专题01 一元一次不等式（组）的求参数问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 一元一次不等式（组）的求参数问题 目录 典例讲解 类型一、由不等式（组）的解集求参数 类型二、由不等式（组）的整数解的值求参数 类型三、由不等式（组）的整数解的个数求参数 类型四、由不等式（组）解集的最值求参数 类型五、由不等式组的有解无解情况求参数 类型六、由不等式组的整数解的和求参数 压轴专练 类型一、由不等式（组）的解集求参数 处理方式：先按不等式性质解含参一元一次不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。将解得的解集与已知解集对比，列等式或不等式确定参数范围，最后代入验证，确保参数值满足原不等式的解集要求。 【例1】若不等式的解集为，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【例2】若不等式组的解集是，则的值是 ． 【变式1-1】若关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 【变式1-2】若不等式组的解集是，求的值． 【变式1-3】当a为何值时，不等式组的解集是？ 类型二、由不等式（组）的整数解的值求参数 处理方式：先按不等式性质解含参不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。根据已知整数解确定解集的边界范围，列出不等式组。求解参数范围后，务必验证边界值，确保整数解个数与题目一致，避免漏解或多解。 【例3】关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【例4】如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 【变式2-1】已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【变式2-2】不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【变式2-3】已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 类型三、由不等式（组）的整数解的个数求参数 处理方式：先依据不等式性质解含参不等式，关注系数正负对不等号方向的影响。根据整数解的具体个数，精准界定解集的边界范围，列出对应的不等式组。求解后需验证边界值，确保整数解个数与题目一致，规避漏解或边界取值错误。 【例5】关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围 ． 【变式3-1】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】已知关于的不等式组恰好有3个整数解， (1)求这3个整数解； (2)求的取值范围． 类型四、由不等式（组）解集的最值求参数 处理方式：先按不等式性质解含参不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。根据题目给出的最值（最大或最小），明确解集与参数的对应关系，列出等式或不等式。求解后代入原不等式验证，确保参数值能让不等式取得指定最值，避免边界失误。 【例7】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【例8】已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是 ． 【变式4-1】若关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ． 【变式4-2】若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ． 【变式4-3】若表示不大于x的最大整数，关于x的方程有正整数解，则常数a的取值范围是 ． 类型五、由不等式组的有解无解情况求参数 处理方式：先依据不等式性质解含参一元一次不等式，重点关注x的系数正负（影响不等号方向）。若不等式有解，需保证解集存在（如系数不为0时满足对应条件）；若无解，令解集为空集列关系式。求解后验证，确保参数值符合有解或无解的要求。 【例9】已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【变式5-1】,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ． 【变式5-3】不等式组无解，则a的取值范围是 ； 不等式组无解，则a的取值范围是 ； 不等式组无解，则a的取值范围是 ． 类型六、由不等式组的整数解的和求参数 【例11】关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ (1)将第三步的答案补全； (2)老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 【变式6-1】如果关于x的不等式组的所有整数解和为2，则a的取值范围为 ． 【变式6-2】已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为 ； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ． 【变式6-3】已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 1．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 2．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是 ． 3．已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 5．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 7．如果关于x的不等式组的正整数解和为6，那么适合这个不等式的正整数a，b组成的有序数对个数为 ． 8．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 9．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 10．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是 ． 11．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式（组）的求参数问题 目录 典例讲解 类型一、由不等式（组）的解集求参数 类型二、由不等式（组）的整数解的值求参数 类型三、由不等式（组）的整数解的个数求参数 类型四、由不等式（组）解集的最值求参数 类型五、由不等式组的有解无解情况求参数 类型六、由不等式组的整数解的和求参数 压轴专练 类型一、由不等式（组）的解集求参数 处理方式：先按不等式性质解含参一元一次不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。将解得的解集与已知解集对比，列等式或不等式确定参数范围，最后代入验证，确保参数值满足原不等式的解集要求。 【例1】若不等式的解集为，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，解得． 故选：A． 【例2】若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式1-1】若关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：； 故答案为：. 【变式1-2】若不等式组的解集是，求的值． 【答案】1 【分析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意，得解得 ∴． 【变式1-3】当a为何值时，不等式组的解集是？ 【答案】 【详解】解：对变形，得， 对变形，得． 已知解集为，因此需满足， 解得． 所以当时，不等式组的解集是． 类型二、由不等式（组）的整数解的值求参数 处理方式：先按不等式性质解含参不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。根据已知整数解确定解集的边界范围，列出不等式组。求解参数范围后，务必验证边界值，确保整数解个数与题目一致，避免漏解或多解。 【例3】关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【例4】如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 【答案】 【分析】 【详解】解： 由①得： 由②得： 因为不等式组有整数解，所以其解集为： 又整数解只有1，2，3， ∴ ，， 解得：， 故答案为：，． 【变式2-1】已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-2】不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 类型三、由不等式（组）的整数解的个数求参数 处理方式：先依据不等式性质解含参不等式，关注系数正负对不等号方向的影响。根据整数解的具体个数，精准界定解集的边界范围，列出对应的不等式组。求解后需验证边界值，确保整数解个数与题目一致，规避漏解或边界取值错误。 【例5】关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式，得． 题目要求非负整数解仅有2个，即x的非负整数解为0和1． 当时，x的非负整数解为0和1，恰好满足2个解，因此． 若，则x的非负整数解为0、1、2，共3个，不符合题意，因此． 综上，a的取值范围为， 故选：C． 【例6】若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：已知不等式组，因为不等式组有解， 可得不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解为，，，， 那么需要满足， 这样才能保证不等式组的整数解恰好为，，，． 故答案为：． 【变式3-1】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 【变式3-2】已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式可得：， 解不等式可得：， 不等式组的解集为 ， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解为，，， ，解得． 故答案为： ． 【变式3-3】已知关于的不等式组恰好有3个整数解， (1)求这3个整数解； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由， 解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴根据， 则3个整数解依次为：． （2）解：由（1）中不等式组的解为，且恰好有3个整数解， ∴， 解得：， 即的取值范围是：． 类型四、由不等式（组）解集的最值求参数 处理方式：先按不等式性质解含参不等式，注意系数正负对不等号方向的影响。根据题目给出的最值（最大或最小），明确解集与参数的对应关系，列出等式或不等式。求解后代入原不等式验证，确保参数值能让不等式取得指定最值，避免边界失误。 【例7】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：解方程，得， 因为该方程的解满足， 所以， 解得． （2）解：解不等式， 得，则最小的整数解是4． 把代入，得， 解得． 【例8】已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 由不等式得， 由不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】若关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：， ∴， 得：， ∵关于的不等式的最小整数解为2， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ． 【答案】27 【详解】解：由题意，， 由①得，；由②得，． 原不等式组的解集为． 这个不等式组的最大整数解为2． 又最大整数解与最小整数解的和为， 这个不等式组的最小整数解为． ． ． 满足题意的整数有13，14． 满足题意的整数的和为27． 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【变式4-3】若表示不大于x的最大整数，关于x的方程有正整数解，则常数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有正整数解， ∴， ∴． 故答案为： 类型五、由不等式组的有解无解情况求参数 处理方式：先依据不等式性质解含参一元一次不等式，重点关注x的系数正负（影响不等号方向）。若不等式有解，需保证解集存在（如系数不为0时满足对应条件）；若无解，令解集为空集列关系式。求解后验证，确保参数值符合有解或无解的要求。 【例9】已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 【例10】关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 【变式5-1】,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:∵,整理得：, ∴把代入得, ,解得, ∵该方程组无解, ∴, ∴, ∴, ∴关于的不等式的解集为, ∴, 故选:C． 【变式5-2】已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 【变式5-3】不等式组无解，则a的取值范围是 ； 不等式组无解，则a的取值范围是 ； 不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：，，． 类型六、由不等式组的整数解的和求参数 【例11】关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于x的不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解仅有3个，且这3个整数解的和为6， ∴这3个整数解为1，2，3， ∴ 解得， 故选：D 【例12】已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ (1)将第三步的答案补全； (2)老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 【答案】(1)7，9 (2) 【详解】（1）解：解不等式组， 去分母，得， 解得，， 故答案为：7，9； （2）整数解的和为7，除了3和4这种组合，还有这种组合， 如图， 针对新组合建立不等式， 此时， 去分母，得， 移项合并同类项，得． 【变式6-1】如果关于x的不等式组的所有整数解和为2，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：解不等式组，得， 解不等式，得， 关于的不等式组的所有整数解和为2， ∴或． 故答案为：或． 【变式6-2】已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为 ； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【分析】 【详解】解：（1）当时，不等式组为， ∴， ∵不等式组的最大整数解为， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∵该不等式组的所有整数解的和为， 而或； ∴或， 故答案为：或． 【变式6-3】已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为，或 ∴，或 解得或． 1．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 2．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：解不等式得：， ∵负整数解是，， ∴ 解得：． 故答案为：． 3．已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解，得， ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴a的取值范围是； 故选D． 4．已知，关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：解不等式组得 ∵关于的不等式组有解， ∴． 故答案为：． 5．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 6．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 7．如果关于x的不等式组的正整数解和为6，那么适合这个不等式的正整数a，b组成的有序数对个数为 ． 【答案】12 【详解】解：由不等式组，得， 不等式组的整数解的和为6，则整数解仅为1，2，3， ，， ，， 可以取1，2，3，4，可以取10，11，12， 适合这个不等式组的整数，组成的有序数对个数为个， 故答案为：12． 8．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】28 【分析】 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 9．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 10．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 整数解只有4个，且， 整数解为． ． 故答案为：． 11．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $