精品解析：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学初中部2025-2026学 八年级上学期1月周测数学试题

数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 随着健康生活理念的提高，人们的环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D都不符合轴对称图形的定义； C符合轴对称图形的定义， 故选：C． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，零指数幂，根据同底数幂相乘、幂的乘方以及零指数幂法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算正确，符合题意； 故选：． 3. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列因式分解变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解． 6. 若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 7. 在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于（ ） A. 90° B. 90°或75° C. 90°或15° D. 90°或75°或15° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部；②AD在三角形的外部；③BC边为等腰三角形的底边； 【详解】如下图，分三种情况： ①如图（1），AB=BC，，AD在三角形的内部， 由题意可知：， ∵， ∴，， ∴； ②如图（2），AC=BC，，AD在三角形外部， 由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③如图（3），AC=BC，，BC为等腰三角形的底边， 由等腰三角形的底边上的高与底边上的中线、顶角的角平分线重合，可得点D为BC的中点， 由题意知，， ∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为或或． 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，准确证明是解题的关键． 8. A、B两地相距80千米，一辆大汽车从 A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍， 结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意小汽车的速度为，根据时间等量关系：大汽车行驶的时间减去2小时等于小汽车行驶的时间加上小时，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意知，小汽车的速度为，且， 则有：； 故选：B． 9. 杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后含项的系数为（ ） A. 12 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字变化的规律，利用杨辉三角的规律得到的展开式中的各项系数，依此规律解答即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ∴的展开式中含项是第3项，该项为， ∴的展开式中含项的系数为60， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故选：D． 二、填空题（共6小题） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为相反数， ∴对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，它的果实像一个微小的无花果，质量只有，将数用科学记数法表示为 ______________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示是． 故答案为：． 13. 已知：，则，_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 【详解】由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 15. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，点，分别为边，上的动点，且，当的值最小时，的长为______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，且，连接，交于点，过点A作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可得，可知的最小值即为的长，此时点与点重合，再证明，根据相似三角形的性质可得，即可求出当的值最小时，的长，进而求出答案即可． 【详解】解：过点作，且，连接，交于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， 在等腰直角中，，， 在和中， ， ， ， 即的最小值即为的长，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理， 得， ， 或舍去， ， ， ，， ， ， 即 解得， 取得最小值时，的长度为， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 17. 因式分解： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程的解为 （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】(1)首先方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得； (2)方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得． 【小问1详解】 方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程的解为. 【小问2详解】 方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程无解. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，在去分母时，一是要找准公分母，二是要每一项都要乘以公分母，注意解分式方程要检验． 19. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 又AB=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≅△DEF(SAS)， ∴∠ACB=∠F， ∴AC∥DF； （2）80° 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ABC≅△DEF可推出∠ACB=∠F，即可证明AC∥DF； （2）根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F， ∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°， ∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB =180°−65°−35° =80°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 20. 已知代数式 （1）化简代数式； （2）在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值． 【答案】（1） （2）当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）先算分式的除法，再算加减化简原式即可； （2）取使原分式有意义的数代入化简式子中求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵且且， ∴，， ∴， ∴原式． 21. 如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． （1）在图中，作的中线； （2）在图中，在上画一点，使； （3）已知点是边上任意一点，在图3中，在上画一点，使． （4）已知点是边上任意一点，在图中，为格点，在上画一点，使最小． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求； （4） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，轴对称的性质，网格与勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格的特点确定的中点，连接即可求解； （）取格点，构造等腰直角，连接，交于点，通过等腰直角三角形的性质得点即为所求； （）取格点，使得，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长，交于点，由全等三角形的判定与性质，平行线的判定可得点即为所求； （）取格点，由网格可得点与点关于对称，连接，交于点，根据轴对称的性质和两点之间线段最短得点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 【答案】（1）原计划的行驶速度为 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可； （2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为，则 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原分式方程的解为． 答：原计划的行驶速度为． 【小问2详解】 解：①根据题意， ，； ②，理由如下： ∵， 为正数，且， ． ． 23. 是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． （1）如图（1），连接，求证：； （2）如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】（1） 证明：延长交于点M，如图1， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2） ①证明：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴，即， 则； ②的周长10 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）延长交于点M，利用证明，则，结合等边三角形的性质得； （2）①由等边三角形和已知得到，，，可证明； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，由①知∶，，结合等边三角形的性质得和，，，进一步证明，有，即可证明，有，再次证明，即有，结合三角形周长计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，如图， 由①知∶，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 则的周长 ． 24. 如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． （1）求点P到的距离； （2）如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 【答案】（1）1 （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图．延长交y轴于点R，作于S，于T， 点C是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于S，于T，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． （3）的周长不变，为4 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识： （1）过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，由得，再根据可得结论； （2）延长交y轴于点R，作于S，于T，根据垂直平分线的性质得，证明，，分别平分，，得，，证明得，得，再证明，得出，即可得到结论； （3）过点P分别作垂线，，，，连，．证明，，得到，，可求出的周长为，故可得结论 【小问1详解】 解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的周长不变，为4，理由如下： 过点P分别作垂线，，，，连，． 将沿所在直线翻折， ， ， ，， ，， 的周长为， ，， ， 的周长为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 随着健康生活理念的提高，人们的环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 4. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 5. 下列因式分解变形正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于（ ） A. 90° B. 90°或75° C. 90°或15° D. 90°或75°或15° 8. A、B两地相距80千米，一辆大汽车从 A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍， 结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后含项的系数为（ ） A. 12 B. C. 60 D. 10. 如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（共6小题） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，它的果实像一个微小的无花果，质量只有，将数用科学记数法表示为 ______________ 13. 已知：，则，_______． 14. 已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_________．（请填写序号） 15. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，点，分别为边，上的动点，且，当的值最小时，的长为______ ． 三、解答题（共8小题） 17. 因式分解： （1）； （2）； 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 已知代数式 （1）化简代数式； （2）在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值． 21. 如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． （1）在图中，作的中线； （2）在图中，在上画一点，使； （3）已知点是边上任意一点，在图3中，在上画一点，使． （4）已知点是边上任意一点，在图中，为格点，在上画一点，使最小． 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 23. 是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． （1）如图（1），连接，求证：； （2）如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 24. 如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． （1）求点P到的距离； （2）如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $