.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA∠BCD＝45°， ∴cos∠BCA； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°， ∴∠DOG＝90°， ∵DH⊥CE， ∴∠CFG＝90°， ∴∠DOG＝∠CFG， ∵∠DGO＝∠CGF， ∴∠ODG＝∠OCE， ∵CE平分∠BCA交BD于点E， ∴∠OCE∠ACB＝22.5°， ∴∠ODG＝∠OCE＝22.5°， ∴∠CDH＝∠CDO﹣∠ODG＝22.5°， ∴∠ODG＝∠CDH， ∵∠DOG＝∠DCH＝90°， ∴△DOG∽△DCH； （3）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠DOG＝∠COE＝90°， ∴∠OEC+∠OCE＝90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG＝90°， ∴∠ODG＝∠OCE， 在△DOG与△COE中， ， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE＝OG； 过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M， ∵CE平分∠BCO，DH⊥CE， ∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°， 在△CFG与△CFH中， ， ∴△CFG≌△CFH（ASA）， ∴∠CGF＝∠CHF， ∵BM∥AC， ∴∠M＝∠CGF， ∵∠CHF＝∠BHM， ∴∠BHM＝∠M， ∴BM＝BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD， ∵BM∥AC， ∴DG＝MG， ∴OGBM， ∴OEBH， ∴． 10.已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF． （1）求证：∠ABE＝∠CBF； （2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H． ①求证：； ②设BD的中点为点O，如果BH＝1，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD， ∵DE＝DF， ∴AE＝CF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBF； （2）①证明：如图2， 延长EG，交BC于T，作CR∥ET， ∵ET⊥BF， ∴CR⊥BF， ∴∠RCD+∠BFC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD， ∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°， ∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC， ∴△BCF≌△CDR（HL）， ∴CR＝BF， ∴ET＝BF， ∵BE＝BF， ∴BE＝ET， ∵AD∥BC， ∴， ∴； ②如图3，∵BD的中点为点O， ∴OB＝OD， ∵BD＝4，BH＝1， ∴， 延长EG交BC于Q，作ER⊥BC于R，作BE的垂直平分线，交AB于T， ∴BT＝ET， 设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝2a， 由上可知：BE＝EQ， ∴RQ＝BR＝AE＝a， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△BQH， ∴3， ∴3， ∴a， ∴设AT＝x，则ET＝BT＝2x2， 在Rt△AET中，由勾股定理得， （2x）2﹣x2＝（）2， ∴x， ∴tan∠AET， ∴cos∠AET， ∵∠ATE＝2∠ABE＝∠ABE+∠CBT， ∴∠AET＝∠EBG ∴cos∠EBG， ∴， ∴． 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H． （1）求证：AE＝HF． （2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明． 【解答】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示： ∴∠FKH＝∠FKA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°， ∴四边形ADFK是矩形， ∴AD＝FK，DF＝AK， ∴AB＝FK， ∵FH⊥AE，∠FKH＝90°， ∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°， ∴∠BAE＝∠KFH， 在△BAE和△KFH中， ， ∴△BAE≌△KFH（ASA）， ∴AE＝HF； （2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下： ∵△BAE≌△KFH， ∴BE＝KH， 又∵BE＝DF，DF＝AK， ∴AK＝BE， ∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE． 12.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）求证：△ABE≌△BCF． （2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°， ∵BE＝CF， ∴△BAE≌△CBF（SAS）． （2）解：在正方形ABCD中，设AB＝AD＝CD＝BC＝2m，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝m， ∴， ∵△ABE≌△BCF，BE＝CF＝m， ∴∠BAE＝∠CBF，DF＝2m﹣m＝m， ∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，， ∴∠AGB＝90°＝∠AGF， ∴， ∴， ∴． 13.综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H． 【初步分析】 （1）线段EG与BF的数量关系为 EG＝BF ，位置关系为 EG⊥BF ； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长． 【解答】解：（1）EG＝BF，EG⊥BF；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CB， 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF． 由旋转的性质，得BE＝EG， ∴EG＝BF， ∴∠EBG＝∠EGB． 又∵∠ABE+∠EBG＝∠ABC＝90°， ∴∠CBF+∠EGB＝90°， ∴∠BHG＝90°， 即EG⊥BF． 故答案为：EG＝BF，EG⊥BF； （2）四边形BEMF为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得EG＝EM，∠GEM＝90°， 又∵EG＝BF，∠BHE＝90°， ∴EM＝BF，∠GEM＝∠BHE＝90°， ∴EM∥BF， ∴四边形BEMF是平行四边形， 又∵BE＝BF， ∴四边形BEMF是菱形； （3）∵点H是EG的中点，BF⊥EG， ∴BF是EG的垂直平分线， ∴BE＝BG，∠EBF＝∠GBF． 又∵∠ABE＝∠CBF， ∴∠ABE＝∠CBF＝∠EBF∠ABC30°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝3， ∴在Rt△ABE中，BE2， ∴BG＝2， ∴CG＝BG﹣BC＝23． 14.已知正方形ABCD内接于⊙O，边CD以点C为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交⊙O，边CD于点F，G． （1）如图1，若CE是⊙O的切线， ①求∠E的度数； ②连结DF，求证：BG＝2DF． （2）如图2，连结AF，DE，求证：AF∥DE． 【解答】（1）①解：如图1， 连接OC，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵OC是CE的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠BCE＝∠OCB+∠OCE＝135°， ∵边CD以点C为中心顺时针旋转到CE， ∴CE＝BC， ∴∠E＝∠CBE； ②证明：如图2， 连接CF，OB，OC，作CH⊥CF，交BE于H， ∴∠HCF＝90°， ∵， ∴∠BFC， ∴∠CHF＝45°， ∴∠CHF＝∠BFC， ∴CH＝CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠BCD＝∠HCF， ∴∠BCD﹣∠DCH＝∠HCF﹣∠DCH， ∴∠BCH＝∠DCF， ∴△BCH≌△DCF（SAS）， ∴BH＝DF， 由①知， ∠CBE＝22.5°， ∴∠BCH＝∠CHF﹣∠CBE＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵∠BGC＝90°﹣∠CBE＝67.5°， ∴∠DCH＝∠BGC， ∴CH＝GH， ∴BH＝GH， ∴BG＝2BH＝2DF； （2）证明：如图3， 连接BD，CF，延长CF，交DE于W， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠DFE＝∠BFD＝90°， 由（1）知， ∠AFB＝45°，CD＝BC＝CE，∠CBE＝∠BEC， ∴∠CDE＝∠CED， ∵， ∴∠CBE＝∠CDF， ∴∠CDF＝∠BEC， ∴∠CDE﹣∠CDF＝∠CED﹣∠BEC， ∴∠FDE＝∠FED45°， ∴∠FED＝∠AFB， ∴AF∥DE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $