3.函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

微专题5-3 函数的单调性8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 求不含参函数的单调区间 题型2 原函数与导函数间的关系 题型3 求含参函数的单调区间 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 题型5 比较大小 题型6 解抽象不等式 解题策略 知识点1 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点2 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 知识点3 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． ②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． ③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 ④利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 知识点4 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 解题策略1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 解题策略2.利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 解题策略3.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 解题策略4.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 解题策略5.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 解题策略6.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 解题策略7.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 解题策略8.研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 考点精析 题型1 求不含参函数的单调区间 一、单选题 1．函数在下列哪个区间上是减函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的性质进行求解即可. 【详解】， 当时，解得，所以函数在上单调递减， 故选：B 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】解：函数的定义域为且，令，解得， 所以函数的单调递减区间为（或） 故选：D. 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，可排除C项；由函数在单调递增，可排除B项，利用函数的极大值以及函数的单调性，结合和的函数值，即可求解. 【详解】由，可排除C项； 因为，当时，， 则在单调递增，排除B项； 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，且. 当时，， 所以A项符合题意，D项错误. 故选：A. 4．函数的(为自然对数的底数)递增区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：求出，令求得的范围，即可到得函数增区间. 详解：因为， 所以=， 令,可得, 所以函数的递增区间为， 故选D. 点睛：本题主要考查导数运算法则以及利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研究函数的单调性时，一定要注意考虑函数的定义域，这是易错点. 5．已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 【答案】D 【分析】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【详解】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 6．已知定义在上的函数及其导函数的图象如图所示，则函数的减区间为（    ） A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】利用导数可得，结合条件即得. 【详解】根据导数与函数的单调性的关系结合图象可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当或时，， 由， 可得， 所以或. 故选：D. 7．已知函数，则（   ） A．有三个极值点 B．点是曲线的对称中心 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【答案】B 【分析】根据导数即可判断A，根据对于任意的有即可判断B，根据导数即可判断C，根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，， 令，则和， 当和时，当时， 所以在和时单调递增，在单调递减， 处从正变负， 所以是极大值点， 处由负变正， 所以是极小值点， 所以极值点有两个，故A错误； 对于B，如果点是函数的对称中心， 那么对于任意的有， 即验证， ，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 因为和时，当时， 所以和时单调递增，时单调递减， 因为，，时，时， 所以函数从增加到，然后减少到再增加， 所以函数只有一个实数零点，故C错误； 对于D，设直线与相切，切点横坐标为， 则，， 因为，所以或， 当时，当时， 所以没有点满足这两个条件，故D错误. 故选：B. 二、多选题 8．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 9．已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．无最大值 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】分析可知，函数的定义域为，且，利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出合适的选项. 【详解】对于函数，该函数的定义域为，且， ，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的极小值为，无极大值， 当时，，故函数无最大值， 函数在上单调递增，BCD都对，A错. 故选：BCD. 11．已知函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值为 C．曲线在单调递减 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】BD 【分析】根据条件，直接求出的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的几何意义，求出切线方程，即可判断出选项D的正误. 【详解】因为，所以， 由，得到或， 当或时，，当时，， 所以极大值点为，极大值为，极小值点为，所以选项A错误，选项B正确， 又的增区间为，，减区间为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即，所以选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】求导，令，求解可得单减区间. 【详解】由的定义域为，， 令，解得， 当，则，所以的单调递减区间为． 故答案为： 13．函数的单调递增区间是___________________________. 【答案】 【详解】由已知，令，即，解之得或，所以函数的单调递增区间是. 14．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】试题分析： 令得，所以增区间为 考点：函数导数与单调性 15．函数在上的递增区间是 . 【答案】 【分析】根据函数，求导，解的解集即可. 【详解】因为函数， 所以， 令，得或， 当时，， 所以函数在上的递增区间是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题 16．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程. （2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值. 【详解】（1）由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即 （2）由,令解得 令解得,所以在上单调递减,在上单调递增. 所以当时,最小,且最小值为,,, 故最大值为 17．已知函数，求函数的单调区间与极值． 【答案】在上为减函数，在上为增函数，在时取得极小值 【分析】求出，令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间，根据函数的单调性可得函数的极值． 【详解】因为， 则． 令，解得或． 因为不在的定义域内，故舍去． 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数． 由此知函数在时取得极小值． 所以函数的单调增区间为单调减区间为，极小值为，无极大值． 题型2 原函数与导函数间的关系 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 2．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解. 【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在， 两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故， 即为奇函数，排除CD， 由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B， 故选：A 3．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可． 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 4．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 5．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】C 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 二、多选题 6．如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 题型3 求含参函数的单调区间 一、单选题 1．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 2．若函数有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解. 【详解】由题意可得： ∵，则 当，则当时恒成立，即 ∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立 当，则当时恒成立，即 ∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立 当，令，则 ∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立 故选：A. 3．已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 二、多选题 4．已知函数，下列结论中正确的是（   ） A． B．函数的值域为R C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】ABC 【分析】求导可得，利用导数分类讨论当、时对应的单调性，结合极值点的概念依次判断选项即可. 【详解】，则， 当即时，方程至多有1个实根， 此时，函数在R上单调递增； 当即时，方程有2个不等的实根，设为，且， 则，；，， 所以在上单调递减，在上单调递增. A：当时，；当时，，所以，故A正确； B：由选项A知，的值域为R，故B正确； C：若是的极值点，则，故C正确； D：若是的极小值点，则， 在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：ABC 5．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点 C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间 【答案】ABD 【分析】，分、两种情况讨论即可判断BD，的零点个数等价于的图象与的图象的交点个数，由图可判断AC. 【详解】，当时，，在上单调递增 当时，由可得，由可得 所以在上单调递减，在上单调递增 所以是的极小值点，故B正确 不论a为何实数，有总存在单调递增区间，故D正确    的零点个数等价于的图象与的图象的交点个数 设为直线与相切的切点， 则，解得，所以直线与相切 由图可得，当时，有一个零点，故C错误 当时，有两个零点，故A正确 故选：ABD 6．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 【答案】BCD 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 三、填空题 7．设函数，其图像与轴交于，两点，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可知，再由的符号进行分类讨论，能求出的单调区间，然后根据交点求出取值范围. 【详解】，， 若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾． ，令，则， 当时，，为单调减函数， 当时，，是单调增函数， 于是当时，取得极小值． 函数的图像与轴交于两点，，． ，即， 此时，存在，， 存在，， 又由在及上的单调性及曲线在上不间断， 可知为所求取值范围． 故答案为：. 四、解答题 8．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)答案见解析 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后分和讨论可得； （3）当时代入判断即可；当时，分离参数后构造函数求导，再分和两种情况分析，当再次构造函数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时， ，于是切点为 ， 所以，切线方程为：. （2）当时，， 当时，，，所以. 所以，在上单调递增 当时，，，所以 所以，在上单调递减. （3）令， 当时，，不是的零点. 当时，整理得：， 令， 则， ①当时，显然， 故在上单调递减且， ②当时，设， ， 在上单调递减， 故， 从而， 所以在上单调递增， 故，且当时，，    综上可以判断， 当时，有2个零点； 当时，有1个零点； 当时，无零点. 9．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论判断的单调性即可； （2）由题意，求出导函数，设切点坐标为，利用列式求解即可. 【详解】（1）， ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. （2），设切点坐标为， 则，消去得， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，所以，解得. 10．已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先求的定义域，再求导，根据的范围分类讨论即可求解； （2）①根据的极大值即可求； ②由，构造，利用导数研究单调性求在的值域，令，可得，利用导数研究单调性进而得的极小值点，进而得证. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，在递增， 当时，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； （2）①因为函数的极大值为，由（1）知， 此时函数的极大值为， 所以，解得； ②， 则， 可知的定义域为， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 可知在内值域为， 令，可得，则， 且，令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设， 因为，则有： 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 所以有两个极小值点， 又因为， 则，， 所以. 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 一、单选题 1．已知在上递增，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解. 【详解】由已知可得在上满足，即在上恒成立， 由于在上的最小值为时取得，最小值为3， ， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题. 2．已知在上递增，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与单调性的关系转化为不等式恒成立问题，进而分离参数可求的取值范围. 【详解】根据题意，在上恒成立，即恒成立， 易知，当时，， 所以，使得恒成立，则. 故选：D. 二、填空题 3．已知是函数的导函数，若函数在区间上单调递减，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得，从而得到的单调区间，由导函数在区间，上单调递增求出其值域，将函数的单调性把问题转化为，即可列出不等式即可求出的范围. 【详解】解：由函数， 得， 由，得或， 函数的增区间为，， 由，得， 函数单调减区间为， 由，则时，；时，， 得的单调增区间为，单调减区间为， 函数在上单调递增，函数在上的值域为， 又函数在区间上单调递减， 也就是函数在区间上单调递减， 因此要满足条件，即，解得：， 实数的范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题. 三、解答题 4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 5．已知为实数，函数， (1)若是函数的一个极值点，求的值，并求函数的单调区间； (2)若在内单调递增，求实数的范围． 【答案】(1)；函数的单调增区间为：，；单调减区间为： (2) 【分析】（1）利用可得，后可得单调区间； （2）由题可得在上恒成立，即可得答案. 【详解】（1）∵函数，∴. ∵是函数的一个极值点，∴，得，得； 当时，，， 当时，可得或者；当时，可得； ∴函数的单调增区间为：，；单调减区间为：； （2）由题意，对一切，恒成立，即，恒成立. 又在上是增函数，上减函数， ∴时有最大值18，∴，即实数的范围是. 6．已知函数，. (1)若，求的单调区间. (2)若，且在区间上恒成立，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，直接判断函数单调区间； （2）分情况讨论函数单调性，即可判断函数最值，进而解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）当时，，， 则， 令，解得， 且当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由已知，， 得， 令，解得，， 当时，，此时恒成立， 即函数在上单调递增， 又，所以，所以不满足题意； 当时，，此时函数在和上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 所以时，不等式恒成立； ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以需满足，解得， 所以时不等式恒成立. 综上所述. 题型5 比较大小 一、单选题 1．已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 2．下列各式大小比较中，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质比较A，利用三角函数的图象性质比较B，利用对数函数的图象性质比较C，利用对数对数函数的图象性质比较D. 【详解】要证，即证， 即证，即证， 即证，不成立，故不成立，A错误； 因为， 所以要证，即证， 即证，即证，不成立， 所以不成立，故B错误； 因为，所以， 所以，C错误； 要证，即证， 因为，所以， 所以，D正确， 故选:D. 3．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，所以构造函数，求导后可得，从而可得g（x）在R上单调递增，然后分析判断 【详解】由已知，可得， 设，则， ∵，因此g（x）在R上单调递增， 所以，， 即 所以， 所以ABD正确，C错误， 故选：C． 二、多选题 4．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】构造函数，分析函数在上的单调性，可判断A选项；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合三角函数的有界性可判断C选项；利用导数证明出，结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，，即，A对； 对于B选项，令，其中， 则，令，则， 所以，函数在上为增函数， 则，故函数在上为增函数， 所以，，即，B对； 对于C选项，因为，则， 所以，，C错； 对于D选项，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 令，其中， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上单调递增， 又因为，所以，，即， 所以，，即，故，D对. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 三、填空题 5．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再用单调性即可比较函数值的大小关系. 【详解】根据题意，构造函数，所以， 当时 所以在上递增， 因为 所以 故答案为：. 【点睛】本题考查构造函数法解决导数问题，涉及利用单调性比较函数值的大小，属综合中档题. 6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，，比较大小 【答案】 【分析】构造函数，根据条件确定函数单调性，可得，再由是奇函数求解即可. 【详解】构造函数， 则， 因为当时，， 所以当时，，为增函数， 所以， 即，可得， 又是定义在上的奇函数， 所以， 即 故答案为： 题型6 解抽象不等式 一、单选题 1．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题干不等式，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，画出函数图像，根据基本初等函数图像性质，以及函数零点和函数图像交点之间的关系，判断结果即可. 【详解】设函数，则， 可知当时，不等式恒成立，即恒成立， 所以当时，，在上单调递增， 因为是R上的奇函数，即， 可得，所以函数是R上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为，，所以， 函数的零点的个数，即方程的解的个数， 即函数和函数图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，函数和函数图像有3个交点，所以函数的零点的个数为3. 故选：D. 3．已知，都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于1000，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用导数求导法则及已知条件可知，由可求得，可判断数列以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】 又 ， 即 又，得， 解得，,由得，所以， 则，则数列以为首项，为公比的等比数列， 所以，，则的最小值为. 故选：D. 4．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 5．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小. 【详解】设，因为， 所以在上是增函数， 又因为函数是奇函数，，所以，， 所以，当时，，所以； 当时，，， 又因为，所以在上是增函数， 所以， 因为，所以， 所以. 故选A． 6．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 7．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 8．设定义在R上的函数满足任意都有，且时，有，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得函数的周期为，再构造函数，利用导数分析单调性即可判断得解. 【详解】由任意都有，得，则是周期为的函数， 于是，令函数， 而当时，，因此，即函数在上单调递减， 则，即，因此， 所以. 故选：D 9．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【详解】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D 10．函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 11．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 12．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 13．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设，又，所以. 由，即. 所以，即. 故选：B 14．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 15．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C $ 微专题5-3 函数的单调性8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 求不含参函数的单调区间 题型2 原函数与导函数间的关系 题型3 求含参函数的单调区间 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 题型5 比较大小 题型6 解抽象不等式 解题策略 知识点1 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点2 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 知识点3 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． ②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． ③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 ④利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 知识点4 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 解题策略1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 解题策略2.利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 解题策略3.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 解题策略4.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 解题策略5.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 解题策略6.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 解题策略7.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 解题策略8.研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 考点精析 题型1 求不含参函数的单调区间 一、单选题 1．函数在下列哪个区间上是减函数（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．函数的(为自然对数的底数)递增区间为 A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 6．已知定义在上的函数及其导函数的图象如图所示，则函数的减区间为（    ） A．， B． C． D．， 7．已知函数，则（   ） A．有三个极值点 B．点是曲线的对称中心 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 二、多选题 8．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 9．已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．无最大值 D．在上单调递增 11．已知函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值为 C．曲线在单调递减 D．曲线在点处的切线方程为 三、填空题 12．函数的单调递减区间是 ． 13．函数的单调递增区间是___________________________. 14．函数的单调递增区间是 ． 15．函数在上的递增区间是 . 四、解答题 16．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值． 17．已知函数，求函数的单调区间与极值． 题型2 原函数与导函数间的关系 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 2．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A． B． C． D． 3．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 二、多选题 6．如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 题型3 求含参函数的单调区间 一、单选题 1．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 2．若函数有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 二、多选题 4．已知函数，下列结论中正确的是（   ） A． B．函数的值域为R C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 5．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点 C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间 6．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 三、填空题 7．设函数，其图像与轴交于，两点，且，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 8．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 9．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 10．已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 一、单选题 1．已知在上递增，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 2．已知在上递增，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知是函数的导函数，若函数在区间上单调递减，则实数的范围是 . 三、解答题 4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 5．已知为实数，函数， (1)若是函数的一个极值点，求的值，并求函数的单调区间； (2)若在内单调递增，求实数的范围． ∴时有最大值18，∴，即实数的范围是. 6．已知函数，. (1)若，求的单调区间. (2)若，且在区间上恒成立，求的范围. 题型5 比较大小 一、单选题 1．已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 2．下列各式大小比较中，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，，比较大小 题型6 解抽象不等式 一、单选题 1．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于1000，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 8．设定义在R上的函数满足任意都有，且时，有，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 12．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 15．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． $